Efek kausal oleh penyesuaian pintu belakang dan pintu depan

Jika kita ingin menghitung efek kausal pada dalam grafik kausal di bawah ini, kita dapat menggunakan teorema penyesuaian pintu belakang dan teorema penyesuaian pintu depan, yaitu $X$ $Y$

P (y | do (X = x)) = \sum_{u} P (y | x, u) P (u)

$P(y | \textit{do}(X = x)) = \sum_u P(y | x, u) P(u)$

dan

P (y | do (X = x)) = \sum_{z} P (z | x) \sum_{x^{'}} P (y | x^{'}, z) P (x^{'}) .

$P(y | \textit{do}(X = x)) = \sum_z P(z | x) \sum_{x'} P(y|x', z)P(x').$

Apakah ini pekerjaan rumah yang mudah untuk menunjukkan bahwa dua penyesuaian mengarah ke efek kausal yang sama dari pada ? $X$ $Y$

— Jae
sumber

Apakah ini pekerjaan rumah yang nyata? Kemudian tolong tambahkan tag belajar mandiri. Maka orang-orang mungkin memberi Anda petunjuk, meninggalkan pemikiran (dan pembelajaran) kepada Anda. Beri tahu kami apa yang Anda coba dan di mana Anda terjebak. Ingat CV bukan untuk outsourcing pekerjaan rumah ...

— Knarpie

Hai Knarpie, ini adalah bagian dari belajar mandiri dan bukan pekerjaan rumah. Saya sedang membaca "Inferensial Kausal dalam Statistik" oleh Pearl et al. dan menghabiskan sekitar 1 jam untuk merenungkan pertanyaan yang saya ajukan di atas, karena itu adalah pertanyaan alami untuk ditanyakan, tetapi tidak dapat menunjukkan kesetaraan. Entah saya kehilangan sesuatu di sini, atau dua ekspresi tidak sama.

— Jae

Tindakan sesuai dengan intervensi pada variabel yang menetapkannya ke $do(x)$ $X$ $x$ . Ketika kita melakukan intervensi pada , ini berarti orang tua tidak mempengaruhi nilainya lagi, yang sesuai dengan menghapus panah yang menunjuk ke Jadi mari kita mewakili intervensi ini pada DAG baru. $X$ $X$ $X$

Kita sebut distribusi pengamatan asli dan distribusi pasca intervensi . Tujuan kami adalah untuk mengekspresikan dalam hal . Perhatikan bahwa dalam kita memiliki . Juga, probabilitas pra intervensi dan pasca intervensi berbagi dua invariansi ini: dan karena kami tidak menyentuh panah apa pun yang memasukkan variabel-variabel tersebut dalam intervensi kami. Begitu: $P$ $P^*$ $P^*$ $P$ $P^*$ $U \perp X$ $P^*(U) = P(U)$ $P^*(Y|X, U) = P(Y|X, U)$

\begin{aligned} P (Y | d o (X)) & := P^{*} (Y | X) \\ = \sum_{U} P^{*} (Y | X, U) P^{*} (U | X) \\ = \sum_{U} P^{*} (Y | X, U) P^{*} (U) \\ = \sum_{U} P (Y | X, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} P(Y|do(X)) &:= P^*(Y|X) \\ &=\sum_{U}P^*(Y|X, U)P^*(U|X)\\ &=\sum_{U}P^*(Y|X, U)P^*(U)\\ &=\sum_{U}P(Y|X, U)P(U) \end{aligned}$

Derivasi pintu depan sedikit lebih rumit. Pemberitahuan pertama bahwa tidak ada pembaur antara dan , karenanya, $X$ $Z$

P (Z | d o (X)) = P (Z | X)

$P(Z|do(X)) = P(Z|X)$

Juga, menggunakan logika yang sama untuk menurunkan kita melihat bahwa mengendalikan sudah cukup untuk menurunkan efek pada , yaitu $P(Y|do(X))$ $X$ $Z$ $Y$

P (Y | d o (Z)) = \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'})

$P(Y|do(Z)) = \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X')$

Di mana saya menggunakan prime untuk kenyamanan notasi untuk ekspresi selanjutnya. Jadi dua ekspresi ini sudah dalam hal distribusi pra-intervensi, dan kami hanya menggunakan alasan backdoor sebelumnya untuk menurunkannya.

Bagian terakhir yang kita butuhkan adalah untuk menyimpulkan efek pada menggabungkan efek pada dan pada . Untuk melakukan itu, perhatikan pada grafik kami , karena efek pada benar-benar dimediasi oleh dan jalan backdoor dari ke diblokir ketika intervensi di . Karenanya: $X$ $Y$ $Z$ $Y$ $X$ $Z$ $P(Y|Z, do(X)) = P(Y|do(Z), do(X)) = P(Y|do(Z))$ $X$ $Y$ $Z$ $Z$ $Y$ $X$

\begin{aligned} P (Y | d o (X)) & = \sum_{Z} P (Y | Z, d o (X)) P (Z | d o (X)) \\ = \sum_{Z} P (Y | d o (Z)) P (Z | d o (X)) \\ = \sum_{Z} \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) P (Z | X) \\ = \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) \end{aligned}

$\begin{aligned} P(Y|do(X)) &= \sum_{Z} P(Y|Z, do(X))P(Z|do(X))\\ &= \sum_{Z} P(Y|do(Z))P(Z|do(X))\\ &= \sum_{Z} \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X')P(Z|X)\\ &= \sum_{Z}P(Z|X) \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X') \end{aligned}$

Di mana dapat dipahami dengan cara berikut: ketika saya mengintervensi , maka distribusi berubah menjadi ; tapi saya benar-benar mengintervensi jadi saya ingin tahu seberapa sering akan mengambil nilai tertentu ketika saya mengubah , yaitu . $\sum_{Z} P(Y|do(Z))P(Z|do(X))$ $Z$ $Y$ $P(Y|do(Z))$ $X$ $Z$ $X$ $P(Z|do(X))$

Karenanya, kedua penyesuaian memberi Anda distribusi pasca-intervensi yang sama pada grafik ini, seperti yang telah kami tunjukkan.

Ketika membaca kembali pertanyaan Anda, Anda mungkin tertarik untuk langsung menunjukkan bahwa sisi kanan dari kedua persamaan itu sama dalam distribusi pra-intervensi (yang harus, mengingat derivasi kami sebelumnya). Itu tidak sulit untuk ditampilkan secara langsung juga. Cukup untuk menunjukkan bahwa di DAG Anda:

\sum_{X^{'}} P (Y | Z, X^{'}) P (X^{'}) = \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U)

$\sum_{X'}P(Y|Z, X') P(X') = \sum_{U}P(Y|Z, U) P(U)$

Perhatikan bahwa DAG menyiratkan dan maka: $Y \perp X|U, Z$ $U \perp Z|X$

\begin{aligned} \sum_{X^{'}} P (Y | Z, X^{'}) P (X^{'}) & = \sum_{X^{'}} (\sum_{U} P (Y | Z, X^{'}, U) P (U | Z, X^{'})) P (X^{'}) \\ = \sum_{X^{'}} (\sum_{U} P (Y | Z, U) P (U | X^{'})) P (X^{'}) \\ = \sum_{U} P (Y | Z, U) \sum_{X^{'}} P (U | X^{'}) P (X^{'}) \\ = \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum_{X'}P(Y|Z, X') P(X') &= \sum_{X'}\left(\sum_{U}P(Y|Z, X', U)P(U|Z, X') \right)P(X') \\ &= \sum_{X'}\left(\sum_{U}P(Y|Z, U)P(U| X') \right)P(X') \\ &= \sum_{U}P(Y|Z, U) \sum_{X'}P(U| X')P(X') \\ &= \sum_{U}P(Y|Z, U) P(U) \\ \end{aligned}$

Karenanya:

\begin{aligned} \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) & = \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U) \\ = \sum_{U} P (U) \sum_{Z} P (Y | Z, U) P (Z | X) \\ = \sum_{U} P (U) \sum_{Z} P (Y | Z, X, U) P (Z | X, U) \\ = \sum_{U} P (Y | X, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum_{Z}P(Z|X) \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X') &= \sum_{Z}P(Z|X)\sum_{U}P(Y|Z, U) P(U)\\ &= \sum_{U}P(U)\sum_{Z}P(Y|Z, U)P(Z|X) \\ &= \sum_{U}P(U)\sum_{Z}P(Y|Z, X, U)P(Z|X, U) \\ &= \sum_{U}P(Y| X, U) P(U)\\ \end{aligned}$

— Carlos Cinelli
sumber

Ini adalah jawaban yang sangat bagus dan lengkap. Bit di mana Anda mengidentifikasi efek kausal melalui pintu depan, bagaimanapun, berlebihan (OP telah melakukannya dan langsung mengikuti dari teorema pintu depan), dan itu juga mengandung kesalahan: Tidak ada "hukum total probabilitas "untuk efek sebab akibat. Artinya, umumnya tidak sama dengan , melainkan , yang jelas berbeda Lihat buku Pearl besar di halaman 87-88.

P (Y | d o (X))

$P(Y|do(X))$

\sum_{Z} P (Y | d o (Z)) P (Z | d o (X)

$\sum_{Z}P(Y|do(Z))P(Z|do(X)$

\sum_{Z} P (Y | Z, d o (X)) P (Z | d o (X))

$\sum_{Z}P(Y|Z, do(X))P(Z|do(X))$

— Julian Schuessler

@JulianSchuessler itu sebabnya saya menulis "dapat dianggap sebagai", sebagai cara untuk membantu memahami, tetapi tidak secara harfiah mengatakan itu. Mengenai derivasi pintu depan, tidak jelas OP tahu bagaimana cara mendapatkannya, itu sebabnya saya menaruhnya di sana.

— Carlos Cinelli

Jawaban yang bagus Terima kasih, Carlos. Bagian kedua dari jawaban Anda adalah apa yang saya minta. Saya punya dua pertanyaan lanjutan di sini. 1) Strategi pencarian apa yang Anda gunakan untuk memanipulasi ekspresi dalam aljabar jawaban kedua Anda? (Dengan menyipitkan mata cukup lama di ekspresi?) Karena ruang pencarian besar, saya bertanya-tanya bagaimana algoritma dapat ditulis untuk dapat secara otomatis sampai pada kesimpulan yang sama.

— Jae

2) Saya juga bingung dengan cara menafsirkan , karena intuisi pertama saya seperti saran Julian. Tetapi Pearl buku et al. Saya sebutkan menggunakan ekspresi Anda. Saya bertanya-tanya, apakah, secara umum, ketika memfaktorkan rantai diarahkan di mana simpul mulai adalah penyebab dan simpul akhir adalah efeknya, setiap faktor harus dikondisikan pada dan bukan pada , di mana adalah nada antara dalam rantai

\sum_{z} P (Y | do (Z) P (Z | do (X))

$\sum_z P(Y|\textit{do}(Z)P(Z|\textit{do}(X))$

do (Z)

$\textit{do}(Z)$

Z

$Z$

Z

$Z$

— Jae

@ Jeevaka ini adalah asumsi yang dikodekan dalam DAG, tersirat oleh faktorisasi dan asumsi bahwa sistem terdiri dari bagian modular, potongan otonom. Dengan demikian, perubahan tidak mempengaruhi . Salah satu cara untuk membantu memikirkan hal ini adalah dengan menuliskan persamaan struktural dari kedua model (model pengamatan) dan (model intervensi) dan kemudian memperoleh distribusi tersirat dan . Anda akan melihat bahwa kondisi diberikan dan akan sama di keduanya.

P (X, U)

$P(X, U)$

P (Y | X, U)

$P(Y|X, U)$

M

$M$

M^{*}

$M^*$

P

$P$

P^{*}

$P^*$

Y

$Y$

X

$X$

U

$U$

— Carlos Cinelli