Pertanyaannya (sedikit dimodifikasi) adalah sebagai berikut dan jika Anda belum pernah menemukannya sebelum Anda dapat memeriksanya dalam contoh 6a, bab 2, dari Sheldon Ross ' Kursus Pertama dalam Kemungkinan :

Misalkan kita memiliki guci besar tak terhingga dan koleksi bola tanpa batas berlabel nomor 1, nomor 2, nomor 3, dan seterusnya. Pertimbangkan eksperimen yang dilakukan sebagai berikut: Pada 1 menit hingga 12 malam, bola bernomor 1 hingga 10 ditempatkan di dalam guci dan satu bola dilepas secara acak. (Asumsikan bahwa penarikan tidak membutuhkan waktu.) Pada 1/2 menit sampai 12 PM, bola bernomor 11 sampai 20 ditempatkan di dalam guci dan bola lain dilepas secara acak. Pada 1/4 menit sampai 12 M., bola bernomor 21 sampai 30 ditempatkan di guci dan bola lain dilepas secara acak ... dan seterusnya. Pertanyaan yang menarik adalah, berapa banyak bola yang ada di guci jam 12 siang?

Pertanyaan ini, seperti yang diajukan, pada dasarnya memaksa setiap orang untuk melakukan kesalahan --- biasanya intuisi mengatakan akan ada banyak sekali bola pada jam 12 malam. Jawaban yang diberikan oleh Ross, bagaimanapun, adalah bahwa dengan probabilitas satu guci akan kosong jam 12 siang

Ketika mengajar teori probabilitas, masalah ini adalah salah satu yang sangat sulit untuk memberikan penjelasan intuitif yang baik.

Di satu sisi, Anda bisa mencoba menjelaskannya seperti ini: "pikirkan probabilitas setiap bola yang saya miliki di guci pukul 12 siang. Selama undian acak tak terbatas, akhirnya akan dihapus. Karena ini berlaku untuk semua bola, tidak ada dari mereka bisa ada di sana pada akhirnya ".

Namun, siswa akan berdebat dengan Anda: "tapi saya menempatkan 10 bola dan melepaskan 1 bola setiap saat. Tidak mungkin akan ada nol bola di akhir".

Apa penjelasan terbaik yang bisa kita berikan kepada mereka untuk menyelesaikan intuisi yang saling bertentangan ini?

Saya juga terbuka pada argumen, pertanyaannya tidak masuk akal dan jika kita merumuskannya dengan lebih baik, "paradoks" menghilang atau ke argumen bahwa paradoks itu "murni matematis" (tapi tolong coba untuk menjelaskannya).

Ross menjelaskan tiga versi "paradoks" ini dalam Contoh 6a dalam buku pelajarannya . Di setiap versi, 10 bola ditambahkan ke guci dan 1 bola dilepas di setiap langkah prosedur.

1. Pada versi pertama, bola -th dihapus di langkah -th. Ada banyak bola yang tak terhingga tersisa setelah tengah malam karena semua bola dengan angka yang tidak berakhir dengan nol masih ada di sana.$10n$$n$

2. Dalam versi kedua, bola ke- dihapus pada langkah ke- . Ada nol bola tersisa setelah tengah malam karena setiap bola akhirnya akan dihapus pada langkah yang sesuai.$n$$n$

3. Di versi ketiga, bola dihilangkan secara seragam secara acak. Ross menghitung probabilitas setiap bola untuk dihilangkan oleh langkah dan menemukan bahwa bola itu menyatu menjadi sebagai (perhatikan bahwa ini tidak terbukti! Seseorang harus melakukan perhitungan). Ini berarti, dengan ketimpangan Boole , bahwa probabilitas memiliki nol bola pada akhirnya juga .$n$n → ∞ $1$$n\to\infty$$1$

Anda mengatakan bahwa kesimpulan terakhir ini tidak intuitif dan sulit untuk dijelaskan; ini sangat didukung oleh banyak jawaban dan komentar yang membingungkan di utas ini. Namun, kesimpulan dari versi kedua ini sama tidak intuitifnya! Dan itu sama sekali tidak ada hubungannya dengan probabilitas atau statistik. Saya pikir setelah seseorang menerima versi kedua, tidak ada lagi yang mengejutkan tentang versi ketiga.

Jadi sementara diskusi "probabilistik" harus tentang versi ketiga [lihat jawaban yang sangat mendalam oleh @ paw88789, @Paul, dan @ekvall], diskusi "filosofis" harus lebih fokus pada versi kedua yang jauh lebih mudah dan serupa di semangat ke hotel Hilbert .

---

Versi kedua dikenal sebagai paradoks Ross-Littlewood . Saya menautkan ke halaman Wikipedia, tetapi diskusi di sana sangat membingungkan dan saya tidak merekomendasikan untuk membacanya sama sekali. Sebagai gantinya, lihat utas MathOverflow ini dari tahun lalu . Itu sudah ditutup sekarang tetapi mengandung beberapa jawaban yang sangat perseptif. Ringkasan jawaban yang menurut saya paling penting adalah sebagai berikut.

Kita dapat mendefinisikan set dari bola yang ada di guci setelah langkah . Kami memiliki , , dll. Ada gagasan yang didefinisikan secara matematis tentang batas urutan sekumpulan set dan seseorang dapat membuktikan dengan seksama bahwa batas urutan ini ada dan merupakan set kosong . Memang, bola apa yang bisa berada di batas yang ditetapkan? Hanya yang tidak pernah dihapus. Tetapi setiap bola akhirnya dihapus. Jadi batasnya kosong. Kita dapat menulis . n S 1 = { 2 , ... 10 } S 2 = { 3 , ... 20 } ∅ S n → $S_n$$n$$S_1=\{2,\ldots 10\}$$S_2=\{3,\ldots 20\}$$\varnothing$$S_n \to \varnothing$

Pada saat yang sama, angkabola di himpunan , juga dikenal sebagai kardinalitas himpunan ini, sama dengan . Urutan jelas berbeda, yang berarti bahwa kardinalitas menyatu dengan kardinalitas , juga dikenal sebagai aleph-zero . Jadi kita bisa menulis itu .S n 10 n - n = 9 n 9 n N ℵ 0 | S n | → ℵ $|S_n|$$S_n$$10n-n=9n$$9n$$\mathbb N$ $\aleph_0$$|S_n|\to \aleph_0$

"Paradoks" sekarang adalah bahwa kedua pernyataan ini tampaknya saling bertentangan:

$$\begin{align} S_n &\to \varnothing \\ |S_n| &\to \aleph_0 \ne 0 \end{align}$$

Tetapi tentu saja tidak ada paradoks nyata dan tidak ada kontradiksi. Tidak ada yang mengatakan bahwa mengambil kardinalitas adalah operasi "terus menerus" pada set, jadi kami tidak dapat menukarnya dengan batas:Dengan kata lain, dari fakta bahwa untuk semua bilangan bulat kita tidak dapat menyimpulkan bahwa(nilai pada ordinal pertama ) sama dengan . Sebaliknya,harus dihitung secara langsung dan ternyata menjadi nol.| S n | = 9 n n ∈ N | S ω | ∞ | S ω

$$\lim |S_n| \ne |\lim S_n|.$$ $|S_n|=9n$$n\in \mathbb N$$|S_\omega|$$\infty$$|S_\omega|$

Jadi saya pikir apa yang kita dapatkan dari ini adalah kesimpulan bahwa mengambil kardinalitas adalah operasi yang tidak memuaskan ... [@HarryAltman]

Jadi saya pikir paradoks ini hanyalah kecenderungan manusia untuk menganggap bahwa operasi "sederhana" adalah berkelanjutan. [@NateEldredge]

---

Ini lebih mudah dipahami dengan fungsi daripada set. Pertimbangkan fungsi karakteristik (alias indikator) dari himpunan yang didefinisikan sama dengan fungsi pada interval dan nol di tempat lain. Sepuluh fungsi pertama terlihat seperti itu (bandingkan seni ASCII dari jawaban @ Hurkyl):S n [ n , 10 n $f_n(x)$$S_n$$[n, 10n]$

$\quad\quad\quad$

Semua orang akan setuju bahwa untuk setiap poin , kita memiliki . Ini menurut definisi berarti bahwa fungsi menyatu dengan fungsi . Sekali lagi, semua orang akan setuju untuk itu. Namun, amati bahwa integral dari fungsi-fungsi ini menjadi lebih besar dan lebih besar dan urutan integralnya berbeda. Dengan kata lain, lim f n ( a ) = 0 f n ( x ) g ( x ) = 0 ∫ ∞ 0 f ( x ) d x = 9 $a\in\mathbb R$$\lim f_n(a) = 0$$f_n(x)$$g(x)=0$$\int_0^\infty f(x)dx = 9n$

$$\lim\int f_n(x)dx \ne \int \lim f_n(x) dx.$$

Ini adalah hasil analisis yang sepenuhnya standar dan akrab. Tetapi ini adalah rumusan ulang paradoks kita!

Cara yang baik untuk memformalkan masalah adalah dengan menggambarkan keadaan tabung bukan sebagai himpunan (subset dari ), karena mereka sulit untuk dibatasi, tetapi sebagai fungsi karakteristiknya. "Paradoks" pertama adalah bahwa batas titik tidak sama dengan batas seragam. [@ TheoJohnson-Freyd]$\mathbb N$

Titik penting adalah bahwa "di tengah malam siang" urutan yang tak terbatas secara keseluruhan telah berlalu , yaitu kita membuat "trasfinite melompat" dan tiba ke transfinite negara . Nilai integral "pada tengah malam " harus menjadi nilai integral dari , bukan sebaliknya.lim f $f_\omega = \lim f_n(x)$$\lim f_n$

---

Harap perhatikan bahwa beberapa jawaban di utas ini menyesatkan meskipun sangat diputuskan.

Secara khusus, @cmaster menghitung yang memang tak terbatas, tetapi ini bukan yang ditanyakan oleh paradoks. Paradoks itu bertanya tentang apa yang terjadi setelah urutan langkah-langkah yang tak terbatas; ini adalah konstruksi yang tidak terbatas dan jadi kita perlu menghitung yang sama dengan nol seperti dijelaskan di atas.ballCount ( S ω$\lim_{n\to\infty} \operatorname{ballCount}(S_n)$$\operatorname{ballCount}(S_\omega)$

Hurkyl (dalam sebuah jawaban) dan Dilip Sarwate (dalam komentar) memberikan dua varian deterministik umum dari puzzle ini. Dalam kedua varian, pada langkah , bola hingga ditambahkan ke tumpukan ( ). 10 k - 9 10 k k = 1 , 2 , . . $k$$10k-9$$10k$$k=1,2,...$

Dalam variasi Hurkyl, bola dihapus. Dalam varian ini, in dapat dikatakan secara definitif bahwa tidak ada bola yang tersisa karena bola dihapus pada langkah .n $k$$n$$n$

Dalam variasi Dilip Sarwate, bola dihilangkan pada langkah , dan dalam varian ini, semua bola yang bukan kelipatan tetap. Dalam varian ini, ada banyak sekali bola di dalam guci di akhir.k $10k$$k$$10$

Dengan dua varian ini sebagai tepi kasus, kita melihat bahwa banyak hal berbeda dapat terjadi ketika melakukan proses ini. Sebagai contoh, Anda dapat mengatur agar sisa bola yang tersisa di bagian akhir, dengan melakukan proses Hurkyl tetapi melewatkan penghapusan bola tertentu. Faktanya untuk set mana pun dengan komplemen tak terhingga tak terhitung (dalam bilangan alami (positif)), Anda dapat memiliki set bola yang tersisa di akhir proses.$B$

Kita dapat melihat variasi acak dari masalah (diberikan dalam posting asli) sebagai memilih fungsi dengan ketentuan bahwa (i) adalah satu-ke-satu dan (ii) untuk semua . f f ( k ) ≤ 10 k k ∈ $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f$$f(k)\le 10k$$k\in \mathbb{N}$

Argumen yang diberikan dalam buku Sheldon Ross (direferensikan dalam posting) menunjukkan bahwa hampir semua (dalam arti probabilistik) fungsi-fungsi tersebut pada kenyataannya ke fungsi (perkiraan).

Saya melihat ini agak analog dengan situasi memilih angka, dari distribusi yang seragam pada dan menanyakan berapa probabilitas bahwa angka tersebut ada di set Penyedia (saya menggunakan set Penyedia daripada mengatakan angka rasional karena set Penyedia tidak terhitung). Probabilitasnya adalah meskipun ada banyak (jumlah yang tak terhitung) angka dalam set Cantor yang bisa dipilih. Dalam masalah melepas bola, set urutan di mana ada bola yang tersisa memainkan peran set Cantor.[ 0 , 1 ] $x$$[0,1]$$0$

---

Sunting: BenMillwood dengan benar menunjukkan bahwa ada beberapa set bola terbatas yang tidak bisa menjadi set yang tersisa. Misalnya, tidak dapat menjadi set yang tersisa. Anda dapat memiliki paling dari yang pertama bola yang tersisa untuk .90 % 10 n n = 1 , 2 , 3 , . . $1,2,...,10$$90\%$$10n$$n=1,2,3,...$

Jawaban Enumaris sangat tepat untuk masalah batas divergen. Namun demikian, pertanyaan tersebut sebenarnya dapat dijawab dengan cara yang tidak ambigu. Jadi, jawaban saya akan menunjukkan dengan tepat di mana solusi zero ball salah, dan mengapa solusi intuitif adalah yang benar.

---

Memang benar, bahwa untuk setiap bola , probabilitasnya berada di guci di ujung adalah nol. Lebih tepatnya, itu hanya batas yang nol: .P ( n ) P ( n ) = lim N → ∞ P ( n , N ) = $n$$P(n)$$P(n) = \lim_{N\to\infty} P(n, N) = 0$

Sekarang, Anda mencoba menghitung jumlah Perhitungan yang rusak melompat langsung ke bagian , mengatakan bahwa itu nol dalam batas, sehingga jumlah hanya berisi ketentuan nol, sehingga jumlahnya nol sendiri: P(n,N) lim N → ∞ ballCount ( N

$$\lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N).$$ $P(n,N)$ $$\begin{align} \lim_{N\to\infty}\operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ \text{broken step here }\longrightarrow &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} \lim_{N\to\infty} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} 0 \\ &= \lim_{N\to\infty} 10 N\times 0 \\ &= 0 \end{align}$$

Namun, ini secara ilegal membagi menjadi dua bagian independen. Anda tidak bisa begitu saja memindahkan ke dalam jumlah jika batas jumlah bergantung pada parameter . Anda harus menyelesaikan secara keseluruhan.lim lim$\lim$$\lim$$\lim$$\lim$

Dengan demikian, satu-satunya cara yang valid untuk menyelesaikan ini adalah dengan menyelesaikan jumlah pertama, menggunakan fakta bahwa untuk setiap hingga . Σ n ≤ 10 N n = 1 P ( n , N ) = 9 N N lim N → ∞ ballCount ( N $\lim$$\sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) = 9N$$N$

$$\begin{align} \lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} 9N \\ &= \infty \end{align}$$

Solusi intuitif melakukan hal itu, itu adalah solusi "pintar" yang secara mendasar rusak.

Argumen ini difokuskan pada kecenderungan set dan sekuens tak terbatas untuk berperilaku dengan cara unituituitive. Ini tidak lebih mengejutkan daripada Hilbert Hotel . Dalam kasus seperti itu, Anda memang akan mengeluarkan jumlah bola yang tak terbatas, tetapi Anda akan memasukkan jumlah yang tak terbatas. Pertimbangkan Hotel Hilbert secara terbalik. Anda dapat menghapus jumlah tamu yang tak terbatas dari hotel, dan masih memiliki jumlah yang tak terbatas.

Apakah ini dapat diwujudkan secara fisik adalah pertanyaan lain sepenuhnya.

Karena itu, saya akan menganggapnya tidak perlu dibentuk dengan buruk, melainkan dimasukkan ke dalam buku yang salah. Pertanyaan penghitungan semacam ini termasuk dalam rangkaian teori himpunan, bukan jalur probabilitas.

Saya pikir itu membantu untuk menghapus komponen temporal yang berlebihan dari masalah.

Varian yang lebih mendasar dari paradoks ini adalah untuk selalu menghilangkan bola bernomor terendah. Untuk kemudahan menggambar, saya juga hanya akan menambahkan dua bola di setiap langkah.

Prosedur ini menjelaskan cara mengisi kisi dua dimensi yang tak terbatas:

.*........
..**......
...***....  ....
....****..
.....*****

 :  :  :
 :  :  :

di mana setiap baris terbentuk dari sebelumnya dengan menambahkan dua tanda bintang di sebelah kanan kemudian menghapus paling kiri.

Pertanyaan yang kemudian diajukan adalah:

Berapa banyak kolom yang berakhir dengan tanda bintang berulang daripada titik berulang?

Menurut pendapat saya, gagasan untuk secara keliru menyamakan hasil ini dengan "batas jumlah tanda bintang di setiap baris" jauh lebih menarik.

Jawaban ini bertujuan untuk melakukan empat hal:

1. Tinjau rumusan matematika Ross tentang masalah, yang menunjukkan bagaimana ia mengikuti secara langsung dan jelas dari deskripsi masalah.

2. Pertahankan posisi bahwa solusi paradoks Ross adalah baik secara matematis dan relevan dengan pemahaman kita tentang dunia fisik, terlepas dari apakah itu 100% dapat diwujudkan secara fisik.

3. Diskusikan argumen keliru tertentu yang berakar pada intuisi fisik, dan tunjukkan bahwa solusi "fisik" yang sering dari bola tak terbatas pada siang hari tidak hanya bertentangan dengan matematika, tetapi juga dengan fisika.

4. Jelaskan implementasi fisik masalah yang mungkin membuat solusi Ross lebih intuitif. Mulai di sini untuk jawaban atas pertanyaan asli Carlos.

1. Cara Menjelaskan Masalah Secara Matematis

Kami akan membongkar langkah awal "pemodelan proses tak terbatas" dari argumen Ross (p. 46) . Inilah pernyataan yang akan kami fokuskan pada pembenaran:

Tetapkan menjadi peristiwa dimana bola nomor 1 masih ada di dalam guci setelah penarikan pertama dilakukan ... Kejadian bahwa bola nomor 1 ada di guci pukul 12 siang hanyalah acara .⋂ ∞ n = 1 E $E_n$$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$

Sebelum kita membongkar pernyataan Ross, mari pertimbangkan bagaimana mungkin untuk memahami isi guci pada siang hari, setelah urutan operasi yang tak terbatas. Bagaimana kita bisa tahu apa yang ada di dalam guci? Nah, mari kita pikirkan tentang bola tertentu ; Anda dapat membayangkan atau atau apa pun yang Anda inginkan. Jika bola dikeluarkan pada tahap tertentu dari proses sebelum tengah hari, tentu saja bola itu tidak akan berada di guci pada siang hari. Dan sebaliknya, jika bola yang diberikan berada di guci di setiap tahap proses sampai siang (setelah ditambahkan), maka itu berada di guci di siang hari. Mari kita tuliskan pernyataan ini secara resmi:b = 1 1000 $b$$b=1$$1000$$b$

Bola ada di dalam guci di siang hari jika dan hanya jika itu berada di guci di setiap tahap sebelum tengah hari, di mana adalah tahap yang bola telah ditambahkan ke guci.n ∈ { n b , n b + 1 , n b + 2 , . . . } n $b$$n \in \{n_b, n_b + 1, n_b + 2, ...\}$$n_b$

Sekarang mari kita pernyataan Ross - apa yang dimaksud dalam bahasa Inggris? Mari kita ambil satu realisasi dari proses guci dan bicarakan:$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ $x$

• $x \in E_1$ berarti bola 1 ada dalam guci setelah tahap 1 dari proses.
• $x \in E_1 \bigcap E_2$ berarti bola 1 ada dalam guci setelah tahap 1 dan 2 dari proses.
• $x \in E_1 \bigcap E_2 \bigcap E_3$ berarti bola 1 ada dalam guci setelah tahap 1, 2, dan 3 dari proses.
• Untuk setiap , berarti bola ada di dalam guci setelah tahap sampai .x ∈ ⋂ n k = 1 E k 1 $k \in \{1, 2, 3, ...\}$$x \in \bigcap_{k=1}^n E_k$$1$$n$

Maka, jelas, berarti bahwa, dalam realisasi proses guci ini, bola 1 berada dalam guci setelah tahap 1, 2, 3, dan lain-lain : semua tahap hingga sebelum siang. Persimpangan tak terbatas hanyalah cara lain untuk menulisnya, jadi berisi persisnya realisasi proses di mana bola 1 berada di guci sama sekali tahap sebelum tengah hari. Suatu peristiwa hanyalah serangkaian realisasi proses yang didefinisikan, sehingga kalimat terakhir persis sama dengan mengatakan bahwa adalah peristiwa bahwa bola 1 berada di guci di semua tahapan sebelum tengah hari, untuk proses acak ini. x k ⋂ ∞ n = 1 E n ⋂ ∞ n = 1 E n ⋂ ∞ n = 1 E $x \in \bigcap_{k \in \{1, 2, 3...\}} E_k$$x$$k$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

Sekarang, lucunya: dengan pernyataan "jika dan hanya jika" di atas, ini persis sama dengan mengatakan bahwa bola 1 ada di guci pada siang hari! Jadi adalah kejadian dimana bola 1 berada di guci pada siang hari, seperti yang dinyatakan Ross sebelumnya. QED$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

Dalam derivasi di atas, semua yang kami katakan sama-sama valid untuk versi deterministik dan probabilistik, karena pemodelan deterministik adalah kasus khusus pemodelan probabilistik di mana ruang sampel memiliki satu elemen. Tidak ada teori ukuran atau konsep probabilitas yang digunakan, di luar kata-kata "peristiwa" dan "realisasi" (yang hanya jargon untuk "set" dan "elemen").

2. Solusi Paradoksikal adalah Suara yang Matematika dan Relevan dengan Fisika

Setelah titik pengaturan ini, varian deterministik dan probabilistik berbeda. Dalam varian deterministik (versi 2 dari pos amoeba), kita tahu bola 1 dikeluarkan pada langkah pertama, jadi dan persimpangan tanpa batas, tentu saja, juga kosong. Demikian pula, bola dikeluarkan pada tahap dan tidak ada pada siang hari. Dengan demikian guci tidak boleh berisi bola bernomor pada siang hari dan karenanya harus kosong.b b $E_1 = \emptyset$$b$$b$$b$

Dalam varian probabilistik, fenomena yang sama terjadi, hanya dalam pengertian "harapan" yang lebih lembut. Probabilitas setiap bola yang ada sekarang berkurang menjadi nol saat kita mendekati siang, dan pada waktu siang yang terbatas, bola hampir pasti tidak ada. Karena setiap bola hadir dengan probabilitas nol, dan jumlah nol yang tak terhingga banyaknya masih nol, hampir pasti tidak ada bola di guci pada siang hari. Semua ini ditunjukkan sepenuhnya oleh Ross; detail dapat diisi dengan pengetahuan tentang teori ukuran tingkat pascasarjana, seperti yang ditunjukkan oleh jawaban @ ekvall.

Jika Anda menerima argumen standar tentang objek matematika yang diekspresikan sebagai urutan tak terbatas, misalnya , argumen di sini harus sama dapat diterima, karena bergantung pada prinsip yang sama persis. Satu-satunya pertanyaan yang tersisa adalah apakah solusi matematika berlaku untuk dunia nyata, atau hanya dunia platonis matematika. Pertanyaan ini rumit dan dibahas lebih lanjut di bagian 4.$0.999... = 1$

Yang mengatakan, tidak ada alasan untuk mengandaikan bahwa masalah guci yang tak terbatas adalah tidak bersifat fisik, atau untuk menolaknya sebagai tidak relevan bahkan jika itu tidak bersifat fisik. Banyak wawasan fisik telah diperoleh dari mempelajari struktur dan proses yang tak terbatas , misalnya, kabel tak terbatas dan kisi-kisi perkolasi . Tidak semua sistem ini secara fisik dapat diwujudkan, tetapi teorinya membentuk sisa fisika. Dalam beberapa hal, kalkulus adalah "tidak fisik", karena kita tidak tahu apakah mungkin untuk secara fisik menyadari jarak dan waktu kecil yang sewenang-wenang yang sering menjadi subjek studi. Itu tidak menghentikan kita dari menempatkan kalkulus untuk digunakan dengan sangat baik dalam ilmu teori dan terapan.

3. Unfisikalitas Solusi Berdasarkan "Intuisi Fisik"

Bagi mereka yang masih percaya bahwa matematika Ross salah atau secara fisik tidak akurat dalam varian deterministik, dan solusi fisik yang sebenarnya adalah bola yang tak terhingga banyaknya: terlepas dari apa yang Anda pikir terjadi pada siang hari, mustahil untuk menyangkal situasi sebelum siang: setiap bola bernomor ditambahkan ke guci akhirnya akan dihapus. Jadi jika Anda berpikir masih ada banyak bola di guci yang tak terhingga jumlahnya di siang hari, Anda harus mengakui bahwa tidak satu pun dari bola itu yang bisa menjadi bola yang ditambahkan sebelum tengah hari. Jadi bola-bola itu pasti datang dari tempat lain: Anda menyatakan bahwa banyak bola yang tak terhingga, yang tidak terkait dengan proses masalah semula, tiba-tiba muncul tepat pada siang hari untuk menyelamatkan kelangsungan kardinalitas agar tidak dilanggar.Meskipun solusi "set kosong" tampaknya tidak intuitif, alternatif ini secara objektif dan nyata tidak bersifat fisik. Koleksi benda tak terbatas tidak muncul dalam sekejap hanya untuk memuaskan intuisi manusia yang buruk tentang tak terbatas.

Kesalahan umum di sini tampaknya adalah bahwa kita bisa melihat jumlah bola ketika waktu mendekati siang, dan menganggap bahwa tren yang berbeda menghasilkan banyak bola pada siang hari, tanpa memperhatikan dengan tepat bola mana yang dibawa masuk dan keluar. Bahkan ada upaya untuk membenarkan ini dengan "prinsip ketidakpedulian", yang menyatakan bahwa jawabannya tidak harus bergantung pada apakah bola diberi label atau tidak.

Memang, jawabannya tidak tergantung pada apakah bola diberi label atau tidak, tetapi itu adalah argumen untuk solusi Ross, bukan menentangnya. Dari perspektif fisika klasik, bola-bola secara efektif dilabeli apakah Anda menganggapnya berlabel atau tidak. Mereka memiliki identitas permanen yang berbeda yang setara dengan label, dan analisis fisik yang benar-benar harus menjelaskan hal ini, terlepas dari apakah angka-angka secara harfiah tertulis pada bola. Label itu sendiri tidak secara langsung mempengaruhi bagaimana solusi keluar, tetapi mereka diperlukan untuk menggambarkan dengan tepat bagaimana bola digerakkan. Beberapa prosedur meninggalkan bola di dalam guci selamanya, yang lain terbukti menghilangkan setiap bola yang ditambahkan, dan label bahkan diperlukan untuk menggambarkan perbedaan antara prosedur ini.Mencoba untuk mengabaikan label bukan "fisik", hanya mengabaikan untuk memahami masalah fisik dengan cukup tepat untuk menyelesaikannya. (Hal yang sama berlaku untuk varian rumit yang merombak label pada setiap tahap. Yang penting adalah bola mana yang ada di dalam guci, bukan label yang telah ditempatkan atau diganti oleh mereka. Ini dapat ditentukan dengan mengabaikan skema pelabelan yang rumit seluruhnya dan hanya menggunakan skema pelabelan tunggal yang tidak berubah, salah satu masalah asli Ross.)

Satu-satunya cara pembedaan akan gagal menjadi kenyataan adalah jika "bola" adalah partikel mekanis kuantum. Dalam hal ini, prinsip ketidakpedulian gagal secara spektakuler. Fisika kuantum memberi tahu kita bahwa partikel yang tidak dapat dibedakan berperilaku sepenuhnya berbeda dari yang dapat dibedakan. Ini memiliki konsekuensi yang sangat mendasar bagi struktur alam semesta kita, seperti prinsip pengecualian Pauli, yang mungkin merupakan satu-satunya prinsip kimia yang paling penting. Belum ada yang mencoba menganalisis versi kuantum dari paradoks ini.

4. Menjelaskan Solusi Secara Fisik

Kita telah melihat bagaimana intuisi "fisik" yang tidak jelas dapat menyesatkan kita dalam masalah ini. Sebaliknya, uraian masalah yang lebih tepat secara fisik membantu kita memahami mengapa solusi matematis sebenarnya yang paling masuk akal secara fisik.

Pertimbangkanlah Alam Semesta Newton yang tak terhingga yang diatur oleh hukum mekanika klasik. Alam Semesta ini berisi dua objek: Shelf yang tak terbatas dan Guci yang tak terbatas, yang dimulai dari Origin of the Universe dan berjalan berdampingan satu sama lain, satu kaki terpisah, selamanya dan selamanya. Rak terletak di garis kaki, sedangkan Guci terletak di garis kaki. Sepanjang Shelf diletakkan tak terhingga banyak bola identik, berjarak satu kaki terpisah secara merata, yang pertama adalah satu kaki dari Asal (jadi bola ada di garis kaki). Guci - yang benar-benar seperti Shelf, tetapi sedikit lebih banyak hiasan, ditutup, dan umumnya Guci - kosong.y = 1 n x = $y = 0$$y = 1$$n$$x = n$

Sebuah Lorong menghubungkan Rak dan Guci di bagian bawah, dan di atas Lorong, di Asal, duduk robot Endeavour dengan catu daya yang tak terbatas. Mulai pukul 11 ​​pagi, Endeavour mengaktifkan dan mulai melakukan zoom bolak-balik di Aisle, mentransfer bola antara Guci dan Rak sesuai dengan instruksi yang diprogram Ross-Littlewood:

• Ketika program memerintahkan bola untuk dimasukkan ke dalam Guci, bola kaki dari Asal dipindahkan dari Rak ke Guci.$n$$n$
• Ketika program memerintahkan bola untuk dikeluarkan dari Guci, bola kaki dari Asal dipindahkan dari Guci ke Rak.$n$$n$

Dalam kedua kasus, transfer dilakukan secara langsung, sehingga bola tetap kaki dari Origin. Proses terbuka sebagaimana ditentukan dalam masalah Ross-Littlewood:$n$

• Pada pukul 11:00 pagi, Endeavour mentransfer bola 1-10 dari Shelf ke Guci, lalu memindahkan salah satu bola Guci kembali ke Shelf.
• Pada pukul 11:30 pagi, Endeavour mentransfer bola 11-20 dari Shelf ke Guci, lalu memindahkan salah satu bola Guci kembali ke Shelf.
• Pada pukul 11:45, Endeavour mentransfer bola 21-30 dari Shelf ke Guci, lalu memindahkan salah satu bola Guci kembali ke Shelf.
• dan lain-lain ...

Ketika proses ini berlanjut, setiap langkah baru membutuhkan perjalanan yang lebih lama ke atas dan ke bawah di Lorong, dan hanya separuh waktu untuk melakukan perjalanan. Dengan demikian, Endeavour harus bergerak naik dan turun Lorong secara eksponensial lebih cepat sebagai siang tutup. Tetapi selalu mengikuti program, karena memiliki catu daya yang tak terbatas dan dapat bergerak secepat yang diperlukan. Akhirnya, siang tiba.

Apa yang terjadi dalam versi paradoks yang lebih gamblang ini? Ditonton dari atas, pendekatan menuju siang benar-benar spektakuler. Di dalam Guci, Gelombang bola tampaknya merambat ke luar dari Asal. Ukuran dan kecepatan Wave tumbuh tanpa batas ketika tengah hari mendekat. Jika kita mengambil gambar segera setelah setiap langkah akan seperti apa tata letak bola? Dalam kasus deterministik, mereka akan terlihat persis seperti fungsi langkah dalam jawaban amoeba. Posisi bola akan mengikuti dengan tepat kurva yang telah ia rencanakan. $(x, y)$Dalam kasus probabilistik, itu akan terlihat hampir serupa, tetapi dengan lebih banyak berjalan di dekat Origin.

Ketika siang tiba, kami memeriksa apa yang telah terjadi. Dalam versi deterministik, setiap bola ditransfer dari Shelf ke Guci tepat sekali, lalu pindah kembali pada langkah berikutnya, dengan kedua transfer terjadi sebelum tengah hari. Pada siang hari, Semesta harus kembali ke keadaan semula pukul 11 ​​pagi. Wave tidak ada lagi. Setiap bola kembali tepat di tempat asalnya. Tidak ada yang berubah. Guci itu kosong. Dalam versi probabilistik hal yang sama terjadi, kecuali sekarang hasilnya hampir pasti daripada pasti.

Dalam kedua kasus itu, "keberatan fisik" dan keluhan tentang ketidakterbatasan tampaknya lenyap. Tentu saja Guci itu kosong pada siang hari. Bagaimana kita bisa membayangkan sebaliknya?

Satu-satunya misteri yang tersisa adalah nasib Endeavour. Perpindahannya dari Asal dan kecepatannya menjadi besar secara sewenang-wenang ketika tengah hari mendekat, jadi pada siang hari, Endeavour tidak dapat ditemukan di Alam Semesta Newton kita yang tak terbatas. Hilangnya Endeavour adalah satu-satunya pelanggaran fisika yang terjadi selama proses tersebut.

Pada titik ini, orang dapat menyatakan bahwa Endeavour tidak mungkin secara fisik, karena kecepatannya tumbuh tanpa batas dan akhirnya akan melanggar batas relativistik, kecepatan cahaya. Namun, kami dapat sedikit mengubah skenario untuk mengatasi masalah ini. Alih-alih satu robot, kita bisa memiliki banyak robot, masing-masing bertanggung jawab untuk satu bola. Kami bisa memprogram mereka sebelumnya untuk memastikan koordinasi dan waktu yang sempurna sesuai dengan instruksi Ross.

Apakah variasi ini 100% fisik? Mungkin tidak, karena robot harus beroperasi dengan waktu yang tepat dan sewenang-wenang. Saat kami mendekati tengah hari, ketepatan yang diminta pada akhirnya akan jatuh di bawah waktu Planck dan menciptakan masalah mekanis kuantum. Tetapi pada akhirnya, kawat yang tak terbatas dan kisi perkolasi yang tak terbatas mungkin tidak semua fisik juga. Itu tidak menghentikan kita untuk mempelajari sistem dan proses yang tak terbatas dan menentukan apa yang akan terjadi jika kendala fisik yang menghalangi ditangguhkan.

4a. Mengapa Hitung Monotonisitas Dilanggar

Sejumlah skeptis Ross mempertanyakan bagaimana mungkin bahwa jumlah bola di guci meningkat tanpa terikat ketika kita mendekati siang, maka nol pada siang hari. Pada akhirnya kita harus percaya pada analisis yang ketat atas intuisi kita sendiri, yang sering salah, tetapi ada variasi paradoks yang membantu menerangi misteri ini.

Misalkan alih-alih banyak bola yang tak terhingga, kami memiliki bola berlabel 1, 2, 3, hingga , dan kami mengeluarkan tambahan berikut aturan untuk penggerak bola:10 $10N$$10N$

• Jika instruksi meminta Anda untuk memindahkan bola yang tidak ada, abaikan instruksi itu.

Perhatikan bahwa masalah asli tidak berubah jika kita menambah instruksi ini, karena instruksi tidak akan pernah diaktifkan dengan bola yang tak terhingga banyaknya. Dengan demikian, kita dapat memikirkan masalah asli dan keluarga masalah baru ini menjadi bagian dari keluarga yang sama, dengan aturan yang sama. Meneliti keluarga hingga , terutama untuk sangat besar , dapat membantu kita memahami kasus "N = ".N $N$$N$$\infty$

Dalam variasi ini, bola terakumulasi 9 per langkah seperti sebelumnya, tetapi hanya hingga langkah dari proses. Kemudian angka untuk bola yang akan ditambahkan tidak lagi sesuai dengan bola yang sebenarnya, dan kami hanya bisa mematuhi instruksi untuk menghilangkan bola, dan proses berhenti setelah langkah tambahan, dengan total langkah. Jika sangat besar, fase pelepasan saja terjadi sangat dekat dengan tengah hari, ketika tugas dilakukan dengan sangat cepat, dan guci dikosongkan dengan sangat cepat.9 N 10 N $N$$9N$$10N$$N$

Sekarang anggaplah kita melakukan variasi percobaan ini untuk setiap nilai dan membuat grafik jumlah bola dari waktu ke waktu, , di mana berkisar dari 0 hingga 1 jam setelah 11:00 (yaitu 11:00 hingga siang). Biasanya naik untuk sementara waktu, lalu jatuh kembali ke nol pada atau sebelum . Dalam batas ketika mendekati tak terhingga, grafik naik semakin tinggi dan penurunannya semakin cepat. Menjelang siang guci selalu kosong: . Dalam grafik pembatas, , kurva mendekati tak terhingga untuk tetapif N ( t ) t f N ( t ) t = 1 N f N ( 1 ) = 0 f ( t ) = lim N → ∞ f N ( t ) t < 1 f ( 1 ) = 0 N → $N$$f_N(t)$$t$$f_N(t)$$t=1$$N$$f_N(1) = 0$$f(t) = \lim_{N \rightarrow \infty} f_N(t)$$t < 1$$f(1) = 0$. Inilah tepatnya hasil yang diperoleh dalam bukti Ross: jumlah bola menyimpang hingga tak terhingga sebelum tengah hari, tetapi nol pada siang hari. Dengan kata lain, solusi Ross menjaga kontinuitas sehubungan dengan N: batas searah dari jumlah bola karena cocok dengan jumlah bola dalam case bola infinite.$N \rightarrow \infty$

Saya tidak menganggap ini sebagai argumen utama untuk solusi Ross, tetapi mungkin bermanfaat bagi mereka yang bingung tentang mengapa jumlah bola naik selamanya, daripada menabrak nol pada siang hari. Meskipun aneh, itu adalah perilaku terbatas dari versi terbatas masalah sebagai , dan dengan demikian tidak datang sebagai "kejutan tiba-tiba" dalam kasus tak terbatas.$N \rightarrow \infty$

Refleksi Akhir

Mengapa masalah ini terbukti menjadi semacam lubang-lubang bagi begitu banyak orang? Spekulasi saya adalah bahwa intuisi fisik kita jauh lebih samar daripada yang kita pikirkan, dan kita sering menarik kesimpulan berdasarkan konsepsi mental yang tidak tepat dan tidak lengkap. Misalnya, jika saya meminta Anda untuk memikirkan sebuah bujur sangkar yang juga sebuah lingkaran, Anda dapat membayangkan sesuatu yang persegi dan melingkar, tetapi itu tidak akan menjadi kedua hal itu - itu tidak mungkin. Pikiran manusia dapat dengan mudah menyatukan konsep-konsep yang tidak jelas dan saling bertentangan menjadi satu gambaran mental. Jika konsepnya kurang akrab, seperti Infinite, kita dapat meyakinkan diri kita sendiri bahwa gangguan mental yang tidak jelas ini sebenarnya adalah konsepsi dari Benda Sejati.

Inilah yang terjadi pada masalah guci. Kami tidak benar-benar memahami semuanya sekaligus; kita berpikir sedikit demi sedikit, seperti berapa banyak bola yang ada seiring waktu. Kami melambaikan tangan yang seharusnya dianggap tidak relevan secara teknis, seperti apa yang terjadi pada setiap bola kecil yang sederhana dari waktu ke waktu, atau bagaimana tepatnya "guci" dapat menampung banyak sekali bola. Kami lalai untuk menetapkan semua detail dengan tepat, tidak menyadari bahwa hasilnya adalah perpaduan model mental yang tidak konsisten dan tidak kompatibel.

Matematika dirancang untuk menyelamatkan kita dari kondisi ini. Ia mendisiplinkan dan mengarahkan kita dalam menghadapi yang asing dan eksotis. Itu menuntut kita berpikir dua kali tentang hal-hal yang "harus" benar ... bukan? Ini mengingatkan kita bahwa tidak peduli betapa anehnya hal-hal aneh, satu dan satu masih dua, sebuah bola ada di dalam guci atau tidak, dan sebuah pernyataan benar atau salah. Jika kita bertekun, prinsip-prinsip ini pada akhirnya membawa kejelasan untuk sebagian besar masalah kita.

Mereka yang mensubordinasikan analisis matematis pada intuisi "fisik" atau "akal sehat" melakukannya dengan risiko sendiri. Melambaikan tangan tentang intuisi hanyalah awal dari fisika. Secara historis, semua cabang fisika yang sukses pada akhirnya telah mendasarkan diri pada matematika yang ketat, yang menghilangkan intuisi fisik yang salah, memperkuat yang benar, dan memungkinkan studi yang ketat tentang sistem yang ideal, seperti kawat pembawa arus yang tak terbatas, yang menerangi perilaku para ilmuwan. lebih rumit, dunia nyata yang berantakan. Ross-Littlewood adalah masalah fisik,biasanya ditafsirkan sebagai salah satu mekanika klasik, dan mekanika klasik memiliki dasar matematika yang benar-benar matang dan ketat. Kita harus mengandalkan pemodelan matematika dan analisis untuk intuisi kita tentang dunia fisika klasik, bukan sebaliknya.

Beberapa poster khawatir perhitungan di Ross mungkin tidak terlalu ketat. Jawaban ini membahas bahwa dengan membuktikan keberadaan ruang probabilitas di mana semua set hasil yang dipertimbangkan oleh Ross memang dapat diukur, dan kemudian mengulangi bagian-bagian penting dari perhitungan Ross.

Menemukan ruang probabilitas yang cocok

Untuk membuat kesimpulan Ross bahwa tidak ada bola di guci di 12:00, hampir pasti, ketat, kita perlu keberadaan ruang probabilitas mana acara "tidak ada bola di guci di 12 PM "dapat dibangun secara formal dan terbukti dapat diukur. Untuk itu, kita akan menggunakan Teorema 33 [Ionescu - Tulcea] dalam catatan kuliah ini , sedikit ditulis ulang, dan konstruksi yang disarankan oleh @NateEldredge dalam komentar untuk pertanyaan.$(\Omega, \mathcal F, P)$

Dalil. (Ionescu - Tulcea Extension Theorem) Pertimbangkan urutan ruang yang dapat diukur . Misalkan untuk setiap , terdapat probabilitas kernel dari ke (menganggap sebagai kernel yang tidak sensitif terhadap argumen pertamanya, yaitu ukuran probabilitas). Kemudian ada urutan variabel acak mengambil nilai dalam sesuai , sehingga, untuk setiap , distribusi gabungann κ n ( Ξ 1 , X 1 ) × ⋯ × ( Ξ n - 1 , X n - 1 ) ( Ξ n , X n ) κ 1 X n , n = 1 , 2 , … Ξ n$(\Xi_n, \mathcal X_n), n = 1, 2, \dots$$n$$\kappa_n$$(\Xi_1, \mathcal X_1) \times \dots \times(\Xi_{n-1}, \mathcal X_{n-1})$$(\Xi_n, \mathcal X_n)$$\kappa_1$$X_n, n = 1, 2, \dots$$\Xi_n$$n$κ 1 , ... , κ $(X_1, \dots, X_n)$apakah itu tersirat oleh kernel .$\kappa_1, \dots, \kappa_n$

Kami membiarkan menunjukkan label bola yang dihapus pada penarikan ke- . Sudah jelas bahwa proses (tak terbatas) , jika ada, memberi tahu kita semua yang perlu kita ketahui untuk meniru argumen Ross. Misalnya, mengetahui untuk beberapa bilangan bulat sama dengan mengetahui jumlah bola di dalam guci setelah penarikan : mereka adalah bola yang ditambahkan persis dengan label , minus bola yang dihilangkan . Lebih umum, peristiwa menggambarkan yang, dan berapa banyak, bola berada di guci setelah penarikan tertentu dapat dinyatakan dalam hal proses . n X = ( X 1 , X 2 , ... ) X 1 , ... , X m m ≥ 0 m { 1 , 2 , ... , 10 m } { X 1 , ... , X m } $X_n$$n$$X = (X_1, X_2, \dots)$$X_1, \dots, X_m$$m \geq 0$$m$$\{1, 2, \dots, 10m\}$$\{X_1, \dots, X_m\}$$X$

Untuk menyesuaikan dengan eksperimen Ross, kita memerlukan itu, untuk setiap , distribusi seragam pada . Kami juga membutuhkan distribusi agar seragam pada . Untuk membuktikan bahwa proses tak terbatas dengan distribusi dimensi-terbatas ini memang ada, kami memeriksa kondisi Teorema Ekstensi Ionescu-Tulcea. Untuk setiap bilangan bulat , biarkan dan menentukan ruang terukur , di manaX n ∣ X n - 1 , … , X 1 { 1 , 2 , … , 10 n } ∖ X 1 , … , X n - 1 X 1 { 1 , … , 10 } X = ( X 1 , X 2 , ... ) n I n = { $n\geq 2$$X_n \mid X_{n-1}, \dots, X_{1}$$\{1, 2, \dots, 10n\} \setminus {X_1, \dots, X_{n-1}}$$X_1$$\{1,\dots, 10\}$$X = (X_1, X_2, \dots)$$n$( Ξ n , X n ) = ( I 10 n , 2 I 10 n ) 2 B B κ 1 ( Ξ 1 , X 1 ) 1 / 10 Ξ 1 n ≥ 2 ( x 1 , ... , x n - 1 ) ∈ Ξ 1 × $\mathcal I_n = \{1, 2, \dots, n\}$$(\Xi_n, \mathcal X_n) = (\mathcal I_{10n}, 2^{\mathcal I_{10n}})$$2^B$ menunjukkan kekuatan mengatur set . Tentukan ukuran pada sebagai yang memberi massa pada semua elemen . Untuk setiap , dan define menjadi kernel probabilitas yang memberikan massa yang sama pada semua titik di , dan massa nol pada semua titik lainnya, yaitu pada bilangan bulat$B$$\kappa_1$$(\Xi_1, \mathcal X_1)$$1/10$$\Xi_1$$n \geq 2$ κ n ( x 1 , ... , x n - 1 , ⋅ ) Ξ n ∖ { x 1 , ... , x n - 1 } x i ∈ Ξ n , i = 1 , ... , n - 1 X ( Ω , F , P $(x_1, \dots, x_{n-1}) \in \Xi_1 \times \dots \times \Xi_{n-1}$$\kappa_n(x_1, \dots, x_{n-1}, \cdot)$$\Xi_n \setminus \{x_1, \dots, x_{n-1}\}$$x_i \in \Xi_n, i = 1, \dots, n - 1$. Dengan konstruksi, kernel probabilitas setuju dengan probabilitas penghapusan seragam yang ditentukan oleh Ross. Dengan demikian, proses tak terbatas dan ruang probabilitas , yang keberadaannya diberikan oleh teorema, memberi kita cara untuk secara formal melaksanakan argumen Ross.$X$$(\Omega, \mathcal F, P)$

Misalkan menunjukkan himpunan hasil sehingga bola ada di dalam guci setelah penarikan . Dalam hal proses stokastik kami ini berarti bahwa, untuk semua dan sedemikian sehingga kita mendefinisikan , yaitu bola tidak dihapus di salah satu draws hingga dan termasuk yang ke- . Untuk kita dapat dengan jelas mendefinisikan karena bola belum ditambahkan ke belokan. Untuk setiap dan , set i n X i n i ≤ 10 n E i n = ∩ n j = 1 { ω : X j ( ω ) ≠ i } i n i > 10 n E i n = ∅ i j i { ω : X j ( ω ) ≠ i } X j E $E_{in}$$i$$n$$X$$i$$n$$i \leq 10n$$E_{in} = \cap_{j = 1}^n\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$$i$$n$$i > 10n$$E_{in} = \emptyset$$i$$j$$i$$\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$ dapat diukur karena adalah variabel acak (terukur). Dengan demikian, dapat diukur sebagai intereseksi terbatas set terukur.$X_j$$E_{in}$

Kami tertarik pada himpunan hasil sehingga tidak ada bola di guci di 12 PM Artinya, himpunan hasil sehingga untuk setiap bilangan bulat , bola tidak di guci di 12 PM Untuk setiap , biarkan menjadi himpunan hasil ( ) sedemikian rupa sehingga bola berada di dalam guci pukul 12 siang. Kita dapat membuat secara formal menggunakan sebagai berikut. Bahwa berada di dalam guci pada jam 12 malam setara dengan itu berada di guci setelah setiap penarikan dilakukan setelah itu ditambahkan ke guci, jadii i E i ω ∈ Ω i E i E i n i E i = ∩ n : i ≤ 10 n E i n E i$i = 1, 2\dots$$i$$i$$E_i$$\omega \in \Omega$$i$$E_i$$E_{in}$$i$$E_i = \cap_{n:i\leq 10n}E_{in}$. Himpunan hasil sekarang dapat diukur sebagai persimpangan dihitung dari set terukur, untuk setiap .$E_i$$i$

Hasil yang setidaknya ada satu bola di guci di 12 PM adalah yang paling tidak satu dari terjadi, yaitu . Himpunan hasil dapat diukur sebagai gabungan dari himpunan yang dapat diukur. Sekarang, adalah peristiwa di mana tidak ada bola di guci pukul 12 siang, yang memang dapat diukur sebagai pelengkap dari set yang terukur. Kami menyimpulkan bahwa semua set hasil yang diinginkan dapat diukur dan kami dapat beralih ke menghitung probabilitas mereka, seperti yang dilakukan oleh Ross. E = ∪ ∞ i = 1 E i E Ω ∖ $E_i$$E = \cup_{i = 1}^\infty E_i$$E$$\Omega \setminus E$

Menghitung probabilitas$P(\Omega \setminus E)$

Kami pertama-tama mencatat karena keluarga peristiwa dapat dihitung, kami memiliki sub-additivity tindakan yang dapat dihitung yang$E_i, i = 1, 2, \dots$

P ( E i ) = a i i P ( E ) = 0 ∑ N i = 1 a i = 0 N a i = 0

$$P(E) \leq \sum_{i = 1}^\infty P(E_i) = \lim_{N\to \infty}\sum_{i = 1}^N P(E_i).$$ Untuk kemudahan notasi, mari kita menyatakan bilangan real untuk semua . Jelas, untuk menunjukkan bahwa itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa untuk semua . Ini sama dengan menunjukkan bahwa untuk setiap , yang akan kita lakukan sekarang.$P(E_i) = a_i$$i$$P(E) = 0$$\sum_{i = 1}^N a_i = 0$$N$$a_i = 0$$i$

Untuk itu, perhatikan bahwa untuk semua sehingga bola telah ditambahkan ke guci, yaitu , . Ini karena jika bola ada di dalam guci di langkah , itu juga di guci di langkah . Dengan kata lain, himpunan , membentuk urutan menurun untuk semua sehingga . Untuk kemudahan notasi, biarkan . Ross membuktikan bahwa sebagai dan menyatakan bahwa ini juga dapat ditampilkan untuk semua lainnya.i 10 n ≥ i E i n ⊇ E i ( n + 1 ) i n + 1 n E i n n 10 n ≥ i a i n = P ( E i n ) a 1 n → 0 n → ∞ i a i n = ∏ n k = i [ 9 $n$$i$$10n \geq i$$E_{in} \supseteq E_{i(n + 1)}$$i$$n + 1$$n$$E_{in}$$n$$10n \geq i$$a_{in} = P(E_{in})$$a_{1n} \to 0$$n \to \infty$$i$, yang akan saya anggap benar. Buktinya terdiri dari menunjukkan bahwa dan untuk semua , dan perhitungan dasar tetapi panjang saya tidak akan mengulangi di sini. Berbekal hasil ini, dan fakta bahwa keluarga peristiwa , dapat dihitung untuk setiap i , kontinuitas tindakan memberikanlim n → ∞ a i n = 0 i E i n 10 n > $a_{in} = \prod_{k = i}^n[9k / (9k + 1)]$$\lim_{n \to \infty}a_{in} = 0$$i$$E_{in}$$10n > i$

$$a_i = P(\cap_{n: 10n > i}E_{in}) = \lim_{n \to \infty} P(E_{in}) = \lim_{n \to \infty}a_{in} = 0.$$

Kami menyimpulkan bahwa , dan dengan demikian seperti yang diklaim. QED.P ( Ω ∖ E ) = $P(E) = 0$$P(\Omega\setminus E) = 1$

---

Beberapa kesalahpahaman umum:

1. Satu jawaban berkaitan dengan fakta bahwa (dalam notasi saya) . Namun, ini tidak ada kaitannya dengan validitas solusi karena kuantitas di sisi kanan bukan yang menarik menurut argumen yang diberikan.$\lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N \lim_{n \to \infty }a_{in} \neq \lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N a_{iN}$
2. Ada beberapa kekhawatiran bahwa batas tidak dapat dipindahkan di dalam jumlah, atau dengan kata lain tidak dapat dipertukarkan dengan jumlah dalam arti bahwa itu adalah kasus yang . Seperti komentar sebelumnya, ini tidak relevan dengan solusi karena kuantitas di sisi kanan bukan yang diminati.$\sum_{i = 1}^\infty \lim_{n \to \infty}a_{in} \neq \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^\infty a_{in}$

Di satu sisi, Anda bisa mencoba menjelaskannya seperti ini: "pikirkan probabilitas setiap bola yang saya miliki di guci pukul 12 siang. Selama undian acak tak terbatas, akhirnya akan dihapus. Karena ini berlaku untuk semua bola, tidak ada dari mereka bisa ada di sana pada akhirnya ".

Saya tidak menemukan argumen ini meyakinkan. Jika argumen ini berhasil, maka argumen berikut berfungsi: Setiap tahun, beberapa orang dilahirkan (katakanlah fraksi konstan dari total populasi), dan beberapa orang mati (misalkan fraksi konstan). Kemudian, karena dalam batas orang tertentu hampir pasti mati, maka umat manusia harus punah! Sekarang, umat manusia mungkin punah karena alasan lain, tetapi argumen ini adalah sampah.

Tidak masuk akal untuk masalah ini untuk memiliki satu solusi ketika bola diberi nomor dan untuk itu memiliki jawaban yang sama sekali berbeda ketika bola tersebut anonim. Secara simetri, label sewenang-wenang tidak boleh memengaruhi solusi. Jaynes menyebut argumen ini prinsip ketidakpedulian , yang saya terima.

Dengan kata lain, jika seseorang memberi tahu Anda bahwa mereka menempatkan sepuluh bola ke dalam sebuah guci dan mengeluarkannya berulang kali, dan seberapa penuh guci itu dalam batasnya, apakah jawaban Anda adalah "Itu tergantung pada apakah bola diberi nomor"? Tentu saja tidak. Isi guci itu berbeda seperti guci dalam masalah ini.

Karena itu, saya pikir solusinya terletak pada bagaimana kita meresmikan masalah. Dari definisi biasa tentang batas teori set , kita punya

lim sup n → ∞ S n = ⋂ n ≥ 1 ⋃ j ≥ n S

$$\liminf_{n \to \infty} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{j \geq n} S_j.$$ $$\limsup_{n \to \infty} S_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{j \geq n} S_j$$

Biarkan batas kardinalitas set menjadi

$$k\triangleq \lim_{n\to\infty}|S_n|$$

dan kardinalitas dari limit set menjadi$\liminf$

$$l \triangleq \left|\liminf_{n\to\infty} (S_n)\right|.$$

Saya mengusulkan batas teori set-didefinisikan kembali sehingga:

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &\triangleq \begin{cases} \liminf_{n\to\infty} (S_n) &\text{if } \liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k \text{ exists, and }k=l \\ \alpha_k &\text{if }\liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k\text{ exists, and }k \ne l \\ \text{undefined} &\text{otherwise.} \end{cases} \end{align}$$

“Kumpulan anonim” khusus ini menjelaskan apa yang terjadi tanpa batas. Sama seperti berarti perilaku pembatas angka, berlaku untuk perilaku pembatas set. Yaitu, kami memiliki , dan . Manfaat formalisme ini adalah memberi kita kelanjutan kardinalitas dan konsistensi dengan prinsip ketidakpedulian . ∞ α i ∉ α k ∀ i | α k | = $\alpha_k$$\infty$$\alpha$$i \notin \alpha_k \forall i$$|\alpha_k| = k$

Untuk masalah guci, kita memiliki adalah himpunan bola di guci. Dan Dengan demikian, unsur-unsur tidak "jatuh dari tebing" pada tak terhingga, yang tidak masuk akal lagi seperti yang masuk akal bagi umat manusia untuk punah hanya karena tidak ada manusia yang abadi.lim n → ∞ S n = α ∞$S_n = \{n+1, \dotsc, 10n\}$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \alpha_{\infty}.$$

Demikian pula, misalkan kita memodifikasi masalah sehingga pada setiap langkah satu bola ditambahkan dan bola bernomor terendah dihilangkan. Lalu, berapa bola yang ada di guci dalam batas? Set anonim memberikan jawaban intuitif:

$$\lim_{n\to\infty}\{n\} = \alpha_1.$$

Saya menyadari bahwa matematikawan dapat tidak setuju tentang resolusi untuk paradoks ini, tetapi bagi saya, ini adalah resolusi paling intuitif.

Masalahnya adalah salah bentuk atau tidak dalam logika tingkat pertama.

Root root: pelaksanaan langkah "terakhir" akan menulis angka dalam jumlah tak terbatas pada sebuah bola, menyebabkan langkah itu mengambil waktu tak terbatas untuk dieksekusi.

Kemampuan untuk mengeksekusi proses tak terbatas dengan langkah tak terbatas menyiratkan kemampuan untuk menyelesaikan semua masalah logika tingkat pertama ( karena itu Gödel salah) dengan mengeksekusi urutan H berikut (untuk teorema X):

Z = asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem X
      THEN
        OUTPUT "yes" and HALT
) + asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem ¬X
      THEN
        OUTPUT "no" and HALT
)
IF Z = "" 
THEN Z = "independent"
IF Z = "yesno" ∨ Z = "noyes"
THEN Z = "paradox"
OUTPUT Z

di mana langkah tak terbatas adalah unspooling output

Program di dalam asymptotic_coroutine hanyalah pencarian lengkap untuk sebuah teorema yang membuktikan (atau menyangkal) X. Konversi P ke S menghasilkan "aa", "ab", "ac", ... "a∨", ... di mana setiap simbol yang dapat muncul dalam teorema dihasilkan. Ini menghasilkan semua teorema _karakter log panjang N pada gilirannya. Karena N tumbuh tanpa batas dalam loop luar ini pada akhirnya akan menghasilkan semua teorema.

Sisi yang salah tidak akan pernah berakhir tetapi kita tidak perlu peduli tentang itu karena kita diizinkan untuk melakukan langkah tak terbatas. Faktanya kita bergantung pada kemampuan untuk melakukan ini untuk mendeteksi kemerdekaan karena kedua belah pihak tidak akan pernah selesai. Kecuali satu hal. Kami mengizinkan jumlah langkah yang tidak terbatas untuk dieksekusi dalam waktu yang terbatas dengan peningkatan kecepatan eksekusi asimptotik. Ini bagian yang mengejutkan. Asymptotic_coroutine yang tidak pernah selesai dan tidak pernah menghasilkan keluaran telah "selesai" * setelah waktu asimptotik dan masih belum pernah menghasilkan keluaran apa pun.

* Jika kami menempatkan OUTPUT setelah FOR N = 1 ... ∞ itu tidak akan tercapai tetapi kami tidak akan melakukannya.

Bentuk kuat dari Teorema Ketidaklengkapan Gödel dapat dinyatakan "Untuk setiap sistem logika orde pertama F ada pernyataan G _F yang benar dalam F tetapi tidak dapat dibuktikan benar dalam F." Tetapi metode pembuktian H tidak dapat gagal untuk membuktikan semua pernyataan must-be-true dalam F (H).

Dilema: ¬Gödel ∨ ¬ (langkah tak terbatas diizinkan)
Oleh karena itu:
Dilema: ¬Gödel ∨ ¬ (315502 terbentuk dengan baik dalam logika urutan pertama)

Biarkan x menjadi jumlah bola yang telah dihapus dan y menjadi jumlah bola yang tersisa. Setelah setiap siklus, y = 9x. As x> 0, y> 0. Akan ada banyak bola di guci pukul 12 malam.

Alasan bahwa solusi berdasarkan probabilitas menyebabkan kesulitan adalah bahwa probabilitas dari seri infinite rumit. ET Jaynes menulis tentang beberapa paradoks probabilitas yang berbeda, seperti yang ini, dalam bukunya Probability Theory: The Logic of Science . Saya tidak memiliki salinan saya, tetapi bagian pertama buku ini tersedia online dari Larry Bretthorst di sini . Kutipan berikut berasal dari kata pengantar.

Namun ketika semua dikatakan dan dilakukan kita menemukan, yang mengejutkan kita, bahwa sedikit lebih dari kesepakatan filosofis yang longgar tetap; pada banyak masalah teknis kami sangat tidak setuju dengan de Finetti. Tampak bagi kita bahwa caranya memperlakukan set yang tak terbatas telah membuka kotak Pandora tentang paradoks yang tidak berguna dan tidak perlu; nonconglomerability dan aditivitas terbatas adalah contoh yang dibahas dalam Bab 15.

Paradoks tak terhingga telah menjadi infeksi mengerikan yang saat ini menyebar dengan cara yang mengancam kehidupan teori probabilitas, dan membutuhkan pengangkatan dengan segera. Dalam sistem kami, setelah operasi ini, paradoks seperti itu dihindari secara otomatis; mereka tidak dapat muncul dari penerapan aturan dasar kita yang benar, karena aturan-aturan itu hanya mengakui himpunan terbatas dan himpunan tak terbatas yang muncul sebagai batas himpunan terbatas yang didefinisikan dengan baik dan berperilaku baik. Paradoksnya disebabkan oleh (1) melompat langsung ke himpunan tanpa batas tanpa menentukan proses pembatas untuk mendefinisikan propertinya; dan kemudian (2) mengajukan pertanyaan yang jawabannya tergantung pada bagaimana batas itu didekati.

Misalnya, pertanyaan: "Berapakah probabilitas bilangan bulat genap?" Dapat memiliki jawaban apa pun yang kami harap (0, 1), tergantung pada proses pembatas apa untuk mendefinisikan "set semua bilangan bulat" (seperti halnya seri konvergen bersyarat dapat dibuat untuk konvergen ke nomor apa pun yang kami harap, tergantung pada urutan kami mengatur persyaratan).

Dalam pandangan kami, himpunan tak terhingga tidak dapat dikatakan memiliki "keberadaan" dan sifat matematika sama sekali — setidaknya, dalam teori probabilitas — sampai kita telah menentukan proses pembatas yang dihasilkannya dari himpunan terbatas. Dengan kata lain, kita berlayar di bawah bendera Gauss, Kronecker, dan Poincar ́e daripada Cantor, Hilbert, dan Bourbaki. Kami berharap bahwa pembaca yang terkejut dengan ini akan mempelajari dakwaan Bourbakisme oleh ahli matematika Morris Kline (1980), dan kemudian bertahan bersama kami cukup lama untuk melihat manfaat dari pendekatan kami. Contoh muncul di hampir setiap Bab.

Penggunaan batas-batas dalam jawaban @enumaris (+1) memberikan jalan di sekitar trickiness infinities dalam probabilitas.

Apa penjelasan terbaik yang bisa kita berikan kepada mereka untuk menyelesaikan intuisi yang saling bertentangan ini?

Inilah jawaban terbaik, dan tidak ada hubungannya dengan probabilitas. Semua bola memiliki nomor, sebut saja nomor kelahiran. Angka kelahiran mulai dari B1, B2, B3 ... dan pergi hingga tak terbatas, karena kita benar-benar tidak pernah berhenti. Kami semakin dekat ke 12:00 tapi terus menambahkan dan menghapus bola, itu sebabnya tidak ada jumlah akhir bola. Ini adalah pertimbangan yang sangat penting, btw.

Kami memasukkan bola ke dalam kotak dalam 10 kumpulan bola, seperti kumpulan # 7: B71, B72, ..., B80. Mari kita lupakan ini sebentar, dan fokus pada bola yang dikeluarkan dari kotak. Mereka datang secara acak . Saya akan menjelaskan mengapa keacakan penting nanti, tetapi untuk saat ini artinya adalah semua bola dengan nomor brith dari B1 hingga B10k yang masih ada di kotak pada langkah K dapat ditarik keluar. Kita akan mengindeks bola yang kita hapus berdasarkan urutan penghapusannya, sebut saja angka kematian: D1, D2, D3 ... DK.

Pada pukul 12:00 pagi kami menempatkan bola dalam jumlah tak terbatas, dan tentunya kami tidak pernah kehabisan bola untuk melepaskannya. Mengapa? Karena pertama-tama kita menempatkan 10 bola, MAKA HANYA menghapus satu. Jadi, selalu ada bola untuk dihilangkan. Ini berarti bahwa kami juga menghapus bola dalam jumlah tak terbatas pada pukul 12:00 pagi.

Ini juga berarti bahwa setiap bola yang dilepas diindeks dari 1 hingga tak terbatas, yaitu kita dapat memasangkan setiap bola yang dilepaskan ke bola yang dimasukkan ke dalam kotak: B1 ke D1, B2 ke D2, dll. Ini berarti bahwa kami mengeluarkan sebanyak bola kami memasukkan, karena setiap nomor kelahiran dipasangkan dengan masing-masing nomor kematian.

Nah, itu solusinya. Mengapa itu mengalahkan intuisi kita? Dasar, Dr Watson. Alasannya adalah karena kita pasti tahu bahwa untuk semua K ini berlaku: Itu sebabnya setelah langkah K, kita seharusnya tidak dapat menghapus semua bola dari kotak, karena kita menempatkan bola 10K dan hanya menghapus K dari mereka. Baik?

$$K<10K$$

Ada sedikit masalah. Masalahnya adalah bahwa ketika , ini tidak lagi benar: Itulah sebabnya intuisi rusak.$K=\infty$

$$10\times\infty\nless\infty$$

Sekarang, jika bola tidak dihilangkan secara acak. Dua hal dapat terjadi seperti dalam jawaban kanonik @ amoeba. Pertama, katakanlah kita menempatkan 10 bola kemudian segera mengeluarkan yang terakhir. Seolah-olah kita hanya memasukkan sembilan bola. Ini akan cocok dengan intuisi kita, dan pada jam 12:00 akan ada jumlah bola yang tak terbatas. Bagaimana bisa? Karena kami tidak mengeluarkan bola secara acak, kami mengikuti algoritma di mana angka kelahiran dipasangkan dengan angka kematian sebagai pada saat penghapusan . Jadi, kami memasangkan setiap bola yang dilepas ke salah satu bola yang kami masukkan: , ini berarti satu ton bola tidak pernah dipasangkan B1, B2 ,. .., B9, B11, ... dll.$B10K=DK$ $B10\to D1,B20\to D2,B30\to D3,\dots$

Hal kedua yang mungkin terjadi dengan pemindahan bola non-acak juga terkait dengan pemasangan pada saat pemindahan: kami mengkorelasikan BK = DK. Kita bisa melakukan ini dengan menghapus bola dengan BK di setiap langkah K, yang memastikan bahwa BK dipasangkan ke DK. Dengan cara ini setiap bola yang dilepas dipasangkan dengan masing-masing bola yang kita masukkan, yaitu hasil akhir yang sama seperti pada undian acak bola yang dilepas. Jelas, ini berarti tidak ada bola tersisa di dalam kotak setelah pukul 12:00.

Saya baru saja menunjukkan bahwa masalahnya tidak ada hubungannya dengan probabilitas per se. Ini semua berhubungan dengan kekuatan set (?) Yang tak terhingga jumlahnya. Satu-satunya masalah nyata yang saya hindari untuk membahas adalah apakah set benar-benar dapat dihitung. Anda melihat ketika Anda mendekati jam 12:00 pagi, tingkat bola insert Anda meningkat dengan cepat, untuk membuatnya lebih ringan. Jadi, tidak sepele untuk memikirkan apakah jumlah bola yang kita masukkan ke dalam kotak benar-benar dapat dihitung.

Terurai

Sekarang, saya akan menguraikan solusi kanonik paradoks ini, dan kembali ke intuisi kita.

Bagaimana mungkin kita memasukkan 10 bola, mengeluarkan satu dan masih kehabisan semua bola dalam 12 jam? Inilah yang sebenarnya terjadi. 12 jam tidak terjangkau .

Biarkan sebagai merumuskan kembali masalah. Kami tidak membagi dua interval waktu lagi. Kami menempatkan dan melepas bola setiap menit. Bukankah ini persis sama dengan masalah aslinya? Iya dan tidak.

Ya, karena dalam uraian saya di atas, saya tidak menyebutkan waktu secara eksplisit tetapi pada akhirnya. Saya sedang menghitung langkah k. Jadi, kita bisa terus menghitung langkah dan bola mati dengan k.

Tidak, karena sekarang kita tidak akan pernah berhenti . Kami akan terus menambahkan dan menghapus bola sampai akhir waktu, yang tidak pernah tiba. Sementara dalam masalah aslinya, akhirnya adalah 12 jam.

Ini menjelaskan bagaimana intuisi kita gagal. Meskipun kami menempatkan bola pada laju 9x penghapusan, karena waktu tidak pernah berakhir, setiap bola yang kami masukkan akan dihapus pada akhirnya! Mungkin butuh menit tak terbatas, tapi tidak apa-apa, karena kita memiliki jumlah menit tak terbatas yang tersisa. Itulah solusi sebenarnya dari masalah tersebut.

Dalam formulasi ini, bisakah Anda bertanya "berapa banyak bola di dalam kotak setelah tak terbatas berakhir?" Tidak! Karena itu pertanyaan yang tidak masuk akal. Itu sebabnya pertanyaan aslinya juga tidak masuk akal. Atau Anda bisa menyebutnya sebagai posisi yang salah.

Sekarang, jika Anda kembali ke masalah semula, maka akhir zaman tampaknya terjadi. Itu di 12. Fakta bahwa kami berhenti memasukkan bola berarti waktu baru saja berakhir, dan kami mencapai lebih dari itu. Jadi, jawaban sebenarnya untuk pertanyaan itu adalah bahwa jam 12 seharusnya tidak pernah terjadi. Tidak bisa dijangkau.

Perlu membaca jawaban amoeba yang sangat bagus dan mengklarifikasi masalah sangat banyak. Saya tidak benar-benar tidak setuju dengan jawabannya tetapi ingin menunjukkan bahwa solusi masalah didasarkan pada konvensi tertentu. Yang menarik adalah bahwa masalah semacam ini menunjukkan bahwa konvensi ini, walaupun sering digunakan, dipertanyakan.

Seperti yang dia katakan ada poin teknis tentang membuktikan bahwa untuk setiap bola probabilitas untuk tetap di guci selamanya adalah 0. Terlepas dari titik ini, masalahnya bukan tentang probabilitas. Setara deterministik dapat diberikan. Jauh lebih mudah dipahami. Gagasan utamanya adalah: karena setiap bola tidak ada di guci dari beberapa titik waktu, guci di ujungnya kosong. Jika Anda merepresentasikan keberadaan dalam guci setiap bola dengan urutan nol dan satu, setiap urutan adalah 0 dari rentang tertentu, sehingga batasnya adalah 0.

Sekarang masalahnya bisa lebih disederhanakan. Saya menyebut momen 1, 2, 3 .... untuk kesederhanaan:

• saat 1: masukkan bola 1 ke dalam guci
• momen 2: hapus
• saat 3: masukkan bola 2 ke dalam guci
• saat 4: hapus
• saat 5: masukkan bola 3 ke dalam guci
• ...

Bola apa di akhir (siang hari)? Dengan ide yang sama, jawaban yang sama: tidak ada.

Tetapi pada dasarnya, tidak ada cara untuk mengetahui, karena masalahnya tidak mengatakan apa yang terjadi pada siang hari. Sebenarnya, ada kemungkinan bahwa pada akhir zaman, Pikachu tiba-tiba datang di guci. Atau mungkin semua bola tiba-tiba runtuh dan bergabung menjadi satu bola besar. Bukan berarti ini dimaksudkan untuk realistis, hanya saja tidak ditentukan.

Masalahnya hanya dapat dijawab jika konvensi tertentu memberi tahu kita bagaimana cara mencapai batas: asumsi kesinambungan. Keadaan guci pada siang hari adalah batas keadaannya sebelumnya. Di mana kita harus mencari asumsi kesinambungan yang akan membantu kita menjawab pertanyaan?

Dalam hukum fisik? Hukum fisik memastikan kesinambungan tertentu. Saya memikirkan model klasik sederhana, tidak memanggil fisika modern nyata. Tetapi pada dasarnya, hukum fisika akan membawa pertanyaan yang persis sama dengan yang matematika: cara kita memilih untuk menggambarkan kontinuitas hukum fisika bergantung pada mengajukan pertanyaan secara matematis: apa yang berkelanjutan, bagaimana?

Kita harus mencari asumsi kesinambungan dengan cara yang lebih abstrak. Gagasan yang biasa adalah mendefinisikan keadaan guci sebagai fungsi dari himpunan bola ke dalam . 0 berarti tidak ada, 1 berarti ada. Dan untuk mendefinisikan kontinuitas, kami menggunakan topologi produk, alias konvergensi pointwise. Kami mengatakan bahwa negara pada siang hari, adalah batas negara sebelum siang menurut topologi ini. Dengan topologi ini, ada batasnya, dan itu adalah 0: guci kosong.$\{0;1\}$

Tapi sekarang kita sedikit memodifikasi masalah untuk menantang topologi ini:

• saat 1: masukkan bola 1 ke dalam guci
• momen 2: hapus
• saat 3: masukkan bola 1 ke dalam guci
• saat 4: hapus
• saat 5: masukkan bola 1 ke dalam guci
• ...

Untuk topologi yang sama, urutan keadaan tidak memiliki batas. Di situlah saya mulai melihat paradoks sebagai paradoks yang benar. Bagi saya masalah yang dimodifikasi ini pada dasarnya sama. Bayangkan Anda adalah guci. Anda melihat bola datang dan pergi. Jika Anda tidak dapat membaca nomor di atasnya, apakah itu bola yang sama atau yang lain tidak mengubah apa yang terjadi pada Anda. Alih-alih melihat bola sebagai elemen individu yang berbeda, Anda melihatnya sebagai sejumlah materi yang masuk dan keluar. Kontinuitas secara alami dapat didefinisikan dengan melihat variasi jumlah materi. Dan memang tidak ada batasan. Di satu sisi masalah ini sama dengan masalah asli di mana Anda memutuskan untuk mengabaikan identitas bola, sehingga mengarah ke metrik yang berbeda dan gagasan konvergensi yang berbeda. Dan bahkan jika Anda bisa melihat angka pada bola,

Dalam satu kasus, batas urutan negara Anda adalah "kosong", dalam kasus lain batas tidak ditentukan.

Formalisasi masalah dengan topologi produk pada dasarnya bergantung pada pemisahan apa yang terjadi pada masing-masing bola yang berbeda, dan dengan demikian menciptakan metrik yang mencerminkan "dapat dibedakan". Hanya karena pemisahan ini, batas dapat ditentukan. Fakta bahwa pemisahan ini sangat mendasar untuk jawabannya tetapi tidak mendasar untuk menggambarkan "apa yang terjadi" di dalam guci (suatu hal yang tidak dapat diperdebatkan tanpa akhir), membuat saya berpikir solusinya adalah konsekuensi dari konvensi daripada kebenaran mendasar.

Bagi saya, masalahnya, ketika dianggap sebagai abstrak murni memiliki solusi selama informasi yang hilang diberikan: bahwa keadaan pada siang hari adalah batas dari keadaan sebelumnya dan batas dalam arti apa. Namun, ketika memikirkan masalah ini secara intuitif, batas urutan keadaan bukanlah sesuatu yang dapat Anda pikirkan dalam satu cara. Pada dasarnya, saya pikir tidak ada cara untuk menjawab.

Saya ingin membuat reformulasi yang semudah mungkin untuk membuat jawaban 0 lebih intuitif, mulai dari contoh sederhana bahwa bola tidak dihilangkan secara acak, tetapi bola dihapus pada langkah ke- .$n$$n$

Pertimbangkan ini: Saya menaruh semua bola ke dalam guci di awal. Pada langkah 1, saya mengeluarkan bola 1. Pada langkah 2, saya mengeluarkan bola 2, dan seterusnya. Keraguan bahwa guci akan kosong setelah langkah tak terbatas?

Baik. Tetapi jika saya tidak menempatkan semua bola ke dalam guci pada awalnya, tetapi hanya beberapa bola, bagaimana guci bisa lebih penuh pada akhirnya?

Tujuan dari posting ini adalah untuk memperdebatkan opsi terakhir OP bahwa kita perlu formulasi yang lebih baik. Atau setidaknya, bukti Ross tidak sejelas yang tampak pada awalnya, dan tentu saja, bukti tidak begitu intuitif sehingga berada dalam posisi yang baik untuk berada di jalur pengantar untuk teori probabilitas. Dibutuhkan banyak penjelasan baik dalam memahami aspek-aspek paradoksal, dan sekali penjelasan yang telah jelas pada titik-titik di mana bukti Ross berlalu dengan sangat cepat, membuatnya sulit untuk melihat aksioma, teorema, dan interpretasi implisit mana bukti yang bergantung pada bukti.

Terkait dengan aspek ini, sangat menyenangkan untuk membaca kata-kata terakhir Teun Koetsier di "Didactiek meet oneindig veel pingpongballen?"

Kita juga harus menentang dan kata-kata tetapi 'Paradoks jendela untuk kebingungan'.

Diterjemahkan "Jika kita tidak berhati-hati maka itu menjadi 'Paradoks jendela kebingungan'"

Di bawah ini adalah deskripsi dari argumen "biasa" yang mungkin lolos dalam diskusi tentang supertasks, dan lebih khusus paradoks Ross-Littlewood deterministik. Setelah ini, ketika kita mengesampingkan semua diskusi ini, sebuah pandangan diberikan tentang kasus khusus paradoks Ross-Littlewood probabilistik sebagai menyediakan elemen tambahan , yang bagaimanapun tersesat dan membingungkan dalam pengaturan yang lebih luas dengan supertasks.

Tiga kasus deterministik dan diskusi tentang supertasks

Paradoks Ross-Littlewood mengetahui banyak hasil yang berbeda tergantung pada cara di mana bola dipindahkan dari guci. Untuk menyelidiki ini, mari kita mulai dengan menggunakan deskripsi masalah yang tepat seperti yang dijelaskan Littlewood sebagai masalah ke-5 dalam naskah tahun 1953- nya.

Versi 1 Set bola yang tersisa di dalam guci kosong

Paradoks Ross-Littlewood, atau paradoks Littlewood-Ross, pertama kali muncul sebagai masalah ke-5 dalam manuskrip Littlewood tahun 1953 "aneka ahli matematika"

Paradoks tak terhingga. Bola bernomor 1, 2, ... (atau untuk ahli matematika angka-angka itu sendiri) dimasukkan ke dalam kotak sebagai berikut. Pada 1 menit hingga tengah hari nomor 1 hingga 10 dimasukkan, dan nomor 1 dikeluarkan. Pada 1/2 menit hingga tengah hari nomor 11 hingga 20 dimasukkan dan nomor 2 dikeluarkan dan seterusnya. Berapa banyak yang ada di dalam kotak pada siang hari?

Littlewood pendek tentang masalah ini, tetapi memberikan representasi yang bagus sebagai set poin:

$P_{1} + P_{2}+ ... + P_{10} - P_1 + P_{11} + ... + P_{20} - P_2 + ...$

untuk itu mudah diketahui bahwa itu 'nol'.

Versi 2 Himpunan bola yang tersisa di guci memiliki ukuran tak terbatas

Ross (1976) menambahkan dua versi lagi ke paradoks ini. Pertama kita melihat tambahan pertama:

Misalkan kita memiliki guci besar tak terhingga dan koleksi bola tanpa batas berlabel nomor 1, nomor 2, nomor 3, dan seterusnya. Pertimbangkan eksperimen yang dilakukan sebagai berikut: Pada 1 menit hingga 12 malam, bola bernomor 1 hingga 10 ditempatkan di dalam guci dan bola nomor 10 ditarik. (Asumsikan bahwa penarikan tidak membutuhkan waktu.) Pada 12 menit hingga 12 malam, bola bernomor 11 sampai 20 ditempatkan di dalam guci dan bola nomor 20 ditarik. Pada pukul 14 hingga 12 siang, bola bernomor 21 sampai 30 ditempatkan di guci dan bola nomor 30 ditarik. Pada 18 menit hingga 12 malam, dan seterusnya. Pertanyaan yang menarik adalah, berapa banyak bola yang ada di guci jam 12 siang?

Jelas jawabannya adalah tak terhingga karena prosedur ini meninggalkan semua bola dengan angka di dalam guci, yang jumlahnya sangat banyak.$x \mod 10 \neq 0$

Sebelum kita beralih ke penambahan kedua Ross, yang termasuk probabilitas, kita beralih ke kasus lain.

Versi 3 Set bola yang tersisa di guci adalah set terbatas ukuran sewenang - wenang

Guci dapat memiliki jumlah bola pada jam 12 malam tergantung pada prosedur penggantian bola. Variasi ini telah dijelaskan oleh Tymoczko dan Henle (1995) sebagai masalah bola tenis.

Tom ada di dalam kotak besar, kosong kecuali untuk dirinya sendiri. Jim berdiri di luar kotak dengan jumlah bola tenis yang tak terbatas (nomor 1, 2, 3, ....). Jim melempar bola 1 dan 2 ke dalam kotak. Tom mengambil bola tenis dan membuangnya. Selanjutnya Jim melempar bola 3 dan 4. Tom mengambil bola dan melemparnya. Selanjutnya Jim melempar bola 5 dan 6. Tom mengambil bola dan melemparnya. Proses ini berlangsung berkali-kali hingga Jim melempar semua bola. Sekali lagi, kami meminta Anda untuk menerima menyelesaikan tugas dalam jumlah tak terbatas dalam periode waktu yang terbatas. Inilah pertanyaannya: Berapa banyak bola di dalam kotak bersama Tom saat aksinya selesai?

Jawabannya agak mengganggu: Tergantung. Tidak cukup informasi yang diberikan untuk menjawab pertanyaan. Mungkin ada jumlah bola yang tak terbatas tersisa, atau mungkin tidak ada.

Dalam contoh buku teks mereka berdebat untuk dua kasus, baik tak terbatas atau terbatas (Tymoczko dan Henle, meninggalkan kasus menengah sebagai latihan), namun masalahnya diambil lebih lanjut dalam beberapa artikel jurnal di mana masalahnya digeneralisasi sehingga kita bisa mendapatkan nomor berapa pun tergantung pada prosedur yang diikuti.

Yang sangat menarik adalah artikel-artikel tentang aspek-aspek kombinatorial masalah (di mana fokusnya, bagaimanapun, bukan pada aspek-aspek yang tak terhingga). Misalnya menghitung jumlah set yang mungkin dapat kita miliki setiap saat. Dalam hal menambahkan 2 bola dan menghapus 1 setiap langkah hasilnya sederhana dan ada jumlah set yang mungkin pada langkah ke-n adalah angka katalan n +1. Misal 2 kemungkinan {1}, {2} di langkah pertama, 5 kemungkinan {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} dan {3,4} di langkah kedua, 14 di yang ketiga, 42 di yang keempat, dan sebagainya (lihat Merlin, Sprugnoli dan Verri 2002, Masalah bola tenis ). Hasil ini telah digeneralisasi untuk jumlah yang berbeda dari penambahan dan pengurangan bola tetapi ini terlalu jauh untuk posting ini sekarang.

Argumen berdasarkan konsep supertasks

Sebelum sampai ke teori probabilitas, banyak argumen sudah dapat dibuat terhadap kasus-kasus deterministik dan kemungkinan menyelesaikan supertask. Juga, orang dapat mempertanyakan apakah himpunan teoretis himpunan merupakan representasi valid dari representasi kinematik supertask. Saya tidak ingin berdebat apakah argumen ini baik atau buruk. Saya menyebut mereka untuk menyoroti bahwa kasus probabilistik dapat dikontraskan dengan argumen-argumen 'supertask' ini dan dapat dilihat mengandung unsur-unsur tambahan yang tidak ada hubungannya dengan supertask. Kasus probabilistik memiliki elemen yang unik dan terpisah (penalaran dengan teori probabilitas) yang tidak terbukti atau dibantah dengan berdebat melawan atau untuk kasus supertasks.

• Argumen kontinuitas : Argumen ini seringkali lebih konseptual. Misalnya gagasan bahwa supertask tidak dapat diselesaikan seperti Aksakal dan Joshua berdebat dalam jawaban mereka, dan demonstrasi yang jelas dari gagasan ini adalah lampu Thomson , yang dalam kasus paradoks Ross Littlewood akan seperti bertanya, adalah yang terakhir dihapus angka ganjil atau genap?

• Argumen fisik: Ada juga argumen yang menantang konstruksi matematika sebagai yang relevan dengan realisasi fisik masalah. Kita dapat memiliki penanganan matematis yang ketat dari suatu masalah, tetapi pertanyaannya tetap adalah apakah ini benar-benar berpengaruh pada pelaksanaan tugas secara mekanistik (di luar dugaan sederhana seperti melanggar batasan tertentu dari dunia fisik sebagai batas kecepatan atau kebutuhan energi / ruang) .

  • Salah satu argumen mungkin bahwa batas teori set adalah konsep matematika yang belum tentu menggambarkan realitas fisik

    Misalnya mempertimbangkan masalah yang berbeda berikut: guci memiliki bola di dalam yang kita tidak bergerak. Setiap langkah kita menghapus angka yang sebelumnya ditulis pada bola dan menulis ulang angka baru yang lebih rendah di atasnya. Apakah guci akan kosong setelah banyak langkah? Dalam hal ini tampaknya sedikit lebih absurd untuk menggunakan batas teori set, yang merupakan set kosong. Batas ini bagus sebagai alasan matematis, tetapi apakah itu mewakili sifat fisik dari masalah? Jika kita membiarkan bola menghilang dari guci karena penalaran matematika abstrak (yang, mungkin harus dianggap lebih sebagai masalah yang berbeda ) maka sama baiknya kita mungkin membuat seluruh guci menghilang?

  • Juga, diferensiasi bola dan menugaskan mereka urutan tampaknya "tidak fisik" (itu relevan dengan perlakuan matematis set, tetapi apakah bola dalam guci berperilaku seperti set itu?). Jika kita akan merombak bola di setiap langkah (mis. Setiap langkah secara acak, ganti bola dari tumpukan yang dibuang dengan bola dari tumpukan sisa bola tak terbatas), sehingga melupakan penomoran berdasarkan apakah mereka memasuki guci atau jumlah yang mereka dapatkan dari awal, maka argumen berdasarkan batas teoretis himpunan tidak masuk akal lagi karena himpunan tidak konvergen (tidak ada solusi stabil setelah bola telah dibuang dari guci, ia dapat kembali lagi).

    Dari perspektif melakukan tugas fisik mengisi dan mengosongkan guci itu sepertinya tidak masalah apakah kita memiliki angka atau tidak. Ini membuat himpunan teoretis himpunan lebih seperti pemikiran matematis tentang himpunan tak terbatas daripada proses aktual.

Lagi pula, Jika kita bersikeras menggunakan paradoks tak terbatas ini untuk tujuan didaktik, dan dengan demikian, sebelum kita sampai pada teori probabilitas, pertama-tama kita harus berjuang untuk mendapatkan ide yang dapat diterima tentang supertask (tertentu) yang diterima oleh yang paling skeptis / keras kepala. para pemikir, maka mungkin menarik untuk menggunakan korespondensi antara paradoks Zeno dan paradoks Ross-Littlewood yang dijelaskan oleh Allis dan Koetsier (1995) dan secara singkat dijelaskan di bawah ini.

Dalam analogi mereka, Achilles berusaha mengejar kura-kura sementara mereka berdua menyilang bendera yang ditempatkan sedemikian rupa, dengan jarak sedemikian rupa sehingga jarak Achilles dengan bendera adalah dua kali jarak kura-kura dengan bendera , yaitu . Kemudian sampai jam 12 siang. perbedaan pada bendera yang akan dimiliki kura-kura dan Achilles semakin bertambah . Tetapi, pada akhirnya jam 12 malam, tidak seorang pun kecuali orang-orang Eleatik akan berpendapat bahwa mereka Achilles dan kura-kura mencapai titik yang sama dan (dengan demikian) tidak memiliki bendera di antara mereka.

$$F(n)=2^{-10 \log n}$$ $n$$10n$$F(n) = 2 F(10n)$

Kasus probabilistik dan bagaimana hal itu menambah aspek baru pada masalah.

Versi kedua ditambahkan oleh Ross (dalam buku pelajarannya), menghilangkan bola berdasarkan pilihan acak

Mari kita anggap bahwa setiap kali bola ditarik, bola itu dipilih secara acak dari antara yang hadir. Yaitu, anggaplah bahwa pada 1 hingga 12 siang, bola-bola bernomor 1 sampai 10 ditempatkan di dalam guci dan sebuah bola dipilih dan ditarik secara acak, dan seterusnya. Dalam hal ini, berapa banyak bola yang ada di guci pukul 12 siang?

Solusi Ross adalah probabilitasnya 1 untuk guci yang kosong. Namun, sementara argumentasi Ross tampaknya masuk akal dan keras, orang mungkin bertanya-tanya aksioma seperti apa yang diperlukan untuk ini dan teorema mana yang mungkin ditempatkan di bawah tekanan oleh asumsi implisit yang mungkin tidak ditemukan dalam aksioma-aksioma tersebut (misalnya anggapan bahwa peristiwa pada siang hari dapat diberikan probabilitas).

Singkatnya, perhitungan Ross merupakan kombinasi dari dua elemen yang membagi peristiwa guci tidak kosong menjadi banyak himpunan bagian / peristiwa dan membuktikan bahwa untuk masing-masing peristiwa ini probabilitasnya nol:

1. Untuk, , acara dengan nomor bola di guci jam 12 malam, kami memiliki$F_i$$i$$P(F_1) = 0$

2. Untuk, , probabilitas bahwa guci tidak kosong pada jam 12 malam, kami memiliki$P(\bigcup_1^\infty F_i)$

   $P(\bigcup_1^\infty F_i) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$

Kasus probabilistik paradoks Ross-Littlewood, tanpa alasan tentang supertasks

Dalam bentuk paradoks yang paling telanjang, melepaskannya dari masalah apa pun dengan kinerja supertasks, kita mungkin bertanya-tanya tentang masalah "lebih sederhana" dalam mengurangkan set tak terbatas. Misalnya dalam tiga versi yang kita dapatkan:

$$\begin{array} \\ S_{added} &= \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \rbrace + \lbrace10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,1} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,2} &= \lbrace 10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,3} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \setminus \lbrace a_1,a_2,a_3,... \text{ with } a_i \in \mathbb{N} \rbrace \end{array}$$

dan masalahnya berkurang menjadi pengurangan yang ditetapkan seperti .$S_{added}-S_{removed,1} = \emptyset$

Urutan tanpa batas apa pun, , adalah urutan (yang sama) mungkin yang menggambarkan urutan di mana bola dapat dilepas dalam realisasi probabilistik dari Ross Masalah -Littlewood. Mari kita sebut urutan tak terbatas ini RL-urutan.$S_{RL} =\lbrace a_k \text{ without repetitions and } a_k < 10k \rbrace$

Sekarang, pertanyaan yang lebih umum, tanpa alasan paradoks tentang supertasks, adalah tentang kepadatan urutan RL yang tidak mengandung seluruh rangkaian$\mathbb{N}$

Tampilan grafis masalah.

bersarang, fraktal, struktur

Sebelum versi yang diedit dari jawaban ini saya telah membuat argumen yang menggunakan keberadaan peta injeksi dari 'urutan tak terbatas yang mengosongkan guci' ke 'urutan tak terbatas yang tidak mengandung angka 1'.

Itu bukan argumen yang valid. Bandingkan misalnya dengan kepadatan himpunan kotak. Ada banyak kotak yang tak terhingga (dan ada hubungan bijective dan ), namun himpunan kotak memiliki kepadatan nol di .$n \mapsto n^2$$n^2 \mapsto n$$\mathbb{N}$

Gambar di bawah ini menciptakan pandangan yang lebih baik bagaimana, dengan setiap langkah ekstra, probabilitas bola 1 di dalam guci menurun (dan kami dapat memperdebatkan hal yang sama untuk semua bola lainnya). Meskipun kardinalitas dari himpunan bagian dari semua sekuens RL (sekuensing bola yang dipindahkan) sama dengan kardinalitas semua sekuens RL (gambar menampilkan semacam struktur fraktal dan pohon itu mengandung banyak sekali salinan dari ke dua belas).

pertumbuhan ruang sampel, jumlah jalur

Gambar menunjukkan semua kemungkinan realisasi untuk lima langkah pertama, dengan skema untuk masalah bola tenis (masalah bola tenis, setiap langkah: tambahkan 2 hapus 1, tumbuh lebih cepat dan lebih mudah ditampilkan). Garis-garis pirus dan ungu menampilkan semua jalur yang mungkin dapat dibuka (bayangkan pada setiap langkah kita melempar dadu dengan ukuran dan berdasarkan hasil itu kita memilih salah satu jalur , atau dengan kata lain berdasarkan hasil kami menghapus salah satu dari bola di dalam guci).$n$$n+1$$n+1$$n+1$

Jumlah komposisi guci yang mungkin (kotak) meningkat sebagai angka Catalan n + 1- , dan jumlah total lintasan bertambah sebagai faktorial. Untuk kasus komposisi guci dengan bola nomor 1 di dalam (berwarna abu-abu gelap) dan jalur yang mengarah ke kotak-kotak ini (ungu), angkanya terungkap persis sama namun kali ini adalah nomor katalan ke-n dan faktorial.$C_{n+1}$$(n+1)!$$n!$

kepadatan jalur yang meninggalkan bola di dalam$n$

Jadi, untuk jalur yang mengarah ke guci dengan bola nomor 1 di dalamnya, densitasnya adalah Dan berkurang saat menjadi lebih besar. Sementara ada banyak realisasi yang mengarah pada menemukan nomor bola di dalam kotak, probabilitas mendekati nol (saya berpendapat bahwa ini tidak membuatnya mustahil, tetapi hampir pasti tidak terjadi, dan trik utama dalam argumen Ross adalah bahwa persatuan banyak peristiwa nol yang terhitung juga merupakan peristiwa nol).$\frac{(n)!}{(n+1)!}$$n$$n$

Contoh jalur untuk lima langkah pertama dalam masalah bola tenis (setiap langkah: tambahkan 2 hapus 1)

Argumen Ross untuk guci yang pasti kosong.

Ross mendefinisikan peristiwa (himpunan bagian dari ruang sampel), , bahwa bola bernomor berada di guci di langkah . (dalam buku pelajarannya dia benar-benar meninggalkan subskrip dan berpendapat untuk bola 1).$E_{in}$$i$$n$$i$

Bukti langkah 1)

Ross menggunakan proposisinya 6.1. untuk menambah atau mengurangi urutan kejadian (mis. penurunan setara dengan ).$E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset E_4 \supset ...$

Proposisi 6.1: Jika adalah urutan kejadian yang meningkat atau menurun, maka$\lbrace E_n, n\geq 1 \rbrace$

$$\lim_{n \to \infty} P(E_n) = P(\lim_{n \to \infty} E_n)$$

Dengan menggunakan proposisi ini, Ross menyatakan bahwa probabilitas untuk mengamati bola pada pukul 12 siang (yang merupakan peristiwa ) sama dengan$i$$lim_{n \to \infty} E_{in}$

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in})$$

Allis dan Koetsier berpendapat bahwa ini adalah salah satu asumsi tersirat. Supertask itselve tidak (secara logis) menyiratkan apa yang terjadi pada jam 12 siang dan solusi untuk masalah tersebut harus membuat asumsi implisit, yang dalam hal ini kita dapat menggunakan prinsip kesinambungan pada set bola di dalam guci untuk menyatakan apa yang terjadi tak terhingga. Jika batas (set-theoretik) hingga tak terbatas adalah nilai tertentu, maka pada tak terhingga kita akan memiliki nilai tertentu (tidak ada lompatan tiba-tiba).

Varian yang menarik dari paradoks Ross-Littlewood adalah ketika kami juga secara acak mengembalikan bola yang telah dibuang sebelumnya. Dalam hal itu tidak akan ada konvergensi (seperti lampu Thomson) dan kita tidak dapat dengan mudah mendefinisikan batas urutan (yang tidak berkurang lagi).$E_{in}$

Bukti langkah 2)

Batasnya dihitung. Ini adalah langkah aljabar sederhana.

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in}) = \prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = 0$$

Bukti langkah 3)

Dikatakan bahwa langkah 1 dan 2 bekerja untuk semua dengan pernyataan sederhana$i$

"Demikian pula, kami dapat menunjukkan bahwa untuk semua "$P(F_i)=0$$i$

di mana adalah acara yang bola telah dikeluarkan dari guci ketika kami telah mencapai 12:00$F_i$$i$

Meskipun ini mungkin benar, kita mungkin bertanya-tanya tentang ekspresi produk yang indeks rendahnya sekarang menjadi tak terhingga:

$$lim_{i \to \infty}(lim_{n \to \infty} P (E_{in})) = lim_{i \to \infty}\prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = ... ?$$

Saya belum banyak bicara tentang hal itu kecuali saya berharap seseorang dapat menjelaskan kepada saya apakah itu berhasil.

Akan lebih baik untuk mendapatkan contoh intuitif yang lebih baik tentang gagasan bahwa urutan menurun , yang diperlukan untuk proposisi 6.1, tidak dapat semuanya mulai dengan indeks angka langkah, , sama dengan 1. Indeks ini harus meningkat hingga tak terbatas (yang bukan hanya jumlah langkah menjadi tak terbatas, tetapi juga pemilihan acak bola yang akan dibuang menjadi tak terbatas dan jumlah bola yang kita amati batasnya menjadi tak terbatas). Meskipun masalah teknis ini mungkin ditangani (dan mungkin sudah dilakukan dalam jawaban lain, baik secara implisit atau eksplisit), penjelasan yang menyeluruh dan intuitif, penjelasan mungkin sangat membantu.$E_{in}, E_{in+1}, E_{in+2}, ...$$n$

Pada langkah 3 ini menjadi agak teknis, sedangkan Ross sangat pendek tentangnya. Ross mengandaikan adanya ruang probabilitas (atau setidaknya tidak eksplisit tentang hal itu) di mana kita dapat menerapkan operasi ini pada tak terbatas, sama seperti kita dapat menerapkan operasi dalam ruang bagian terbatas.

Jawaban oleh ekvall menyediakan konstruksi, menggunakan teorema ekstensi karena Ionescu-Tulcea , menghasilkan ruang produk tanpa batas di mana kita dapat mengekspresikan peristiwa dengan produk tak terbatas dari kernel probabilitas, menghasilkan .$\sum_{k=0}^\infty \Omega_i \bigotimes_{k=0}^\infty \mathcal{A}_i$$P(E_i)$$P=0$

Namun itu tidak dijabarkan dalam arti intuitif. Bagaimana kita dapat menunjukkan secara intuitif bahwa ruang acara berfungsi? Yang melengkapi itu adalah set nol (dan bukan angka 1 dengan nol sangat banyak, seperti apakah solusi dalam versi yang disesuaikan dari masalah Ross-Littlewood oleh Allis dan Koetsier) dan bahwa itu adalah ruang probabilitas?$E_{i}$

Bukti langkah 4)

Ketidaksetaraan Boole digunakan untuk menyelesaikan buktinya.

$$P\left( \bigcup_1^\infty F_i \right) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$$

Ketidaksetaraan terbukti untuk set acara yang terbatas atau tak terhingga dapat dihitung. Ini berlaku untuk .$F_i$

Bukti oleh Ross ini bukan bukti dalam arti konstruktivis. Alih-alih membuktikan bahwa probabilitasnya hampir 1 untuk guci kosong pada jam 12 malam, itu membuktikan bahwa probabilitasnya hampir 0 untuk guci diisi dengan bola apa pun dengan angka terbatas di atasnya.

Ingatan

Paradoks Ross-Littlewood deterministik secara eksplisit berisi set kosong (ini adalah bagaimana posting ini dimulai). Ini membuatnya kurang mengejutkan bahwa versi probabilistik berakhir dengan set kosong, dan hasilnya (apakah itu benar atau tidak) tidak jauh lebih paradoks seperti versi RL non-probabilistik. Eksperimen pemikiran yang menarik adalah versi berikut dari masalah RL:

• Bayangkan mulai dengan sebuah guci yang penuh dengan bola yang tak terhingga banyaknya, dan mulailah membuang bola secara acak darinya. Supertask ini, jika sudah berakhir, harus secara logis mengosongkan guci. Karena, jika tidak kosong kita bisa melanjutkan. (Namun, eksperimen pemikiran ini memperluas gagasan tentang supertask dan memiliki akhir yang samar-samar. Apakah itu ketika guci kosong atau ketika kita mencapai jam 12 malam?)

Ada sesuatu yang tidak memuaskan tentang teknik pembuktian Ross, atau setidaknya beberapa intuisi dan penjelasan yang lebih baik dengan contoh-contoh lain mungkin diperlukan untuk dapat sepenuhnya menghargai keindahan buktinya. Ke-4 langkah bersama membentuk mekanisme yang dapat digeneralisasi dan mungkin diterapkan untuk menghasilkan banyak paradoks lainnya (Meskipun saya sudah mencoba, saya tidak berhasil).

Kita mungkin dapat menghasilkan teorema sedemikian rupa sehingga untuk ruang sampel lain yang cocok yang meningkatkan ukuran menuju infinity (ruang sampel masalah RL memiliki ). Jika kita dapat mendefinisikan satu set peristiwa yang dapat dihitung yang merupakan urutan menurun dengan batas 0 ketika langkah meningkat, maka probabilitas peristiwa yang merupakan gabungan dari peristiwa tersebut menjadi nol saat kita mendekati tak terhingga. Jika kita dapat membuat penyatuan peristiwa menjadi seluruh ruang (dalam contoh RL vas kosong tidak termasuk dalam persatuan yang probabilitasnya menjadi nol, sehingga tidak ada paradoks yang parah terjadi) maka kita dapat membuat paradoks yang lebih parah yang menantang konsistensi aksioma dalam kombinasi dengan deduksi transfinite.$card(2^\mathbb{N})$$E_{ij}$$j$

• Salah satu contohnya (atau upaya untuk menciptakannya) adalah pemisahan roti yang tak terhingga menjadi potongan-potongan yang lebih kecil (untuk memenuhi kondisi matematika, katakanlah kita hanya membuat pemisahan menjadi potongan-potongan yang memiliki ukuran bilangan rasional positif). Untuk contoh ini kita dapat mendefinisikan peristiwa (pada langkah x kita memiliki ukuran x), yang menurunkan urutan dan batas probabilitas untuk peristiwa menjadi nol (seperti halnya paradoks RL, urutan penurunan hanya terjadi lebih jauh dan lebih lanjut dalam waktu, dan ada titik tetapi tidak dan konvergensi seragam).

  Kita harus menyimpulkan bahwa ketika kita menyelesaikan supertask ini bahwa roti telah menghilang . Kita bisa pergi ke berbagai arah di sini. 1) Kita dapat mengatakan bahwa solusinya adalah himpunan kosong (walaupun solusi ini jauh lebih tidak menyenangkan daripada dalam paradoks RL, karena himpunan kosong bukan bagian dari ruang sampel) 2) Kita dapat mengatakan ada banyak potongan yang tidak terdefinisi secara tak terbatas ( misalnya ukuran sangat kecil) 3) atau mungkin kita harus menyimpulkan (setelah melakukan pembuktian Ross dan menemukan kosong) bahwa ini bukan supertask yang dapat diselesaikan? Bahwa gagasan untuk menyelesaikan supertask semacam itu dapat dibuat tetapi tidak harus "ada" (semacam paradoks Russell).

---

Sebuah kutipan dari Besicovitch yang dicetak dalam bermacam-macam Littlewood:

"Reputasi seorang ahli matematika didasarkan pada jumlah bukti buruk yang telah dia berikan".

---

Allis, V., Koetsier, T. (1995), Pada Beberapa Paradoks Infinite II , The British Journal for the Philosophy of Science , hlm. 235-247

Koetsier, T. (2012), Didactiek bertemu oneindig veel pingpongballen, Nieuw Archief voor Wiskunde , 5/13 nr4, hlm. 258-261 ( asli Belanda , terjemahan dimungkinkan melalui google dan metode lain)

Littlewood, JE (1953), Ahli matematika Miscellany , hlm. 5 ( tautan gratis via archive.org )

Merlin, D., Sprugnoli, R., dan Verri MC (2002), Masalah bola tenis , Journal of Combinatorial Theory , hlm. 307-344

Ross, SM (1976), Kursus pertama dalam probabilitas , (bagian 2.7)

Tymoczko, T. dan Henle, J. (1995 asli) ( 1999 rujukan edisi 2 di google ), Sweet Reason: panduan lapangan untuk logika modern

Oke, saya akan coba lagi.

Jawabannya adalah paradoks itu murni matematika. Jawaban Enumaris dan cmaster mengatakan apa yang terjadi dalam satu cara, tetapi ini adalah cara lain untuk melihat masalahnya. Masalahnya adalah bagaimana kita berurusan dengan probabilitas dengan infinitas, seperti yang ditulis Jaynes (lihat jawaban percobaan saya yang lain untuk perincian).

Serangkaian tak terbatas biasanya diperlakukan seolah-olah tidak memiliki akhir, tetapi dalam masalah ini ada waktu akhir (12:00) dan secara logis, bahkan jika tidak secara matematis, ada siklus terakhir penambahan dan penghapusan bola: yang terjadi tak terhingga sebelum jam 12 siang. Adanya siklus 'terakhir' memungkinkan kita untuk melihat probabilitas ke belakang serta ke depan melalui waktu.

Pertimbangkan sepuluh bola yang terakhir ditambahkan. Bagi mereka masing-masing, probabilitas mereka untuk dihilangkan adalah nol karena mereka masing-masing hanyalah satu bola tak terhingga yang bisa dihilangkan. Jadi probabilitas bahwa akan ada setidaknya sepuluh bola tersisa di 12:00 adalah persatuan.

QED. Argumen probabilistik yang tidak mengarah pada omong kosong.

Baru-baru ini beberapa komentar oleh Wilhelm, Wolfgang Mückenheim, membuat saya mempertimbangkan kembali formulasi tertentu dalam jawaban saya. Saya memposting ini sebagai jawaban baru terutama karena pendekatan yang berbeda dari jawaban ini, tidak berdebat tentang pengajaran masalah ini, tetapi sebaliknya tentang paradoks yang tidak valid.

Wilhelm membahas dalam naskah panjangnya itu

Transaksi hanya dimungkinkan pada langkah hingga (tidak ada tindakan yang mungkin "antara semua dan ").$n$$n$$\omega$

Ini mengingatkan saya pada istilah itu

$$\sum_{k=1}^\infty \prod_{n=k}^\infty \left( \frac{9n}{9n+1} \right)$$

yang berasal dari karya Ross. Istilah ini tidak dapat ditentukan ketika jalan menuju tak terbatas tidak ditentukan untuk batas berikut.

$$\lim_\limits{(l,m)\to(\infty,\infty)}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^m\left(\frac{9n}{9n+1}\right)$$

Ini sepertinya mirip dengan poin yang dibahas Wilhelm dan juga disebutkan dalam jawaban aksakal. Langkah-langkah dalam waktu menjadi sangat kecil, jadi kita akan dapat mencapai jam 12 malam dalam hal itu, tetapi kita pada saat yang sama perlu menambahkan dan menghapus jumlah bola tanpa batas (tidak fisik). Adalah ide yang salah untuk melampirkan supertask ini ke proses seperti panah Zeno, sama seperti saklar lampu paradoks Thompson tidak dapat memiliki posisi yang pasti di akhir supertask.

Dalam batasan kita dapat mengatakan bahwa jalan fisik menuju tak terhingga yang kita ambil adalah

$$\lim_\limits{l\to \infty}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^l\left(\frac{9n}{9n+1}\right) = \lim_\limits{l\to \infty} \frac{9l}{10}$$

jadi bukan nol tapi tak terbatas.

Saya percaya bahwa contoh ini mendukung "jika premisnya salah maka syaratnya benar"

Di alam semesta ini, tidak ada guci yang tak terbatas dan tidak ada koleksi bola yang tak terbatas. Tidak mungkin membagi waktu menjadi potongan-potongan kecil yang sewenang-wenang.

Jadi Sheldon Ross benar untuk mengatakan bahwa guci kosong pada pukul 12:00. Siswa yang mengatakan bahwa guci memiliki bola tanpa batas pada pukul 12:00 sama benarnya.

Jika Anda menjawab guci memiliki 50 bola maka Anda juga benar.

Saya belum membuktikan dengan seksama bahwa alam semesta ini tidak mengandung guci yang tak terbatas dan bola-bola yang tak terbatas dan waktu itu bukan atom - saya hanya percaya hal-hal itu. Jika Anda yakin ketiga pernyataan itu salah, maka Anda yakin masalah Ross bisa dipalsukan secara empiris. Saya menunggu hasil eksperimen Anda.

Saya mendukung pendapat bahwa masalahnya salah. Ketika kita mempertimbangkan sesuatu yang tidak terbatas, kita sering harus menggunakan batasan. Tampaknya ini satu-satunya cara. Karena kami membedakan bola yang berbeda, kami memiliki proses dimensi tak terbatas mana singkatan waktu, jika ada bola pada waktu dan sebaliknya.T = - 1 , - 1 / 2 , - 1 / 4 , . . . X t , j = 1 j t + 0 X t , j =

$$(X_{t,1}, X_{t,2},...),$$ $t=-1,-1/2,-1/4,...$$X_{t,j}=1$$j$$t+0$$X_{t,j}=0$

Sekarang adalah pada kebijaksanaan setiap orang yang menggunakan konvergensi: seragam, komponen, , dll. Tidak perlu dikatakan, jawabannya tergantung pada pilihan.$l_p$

Kesalahpahaman dalam masalah ini berawal dari mengabaikan fakta bahwa masalah metrik sangat penting ketika kita mempertimbangkan konvergensi vektor dimensi tak terbatas. Tanpa memilih jenis konvergensi, tidak ada jawaban yang benar yang dapat diberikan.

(Ada konvergensi komponen ke nol vektor. Sementara norma menghitung jumlah bola, jadi dalam norma ini prosesnya meledak.)$l_1$

Lebih banyak intuisi daripada pendidikan formal, tetapi:

Jika interval hingga tengah malam berkurang setengahnya, kita tidak pernah mencapai tengah malam ... kita hanya mendekati tanpa gejala; sehingga orang dapat berargumentasi bahwa ada adalah tidak ada solusi.

Atau, tergantung pada frasa:

• karena ada interval tak terbatas +10 bola jawabannya tidak terbatas
• karena ada interval tak terbatas (+10 bola - 1) jawabannya adalah 10 * tak terbatas -1 * tak terbatas = 0?
• karena ada interval tak terhingga dari (+9 bola) +1 jawabannya tidak terbatas + 1

Menulis ulang: 16 Jan 2018

Bagian 1: Garis Besar

Hasil mendasar dari posting ini adalah sebagai berikut:

• Bola setengah memiliki probabilitas sekitar tersisa dalam batas saat langkah menuju ke - ini adalah observasi dunia nyata dan diturunkan secara matematis. Fungsi turunan memiliki domain dari rasional dalam . Misalnya, probabilitas dalam batas setengah bola yang tersisa sesuai dengan nilai domain . Fungsi ini dapat menghitung probabilitas sisa untuk setiap fraksi dari ukuran langkah.$0.91$$\infty$
  $(0,1]$$1/2$
• Analisis Ross tidak salah tetapi tidak lengkap karena ia mencoba untuk mengulangi rasionalitas dengan urutan besarnya . Rasional tidak dapat diulang dengan urutan besarnya. Karenanya, analisis Ross tidak dapat mengakses domain lengkap dan hanya dapat menawarkan pandangan terbatas tentang perilaku total.$\left(i,\infty\right), i=1..\infty$
  
• Analisis Ross tidak memperhitungkan satu perilaku tertentu yang dapat diamati: dalam batas itu tidak mungkin melalui iterasi serial dari 1 untuk mencapai balet pertama yang tersisa.
• Batas urutan Ross memiliki beberapa sifat meyakinkan yang bagus yang tampaknya unik secara intuitif.
  Namun, kami menunjukkan serangkaian urutan batas yang memenuhi properti bagus yang sama dan memberikan nilai untuk fungsi kami.

Bagian 2 "Notasi dan terminologi" mencakup notasi dan terminologi yang digunakan dalam pos ini.

Bagian 3 "The Halfway Ballset" memperkenalkan pengamatan dunia nyata - konvergen dalam batas probabilitas sisa bola yang indeksnya setengah di tengah semua bola yang dimasukkan. Nilai batas ini sekitar 91%. Kaset halfway digeneralisasikan ke rasional manapun dalam , yang semuanya memiliki nilai batas bukan nol. $(0,1]$

Bagian 4 "Resolusi Paradox" menyajikan kerangka kerja terpadu untuk memasukkan hasil Ross dan hasil 'domain-rasional' (dijelaskan di sini). Seperti yang telah dicatat, analisis Ross hanya menawarkan pandangan terbatas tentang perilaku total. Oleh karena itu, sumber paradoks diidentifikasi dan diselesaikan.

Dalam lampiran beberapa hasil lain yang kurang penting dibahas:

• "Ekspektasi dalam batas" menghitung jumlah bola yang diharapkan yang tersisa hingga dan termasuk sebagian kecil dari ukuran langkah.
• Akibat dari hasil ini adalah menentukan indeks bola pertama yang memiliki harapan untuk tetap lebih besar dari satu.

Bagian 2: Notasi dan terminologi

• Kami memberi label indeks bola yang dimasukkan pada langkah sebagai dan menyebutnya set "ballet" ke- . Ballset adalah satu kata, dibuat untuk posting ini. Sayangnya terminologi ini menyimpang dari terminologi Ross, tetapi juga membuat teks lebih jelas dan lebih pendek.$n$$\{n.1, n.2, n.3, ..... n.10\}$$n$
  
• Notasi mengacu pada peristiwa yang bola di ballset tetap pada langkah , mengabaikan bola lainnya di ballset tersebut.$E(a,b)$$a.1$$a$$b$
• Notasi adalah singkatan dari dan mengacu pada probabilitas . Perhatikan bahwa semua bola di ballset memiliki probabilitas yang sama tersisa. - Nilai adalah .P ( E ( a , b ) ) E ( a , b ) a . saya $P(a,b)$$P(E(a,b))$$E(a,b)$
  $a.i$$a$
  ∏ b k = a 9 $P(E(a,b))$$\prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)}$
• Batas Ross adalah probabilitas ketika menuju tak terhingga: -P ( a , b ) b P l i m 1 ( a ) = lim b → ∞ P ( a , b $P(a)$$P(a,b)$$b$
  $P_{lim1}(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} P(a,b)$
• Batas-rasional didefinisikan sebagai batas karena kedua bola indeks dan langkah menuju tak terhingga sambil mempertahankan rasio konstan: -$a$$b$$P_{lim2}(a,b) = \lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb)$

Bagian 3: Balet setengah jalan

Pada setiap langkah , balet setengah jalan didefinisikan sebagai balet ke- . Pada setiap langkah , probabilitas setengah jalan sisa didefinisikan sebagai . Karena itu, dalam batas , probabilitas setengah jalan yang tersisa adalah . Teorema 1 di bawah ini memberikan nilai numerik untuk probabilitas setengah jalan yang tersisa.$2n$$n$$2n$$P(n,2n)$
$n\rightarrow\infty$$\lim_{n\rightarrow\infty} P(1*n,2*n)$

Teorema 1 - Batas probabilitas elemen dalam urutan domain pengawet-rasio

$$\begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty} P(a*n,b*n) = (\frac{a}{b})^\frac{1}{9} \end{equation}$$ The bukti diberikan di bawah ini tepat sebelum lampiran.

Menurut Teorema 1, probabilitas setengah dari sisa dalam batas adalah yang mengevaluasi ke nilai desimal perkiraan .$(\frac{1}{2})^\frac{1}{9}$$0.925875$

Sanity Check Mari kita lakukan pemeriksaan kewarasan untuk melihat apakah batas numerik untuk probabilitas setengah jalan "terlihat benar".

$$\begin{array}{|l|rcl|} \hline n & P(n/2,n) &=& \text{trunc decimal val} \\ \hline 1000 & P(500,1000) &=& 0.92572614082 \\ \hline 10000 & P(5000,10000) &=& 0.9258598528 \\ \hline 100000 & P(50000,100000) &=& 0.925873226 \\ \hline 1000000 & P(500000,1000000) &=& 0.92587456 \\ \hline \hline \infty & \lim_{n\rightarrow\infty} P(n,2n) &=& 0.925875 \\ \hline \end{array}$$

4 baris pertama adalah probabilitas setengah jalan yang tersisa untuk nilai angka langkah masing-masing , , , dan . Baris terakhir adalah batasnya. Tampaknya probabilitas setengah jalan memang konvergen ke batas prediksi. Pengamatan dunia nyata ini, yang tidak sesuai dengan kerangka kerja Ross, perlu dijelaskan. $10^3$$10^4$$10^5$$10^6$

** Bagian 4 "Resolusi Paradox" **

Bagian ini menjelaskan kerangka kerja terpadu untuk analisis Ross dan analisis domain-rasional, Dengan melihat mereka bersama, paradoks diselesaikan.

Batas rasional dapat direduksi menjadi fungsi dari rasional ke real : mana dan . Di sini menunjukkan pembagi umum terbesar. Pernyataan yang setara adalah " dan adalah Saling perdana ", dan" adalah fraksi yang dikurangi dari . $P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$(0,1]$

$$\begin{array}{rcl} P_{lim2}(a,b) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb) \\ &=& (\frac{a'}{b'})^\frac{1}{9} \end{array}$$ $gcd(a',b')=1$$\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}$$gcd()$$a'$$b'$$\frac{a'}{b'}$$\frac{a}{b}$

Batas Ross dapat ditulis sebagai batas urutan batas rasional: The tuple bukan anggota dari rasional di ; itu milik . Oleh karena itu batas Ross adalah isomorfik ke fungsi pada domain dan gambarnya selalu unik nyata .

$$\begin{array}{rclr} P_{lim1}(a) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(a,k) & \\ &=& lim_{i,k\rightarrow\infty} P(ka/i,kb) & \text{for some } b \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(a/i,b) & \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(0,b) & \end{array}$$ $(0,b)$$(0,1]$$[0,0]$$P_{lim2}(a,b)$$[0,0]$$0$

Batas Ross dan batas rasional adalah fungsi yang sama pada dua domain terpisah dan masing-masing. Batas Ross hanya mempertimbangkan kasus indeks balet yang telah diturunkan menjadi sangat kecil relatif dibandingkan dengan ukuran kecil $[0,0]$$(0,1]$

Analisis Ross-limit memprediksi bahwa dalam batas tersebut, mengakses nilai secara berurutan untuk tidak akan pernah mencapai nilai bukan nol. Ini benar dan sesuai dengan pengamatan dunia nyata.$P_{lim1}(i)$$i=1,2,...\infty$

Analisis batas-rasional menjelaskan pengamatan dunia nyata seperti balet setengah jalan yang tidak diperhitungkan oleh Ross-batas. Fungsinya sama dengan tetapi domainnya adalah alih-alih$P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$[0,0]$

Diagram di bawah ini menggambarkan urutan batas Ross dan urutan batas rasional.

Mungkin adil untuk mengatakan bahwa analisis Ross mencakup asumsi implisit bahwa batas-Ross dan domainnya adalah seluruh domain yang diminati. Intuisi yang secara implisit mendasari asumsi Ross adalah seperti karena empat kondisi di bawah ini bahkan jika mereka tidak secara eksplisit diakui:

Misalkan menjadi urutan batas Roth . Biarkan menjadi penyatuan urutan batas Roth. $S_i = P(i,n), n=1,...,\infty$$i$$S = \cup_{i=(1...\infty)} S_i$

• (1) Urutan terpisah dan setiap urutan bertemu.$S_i$
• (2) Persatuan elemen dari semua sekuens mencakup set semua (bola, langkah) tuple yang ikut bermain:$S$$\{ (i,n)\ |\ i\leq n\ \land \ i,n\in Q \}$
• (3) Semua urutan tidak terbatas dalam , indeks langkah, sehingga mereka tidak mengakhiri "awal".$S_i$$n$
• (4) Urutan sendiri membentuk super-sequence . Oleh karena itu super-sekuens dapat "dibuat" secara iteratif, i, e ,, mereka dapat dihitung.$S_i$$\{ S_i \}_{i_in (1...\infty) }$

Tidak segera jelas bahwa sistem urutan sekuens lain dapat memenuhi poin di atas (1) - (4).

Namun, sekarang kita akan membahas sistem urutan sekuens lain yang memang memenuhi poin di atas (1) - (4).

Misalkan , di mana , mewakili urutan batas rasional Misalkan menjadi tupel utama yang saling menguntungkan dari : = . Misalkan adalah gabungan dari urutan batas rasional tersebut: $S_{p,q}$$gcd(p,q)=1$

$$\begin{equation} S_{p,q} = \{ (kp,kq) \}_{k\in (1...\infty)} \end{equation}$$ $D^*$$D$$D^* =\{ (p,q)\in D \land gcd(p,q)=1 \}$$S^*$$S^* = \cup_{d\in D^*} S_{p,q}$

Jelas urutan yang penyatuannya adalah memenuhi properti di atas (1) - (3). Indeks persis dengan rasional pada . Untuk memenuhi kondisi (4) kita perlu menunjukkan bahwa rasional pada dapat dihitung. $S_{p,q}$$S^*$
$(p,q)$$(0,1]$$(0,1]$

Urutan (urutan Farey) 2 dari urutan adalah urutan dari pecahan yang benar-benar dikurangi antara 0 dan 1 yang bila dalam istilah terendah memiliki penyebut kurang dari atau sama dengan , disusun dalam urutan ukuran yang bertambah. Berikut adalah delapan urutan Farey pertama:$n$$n$

 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

Biarkan mewakili urutan ke- tanpa elemen pertama .$F^*_n$$n$$0/1$

Biarkan menjadi penyatuan urutan batas rasional yang memiliki setidaknya satu elemen hingga dan termasuk langkah : $S^*_n$$n$

$$\begin{equation} S^*_n = \{ S_{p,q}\ |\ \exists (a,b) \} \end{equation}$$

Elemen-elemen indeks , yang dikonversi dari fraksi menjadi tupel, persis mengindeks elemen . Tabel berikut membandingkan pengelompokan urutan batas dalam analisis Ross dan analisis batas rasional:$F^*_n$$S^*_n$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Ross} & \text{rational} \\ \hline \text{num new seq per step } & 1 & \text{multiple (generally)} \\ \hline \text{new seq at step } n & S_n & F^*_n - F^*_{n-1} \\ \hline \text{tot num seq up to step }n & n & \| F^*_n \| \\ \hline \text{super-seq up to step }n & \{ S_m \}_{m=1}^{n} & F^*_n \\ \hline \end{array}$$

Akhirnya, karena ada metode [ 3 ], [ 4 ] untuk iteratif membuat urutan super , kondisi (4) juga puas.$F^*_n$

Salah satu metode itu, varian dari pohon Stern-Brocot, adalah sebagai berikut:

Mediant dari dua rasional dan didefinisikan sebagai$a/c$$b/d$$\frac{a+b}{c+d}$

• Setel$F*_n = \emptyset$
• Tambahkan ke$1/n$$F*_n$

• Simpul untuk in$i$$1...(\|F*_{n-1}\|-1)$

  • Tambahkan ke F * _n $$F*_{n-1}[i]$

  • Biarkan$x = mediant(F*_{n-1}[i], F*_{n-1}[i+1])$

  • Jika tambahkan x ke$denom(x) \leq n$$F*_n$
  • lanjutkan loop
• Tambahkan ke$F*_{n-1}[n]$$F*_n$

Paradoks telah dipecahkan.

Bukti Teorema 1 Catatan pertama bahwa: mana transformasi terakhir adalah transformasi Sterling.

$$\begin{eqnarray} P(E_{a,b}) &=& \prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)} \\ &=& \frac{\Gamma \left(a+\frac{1}{9}\right) \Gamma (b+1)}{\Gamma (a) \Gamma\left(b+\frac{10}{9}\right)} \\ &=& (a-1)^{\frac{1}{2}-a} \left(a-\frac{8}{9}\right)^{a-\frac{7}{18}} b^{b+\frac{1}{2}} \left(b+\frac{1}{9}\right)^{-b-\frac{11}{18}} \end{eqnarray}$$

Kemudian, secara sintaktis mengganti dan ke dalam persamaan (bentuk Sterling) terakhir yang kita dapatkan $a\rightarrow a*n$$b\rightarrow b*n$

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty} P(E_{a,b}) &=& \lim_{n\rightarrow\infty} (a M-1)^{\frac{1}{2}-a M} \left(a M-\frac{8}{9}\right)^{a M-\frac{7}{18}} (b M)^{b M+\frac{1}{2}} \left(b M+\frac{1}{9}\right)^{-b M-\frac{11}{18}} \\ &=& \left(\frac{a}{b}\right)^\frac{1}{9} \end{eqnarray}$$

Lampiran: Hasil lainnya

Harapan dalam batas

Bagian ini memberikan ekspresi tertutup untuk jumlah bola yang diharapkan yang tersisa hingga dan termasuk sebagian dari ukuran langkah.
Akibat dari hasil ini adalah perkiraan numerik dari indeks bola pertama yang memiliki harapan untuk tetap lebih besar dari satu.

( Bersambung )

Sunting Sunting

Singkat cerita. Paradoks yang disebut adalah kesalahan bentuk tak tentu, kesalahan pemula dengan hasil yang mirip dengan kesenjangan dengan kesalahan nol membuktikan bahwa . Kesalahan seperti itu, dalam hal ini untuk menghitung angka, secara alami menghasilkan jawaban yang bisa 0, atau .$1=2$$n$$\infty$

BTW, ketika seseorang menambahkan jumlah tak terbatas dari probabilitas sangat kecil, ia menciptakan , bentuk tak tentu, dan bukti Ross tidak benar. Untuk mendapatkan jawaban yang benar, gunakan Aturan L'Hopital. infinity bukan angka . Memperlakukan ketidakterbatasan seolah-olah angka menyebabkan kesalahan.$\frac{1}{\infty}\infty$