Poin teknis tentang konvergensi dengan harapan bersyarat

Saya memiliki urutan variabel non-negatif seperti: $X_n$

E (X_{n} | C_{n}) = \frac{C_{n}}{n^{2}}

$E(X_n|C_n)=\frac{C_n}{n^2}$

di mana adalah urutan variabel acak yang konvergen hampir pasti ke . $C_n$ $1$

Bisakah saya menyimpulkan cenderung ke 0 hampir pasti? $X_n$

Catatan: Anda dapat mengganti dengan urutan apa pun dengan jumlah terbatas. Pertanyaannya pada dasarnya tetap sama dan jawaban yang diberikan oleh Jason sama saja (lihat argumen Borel-Cantelli). $\frac{1}{n^2}$

probability convergence conditional-expectation

— Benoit Sanchez
sumber

Ya, hampir pasti. $X_{n} \to 0$ Argumen yang saya miliki sedikit berbelit-belit, jadi bersabarlah.

Pertama, pertimbangkan peristiwa . Dengan konvergensi hampir pasti dari maka , dan karena kita memiliki . Jadi cukup untuk menunjukkan bahwa seperti dalam , untuk setiap . $F_{k} = \bigcup_{n \geq k} \{ C_{n} > 2 \}$ $C_{n}$ $P( \bigcap_{k} F_{k} ) = 0$ $F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots$ $P(F_{k}) \to 0$ $X_{n} \to 0$ $F_{k}^{c}$ $k$

Sekarang perbaiki dan a . Menggunakan notasi untuk mewakili , yang kita miliki untuk Ini adalah bagian kunci. (Perhatikan juga, bahwa kami menggunakan nonnegativitas pada langkah pertama, untuk lulus dari ke acara yang lebih besar ) Dari sini kita hanya perlu beberapa cukup teoretis argumen argumen. $k$ $\varepsilon > 0$ $E[X; A]$ $E[X 1_{A}]$ $n \geq k$

E [X_{n}; F_{k}^{c}] \leq E [X_{n}; C_{n} \leq 2] = E [E (X_{n} | C_{n}); C_{n} \leq 2] = E [C_{n} / n^{2}; C_{n} \leq 2] \leq 2 / n^{2} .

$\begin{equation} E[X_{n} ; F_{k}^{c}] \leq E[X_{n} ; C_{n} \leq 2] = E[ E(X_{n} | C_{n}) ; C_{n} \leq 2] = E[ C_{n} / n^{2} ; C_{n} \leq 2 ] \leq 2 / n^{2}. \end{equation}$

X_{n}

$X_{n}$

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$

C_{n} \leq 2

$C_{n} \leq 2$

Batas di atas, bersama dengan nonnegativitas , menyiratkan bahwa (untuk ), sehingga $X_{n}$ $P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) \leq \frac{2}{n^{2} \varepsilon}$ $n \geq k$

\sum_{n \geq k} P (F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε}) < \infty .

$\begin{equation} \sum_{n \geq k} P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) < \infty. \end{equation}$

Dengan Borel-Cantelli Lemma sekarang kita dapat mengatakan bahwa peristiwa memiliki probabilitas nol. Karena adalah arbiter, ini kita seperti pada .

F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε for infinitely many n}

$\begin{equation} F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \, \text{for infinitely many $n$} \} \end{equation}$

ε

$\varepsilon$

X_{n} \to 0

$X_{n} \to 0$

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$

— Jason
sumber

Ini bisa sangat sedikit diubah untuk menunjukkan bahwa untuk eksponen pada sehingga , , menurut saya.

α

$\alpha$

n

$n$

α > 1

$\alpha > 1$

X_{n} \to 0 a.s.

$X_n \to 0 \space \text{a.s.}$

— jbowman

Terima kasih banyak. Oleh

E (X; A)

$E(X;A)$ maksudmu

E (X | A)

$E(X|A)$ atau

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$ ?

— Benoit Sanchez

Maksudmu

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$ :-) Mungkin Anda harus menyebutkannya. Segalanya tampak benar bagi saya, bagus! Jujur, saya tidak berpikir ada bukti yang lebih sederhana.

— Benoit Sanchez

Benar, Benoit, maksudku

E (X 1_{A})

$E(X 1_{A})$ . Saya akan mengedit untuk menjelaskan hal itu.

— Jason

Set $Z_n=X_n/C_n$ . Kemudian $E[Z_n]=1/n^2$ dan $Z_n\ge 0$ . Dengan ketidaksetaraan Markov, $P(Z_n>\epsilon)\le E[Z_n]/\epsilon = 1/(n^2\epsilon)$ yang memiliki jumlah terbatas, oleh Borel Cantelli, $P(Z_n>\epsilon \text{ infinitely often})=0$ dan $Z_n\to 0$ hampir pasti.

Jika $Z_n\to0$ hampir pasti dan $C_n\to 1$ hampir pasti saat itu $X_n=Z_nC_n\to 0$ hampir pasti.

— sial
sumber