Mengapa kita tidak menggunakan rata-rata aritmatika tertimbang alih-alih rata-rata harmonik?

Saya bertanya-tanya apa nilai intrinsik dari penggunaan rata-rata harmonik (misalnya untuk menghitung ukuran-F), yang bertentangan dengan rata-rata aritmatika tertimbang dalam menggabungkan presisi dan daya ingat? Saya berpikir bahwa rata-rata aritmatika tertimbang dapat memainkan peran rata-rata harmonik, atau apakah saya melewatkan sesuatu?

— olga
sumber

Mean harmonik adalah rata -rata aritmatika tertimbang: setiap memiliki bobot sebanding dengan .

x_{i}

$x_i$

1 / x_{i}^{2}

$1/x_i^2$

— Whuber

Bisakah Anda mengatakan lebih banyak tentang bagaimana presisi dan daya ingat digabungkan dalam mode ini?

— AdamO

@whuber Tidak yakin apakah komentar Anda serius atau tidak jelas. Bobot biasanya diasumsikan fungsi dari sampel indeks , bukan dari sampel nilai . Kalau tidak berarti apa pun adalah rata

— Luis Mendo

@Luis Kebenaran terletak di antara keduanya. Indeks sampel sering tidak berarti. Bobot adalah fungsi dari objek, tetapi fungsi tersebut biasanya tidak bergantung pada nilai yang dirata-rata. Contohnya adalah bobot yang terkait dengan waktu (EWMA), dengan lokasi (seperti dalam ukuran korelasi spasial), peringkat (seperti dalam uji Shapiro-Wilk), dan probabilitas pengambilan sampel. Tapi tidak semua alat tertimbang AM: GM tidak, misalnya. Karena Filippa bertanya tentang "nilai instrinsik," tampaknya cocok untuk menunjukkan hubungan matematika antara rata-rata harmonik dan rata-rata tertimbang.

— whuber

Jawaban:

Secara umum, cara harmonik lebih disukai ketika seseorang mencoba untuk menilai rata-rata, daripada bilangan bulat. Dalam kasus ukuran-F1, rata-rata harmonis akan menghukum precision atau penarikan yang sangat kecil sedangkan rata-rata aritmatika tertimbang tidak akan. Bayangkan rata-rata 100% dan 0%: Rata-rata aritmatika adalah 50% dan rata-rata Harmonik adalah 0%. Rata-rata harmonik menuntut ketepatan dan daya ingat yang tinggi.

Selain itu, ketika presisi dan daya ingat berdekatan, mean harmonik akan mendekati rata-rata aritmatika. Contoh: rata-rata harmonik 95% dan 90% adalah 92,4% dibandingkan dengan rata-rata aritmatika 92,5%.

Apakah ini properti yang diinginkan mungkin tergantung pada kasus penggunaan Anda, tetapi biasanya dianggap baik.

Akhirnya, perhatikan bahwa, seperti yang dikatakan @whuber dalam komentar, rata-rata harmonik memang berarti rata-rata aritmatika.

— ilanman
sumber

"Sarana harmonik lebih disukai ketika seseorang mencoba tingkat rata-rata" Mungkin jika Anda melakukan perjalanan

km pada

km / jam dan

km kembali pada

km / jam untuk mendapatkan kecepatan keseluruhan rata-rata

km / jam, meskipun tidak jika Anda perjalanan

menit pada

km / jam dan

menit pada

km / jam untuk mendapatkan kecepatan keseluruhan rata-rata

km / jam. Tapi saya tidak mengerti mengapa itu berlaku untuk pecahan

10

$10$

120

$120$

10

$10$

60

$60$

80

$80$

10

$10$

120

$120$

10

$10$

60

$60$

90

$90$

— Henry

Memang, paragraf pertama lebih merupakan pernyataan umum tentang rata-rata harmonik. Tapi Anda benar, presisi dan daya ingat adalah pecahan dan bukan tingkat. Saya percaya ada anggapan bahwa rata-rata aritmatika lebih disukai untuk nilai-nilai yang memiliki penjumlahan yang dapat ditafsirkan (yang tidak akan berlaku dalam kasus ini), tetapi tentu saja seseorang dapat mengambil rata-rata aritmatika presisi dan mengingat dan mengeluarkan hasil yang bermanfaat.

— ilanman

Luar biasa! Saya lebih mencari "pembenaran" untuk menggunakan aturan rata-rata harmonik. Tetapi saya tidak yakin bagaimana harus berpikir tentang pembenaran ..

— olga

Mean harmonik dapat menjadi pengganti yang berguna untuk rata-rata aritmatika ketika yang terakhir tidak memiliki harapan atau tidak ada perbedaan. Mungkin memang benar bahwa tidak ada atau tidak terbatas, sementara ada. Misalnya, distribusi Pareto dengan kerapatan $\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[1/X]$ tidak memiliki harapan terbatas ketika, yang menyiratkan bahwa rata-rata aritmatika memiliki ekspektasi tak terbatas, sedangkan

f (x) = \frac{α x_{0}^{α}}{x^{α + 1}} {saya}_{x \geq x_{0}}

$f(x)=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}\mathbb{I}_{x\ge x_0}$

α \leq 1

$\alpha\le 1$

yang menyiratkan bahwa rata-rata harmonik memiliki harapan yang terbatas.

E [1 / X] = \int_{x_{0}}^{\infty} \frac{α x_{0}^{α}}{x^{α + 2}} d x = \frac{α x_{0}^{α}}{(α + 1) x_{0}^{α + 1}} = \frac{α}{(α + 1) x_{0}}

$\mathbb{E}[1/X]=\int_{x_0}^\infty \dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+2}}\,\text{d}x=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{(\alpha+1) x_0^{\alpha+1}}=\dfrac{\alpha}{(\alpha+1) x_0}$

Sebaliknya, ada distribusi yang rata-rata harmoniknya tidak ada harapan, seperti misalnya distribusi Beta ketika . Dan masih banyak lagi yang tidak memiliki varian. $\mathcal{B}e(\alpha,\beta)$ $\alpha\le1$

Ada juga hubungan dengan perkiraan Monte Carlo terhadap integral, dan khususnya konstanta normalisasi, berdasarkan pada identitas posterior Bayesian

E [\frac{φ (θ)}{π (θ) L. (θ | x)} | x] = \frac{1}{m (x)}

$\mathbb{E}\left[\dfrac{\varphi(\theta)}{\pi(\theta)L(\theta|x)}\Big| x\right]=\dfrac{1}{m(x)}$

φ (\cdot)

$\varphi(\cdot)$

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$

L (\cdot | x)

$L(\cdot|x)$

m (\cdot)

$m(\cdot)$

— Xi'an
sumber

Mengapa properti ini lebih disukai ketika rata-rata tarif?

— Walrus the Cat

Saya tidak tahu hasil optimalitas, tetapi memiliki penduga dengan harapan yang terbatas tampaknya lebih baik daripada yang tidak!

— Xi'an