Bentuk distribusi apa yang menghasilkan "harapan Pythagoras"?

16

Biarkan dan menjadi variabel acak kontinu independen yang dihasilkan dari bentuk distribusi yang tidak ditentukan yang sama tetapi dengan penyisihan untuk nilai parameter yang berbeda. Saya tertarik untuk menemukan bentuk distribusi parametrik yang memiliki probabilitas pengambilan sampel berikut untuk semua nilai parameter yang diijinkan: $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ $Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

P (X > Y | θ_{X}, θ_{Y}) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}} .

$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$

Pertanyaan saya: Adakah yang bisa memberi tahu saya bentuk distribusi berkelanjutan yang menjadi pegangannya? Apakah ada kondisi umum (non-sepele) yang mengarah ke ini?

Pikiran awal saya: Jika Anda mengalikan kedua parameter dengan konstanta bukan nol maka probabilitasnya tetap tidak berubah, jadi masuk akal jika menjadi semacam parameter skala. $\theta$

probability distributions

— Pasang kembali Monica
sumber

1

Mungkin ini akan membantu: en.wikipedia.org/wiki/…

— John Coleman

1

Bisakah Anda memberikan konteks atau referensi untuk pertanyaan ini?

— Xi'an

17

Jika kita mengambil dua variabel acak Eksponensial kita dapatkan bahwa dan

X \sim E (θ_{X}) X \sim E (θ_{Y})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$

P (X > Y | Y = y) = \exp {- θ_{X} y}

$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$

Sekarang, jika

E^{Y} [\exp {- θ_{X} Y}] = \int_{0}^{\infty} \exp {- θ_{X} y} θ_{Y} \exp {- θ_{Y} y} d y = \frac{θ_{Y}}{θ_{X} + θ_{Y}}

$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$

kemudian

X \sim E (θ_{X}^{- 2}) X \sim E (θ_{Y}^{- 2})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$

P (X > Y) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$

$f$ $X$ $Y$

\int_{0}^{\infty} z f (z) f (τ z) d z = \frac{1}{(1 + τ)^{2}}

$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$

P (X > Y) = P (X^{α} > Y^{α})

$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$

α > 0

$\alpha>0$

X^{'} = ϕ (X) Y^{'} = ϕ (Y)

$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$ $\phi$

X, Y

$X,Y$

P (X^{'} > Y^{'}) = P (ϕ (X) > ϕ (Y)) = P (X > Y) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}} .

$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$

— Xi'an
sumber

8

$X$ $\left( \alpha,\beta_1 \right)$ $Y$ $\left( \alpha, \beta_2 \right)$

P [X > Y] = \frac{β_{1}^{α}}{β_{1}^{α} + β_{2}^{α}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$

Ini dapat diturunkan mengikuti pendekatan yang sama yang diberikan dalam jawaban Xi'an.

$\alpha=2$ $X$ $Y$ $X$ $\theta_X$ $Y$ $\theta_Y,$

P [X > Y] = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$

— soakley
sumber

θ_{X}

$\theta_X$

θ_{Y}

$\theta_Y$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

Memang, sama seperti yang telah Anda tunjukkan. Saya berasumsi OP menginginkan sesuatu yang lebih langsung dengan parameter.

— soakley