Binomial negatif yang bersaing

8

Saya menggulirkan dadu yang adil. Berapakah distribusi probabilitas jumlah gulungan sampai saya pertama kali mengakumulasi: 1) Lima yang 2) 20 kemunculan wajah yang bukan satu?

Saya senang berbagi aplikasi yang sebenarnya jika itu akan membantu.

probability negative-binomial

— Alec Walker
sumber

1

Apakah ini memiliki aplikasi selain mendapatkan nilai bagus untuk pekerjaan rumah atau ujian untuk dibawa pulang?

— Mark L. Stone

3

Maaf. Saya pikir saya salah memahami sifat situs. Saya bukan mahasiswa atau ahli statistik profesional. Saya mencari nasihat tentang masalah dunia nyata.

— Alec Walker

Itu dilemparkan dengan cara yang membuatnya tampak seperti masalah buku teks, dan itu akan sering membuat orang berpikir Anda mencoba membuat orang untuk melakukan pekerjaan rumah. Namun, itu bukan hanya karena alasan itu mungkin lebih baik untuk tidak terlalu-abstrak (textbookify) masalah - sering ada aspek masalah asli yang mungkin penting dalam mempertimbangkan solusi yang poster, tidak menyadari mungkin ada masalah statistik yang terkait dengannya, telah disarikan dan tidak ada jejak yang tersisa.

— Glen_b -Reinstate Monica

11

Anda melakukan tindakan yang setara dengan melempar koin dengan probabilitas 1/6 kepala sampai kepala atau ekor ("bukan kepala") telah muncul. Jika Anda telah dilemparkan itu kali, kemungkinan acara ini tidak terjadi akan diberikan oleh distribusi Binomial sebagai $p=1/6$ $a=5$ $b=20$ $n$

S (n; a, b, p) = \sum_{k = max (0, n - b + 1)}^{min (n, a - 1)} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

$S(n;a,b,p) = \sum_{k=\max(0,n-b+1)}^{\min(n,a-1)} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}.$

(Jumlahnya sama dengan nol setiap kali batas bawahnya melebihi batas atas.)

Oleh karena itu kesempatan yang adalah melempar ketika salah kepala atau ekor pertama kali diamati $n\gt 0$ $a$ $b$

f (n; a, b, p) = S (n - 1; a, b, p) - S (n; a, b, p) .

$f(n;a,b,p) = S(n-1;a,b,p) - S(n;a,b,p).$

Jelas ini harus sama dengan untuk atau . Karena itu kami dapat dengan mudah melaporkan seluruh distribusi: di sini adalah plot dari fungsi probabilitasnya antara dan seperti yang dihitung oleh rumus-rumus ini: $0$ $n \lt \min(a,b)$ $n \ge a+b$ $f$ $0$ $a+b=25,$

Solusi sederhana ini menjadi lebih sederhana (dan hasil informasi tambahan tentang apakah lemparan diakhiri dengan kepala atau ekor) ketika kita mengenali pertanyaan dapat dibingkai sebagai acak berjalan di pesawat. $a$ $b$ $(x,y)$

Mulai dari titik asal . Setiap kali koin muncul di kepala, gerakkan satu unit ke atas; jika tidak, gerakkan satu unit ke kanan. Hentikan pertama kali salah satu penghambat penyerap atau dipukul. $(0,0)$ $y=a$ $x=b$

Geometri dari situasi ini ditunjukkan pada gambar kedua. Ini memplot poin yang dapat dicapai pada jalan ini, menunjukkan hambatan menyerap sebagai garis hitam. Titik terminal yang mungkin di sepanjang penghalang itu ditandai dengan titik hitam.

Jumlah kali setiap titik terminal dicapai dalam 1000 iterasi dari jalan ini digambarkan oleh warna dan ukuran dari titik-titik yang lebih besar. Jalan yang ditunjukkan dengan warna merah sesuai dengan urutan di mana satu ekor diamati, lalu satu kepala, lalu 10 ekor, satu kepala, satu ekor, dua kepala, empat ekor, dan satu kepala. Itu terdiri dari 21 kali lemparan koin.

Setiap jalur yang mencapai titik tertentu pada penghalang penyerap terdiri dari tail dan head dan karenanya memiliki peluang . Jelas, hasil terakhir di jalur apa pun yang berakhir pada adalah kepala. Oleh karena itu, jumlah jalur tersebut adalah jumlah jalur berbeda yang menghubungkan ke , di mana ada . Akibatnya peluang untuk mengakhiri di adalah $(x,y)$ $x$ $y$ $p^y(1-p)^x$ $(x,a)$ $(0,0)$ $(x,a-1)$ $\binom{x+a-1}{a-1}$ $(x,a)$

Pr (x, Sebuah) = (\binom{x + Sebuah - 1}{Sebuah - 1}) {hal}^{Sebuah} (1 - hal)^{x} .

$\Pr(x,a) = \binom{x+a-1}{a-1} p^{a}(1-p)^x.$

Demikian pula peluang untuk mengakhiri di adalah $(b,y)$

Pr (b, y) = (\binom{y + b - 1}{b - 1}) {hal}^{y} (1 - hal)^{b} .

$\Pr(b,y) = \binom{y+b-1}{b-1} p^y(1-p)^b.$

Peluang untuk mengakhiri setelah langkah, dengan , oleh karena itu adalah jumlah dari dua ekspresi tersebut (salah satunya mungkin nol): $n$ $\min(a,b)\le n \lt a+b-1$

f (n; Sebuah, b, hal) = (\binom{n - 1}{Sebuah - 1}) {hal}^{Sebuah} (1 - hal)^{n - Sebuah} + (\binom{n - 1}{b - 1}) {hal}^{n - b} (1 - hal)^{b} jika min (Sebuah, b) \leq n < Sebuah + b .

$f(n;a,b,p) = \binom{n-1}{a-1} p^a(1-p)^{n-a} + \binom{n-1}{b-1} p^{n-b}(1-p)^b\text{ if }\min(a,b)\le n \lt a+b.$

Ini menghitung jumlah langkah langkah yang mencapai penghalang penyerap di bagian atas atau ke kanan, masing-masing, menimbang masing-masing dengan probabilitasnya. $n$

Lompatan mendadak dalam probabilitas pada pada gambar pertama sekarang dijelaskan: $n=20$ untuk pertama kalinya (dibandingkan dengan nilai lebih kecil ), menjadi mungkin untuk mengakhiri lemparan pada penghalang sebelah kanan. Ini terjadi dalam sejumlah besar kasus, karena (sedikit) lebih mungkin bahwa penghalang yang tepat akan tercapai sebelum penghalang atas. (Kesempatan untuk mencapai penghalang yang tepat terlebih dahulu dapat ditemukan dengan menjumlahkan probabilitas yang terkait dengan lima poinnya, yaitu hampir .) Kita tahu bahwa mengakhiri perjalanan di penghalang yang tepat lebih mungkin karena rata-rata jalan akan naik dengan satu unit dari waktu tetapi akan pindah ke kanan satu unit $n$ $63\%$ $p=1/6$ $1-p=5/6$ waktu itu, untuk kemiringan rata-rata . Sebuah jalan dengan kemiringan itu mencapai daerah menyerap di lokasi : di penghalang kanan. $1/6:5/6 = 1/5$ $(20, 20/5)=(20,4)$

— whuber
sumber

1

Indah, keduanya solusi. Yang kedua terlihat seperti jumlah dari dua komponen binomial negatif, dalam kisaran min (a, b) ≤n <a + b,

— Alec Walker

Itu benar. Koneksi menjadi lebih jelas ketika Anda menafsirkan binomial negatif dalam hal berjalan acak dengan penghalang penyerap linier.

— whuber

0

Setelah tidur di atasnya, saya pikir strateginya mungkin seperti ini:

Ubah setiap distribusi probabilitas binomial negatif menjadi probabilitas bersyarat. yaitu syarat tidak mendapatkan 5 yang di roll n-1, berapakah probabilitas mendapatkan yang ke 5 di roll ke-n?

Dari n = 1 hingga cukup besar,

jumlah dua probabilitas bersyarat, dan gandakan pelengkap dengan S (n-1), "survival" kumulatif melalui roll (n-1).
Ambil perbedaan berturut-turut S (n-1) -S (n) untuk memulihkan distribusi probabilitas.

Pengaturan ini adalah salah satu pemantauan keamanan komparatif produk kesehatan yang dipasarkan. Anda memiliki dua grup yang dibandingkan, mungkin dengan ukuran yang tidak sama, diikuti dari waktu ke waktu. Setiap kejadian buruk adalah percobaan binomial, karena kejadian tersebut dapat berasal dari obat A atau obat B.

— Alec Walker
sumber

Walaupun pendekatan ini terlalu samar untuk dievaluasi, pendekatan ini mungkin tidak memberikan jawaban yang benar, karena kombinasi tujuan dalam prosedur sekuensial cenderung melibatkan seluk-beluk intuintuitif. Lihat stats.stackexchange.com/questions/12174 untuk generalisasi pertanyaan Anda.

— whuber

Bukan hanya kabur, tapi salah! Terima kasih atas penjelasannya.

— Alec Walker