Apa saja distribusi di atas probabilitas simpleks?

Biarkan menjadi probabilitas simpleks dimensi , yaitu sedemikian rupa sehingga dan .$\Delta_{K}$$K-1$$x \in \Delta_{K}$$x_i \ge 0$$\sum_i x_i = 1$

Distribusi apa yang sering (atau terkenal, atau didefinisikan di masa lalu) selama ada?$\Delta_{K}$

Jelas, ada Dirichlet dan distribusi Logit-Normal. Apakah ada distribusi lain yang muncul secara alami dalam konteks ini?

Ini dipelajari dalam analisis data komposisi, ada buku oleh Aitchison: Analisis Statistik Data Komposisi .

Definisikan simpleks dengan

$$S^n =\{(x_1, \dots,x_{n+1}) \in {\mathbb R}^{n+1} \colon x_1>0,\dots, x_{n+1}>0, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1\}.$$ Perhatikan bahwa kita menggunakan indeks $n$ untuk menunjukkan dimensi! Definisikan rata-rata geometrik elemen simpleks,$x$ sebagai$\tilde{x}$ . Kemudian kita dapat mendefinisikan transformasi logratio (diperkenalkan oleh Aitchison) sebagai$x=(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (\log(x_1/\tilde{x}), \dots, \log(x_n/\tilde{x})$ . Transformasi ini adalah ke${\mathbb R}^n$, jadi miliki invers yang saya tinggalkan untuk Anda hitung (Ada juga versi lain dari transformasi ini yang dapat digunakan, yang mungkin memiliki properti matematika yang lebih baik, lebih banyak tentang itu nanti).

Sekarang Anda dapat mengambil distribusi normal (atau apa pun) yang didefinisikan pada ${\mathbb R}^n$ dan menggunakan transformasi terbalik ini untuk menentukan distribusi pada simpleks. Kemungkinannya tidak terbatas, untuk masing-masing dan setiap distribusi multivarian pada ${\mathbb R}^n$ kita mendapatkan distribusi pada simpleks.

Saya akan menambah posting ini nanti dengan beberapa contoh, dan lebih banyak detail pada transformasi rasio log.