biaya pengambilan sampel

Saya menemukan masalah simulasi berikut: diberi satu set dari bilangan real yang diketahui, distribusi pada didefinisikan oleh mana $\{\omega_1,\ldots,\omega_d\}$ $\{-1,1\}^d$

P (X = (x_{1}, ..., x_{d})) \propto (x_{1} ω_{1} + ... + x_{d} ω_{d})_{+}

$\mathbb{P}(X=(x_1,\ldots,x_d))\propto (x_1\omega_1+\ldots+x_d\omega_d)_+$

menunjukkan bagian positif dari

. Sementara saya bisa memikirkan sampler Metropolis-Hastings menargetkan distribusi ini, saya bertanya-tanya apakah ada sampler langsung yang efisien, mengambil keuntungan dari sejumlah besar probabilitas nol untuk mengurangi urutan algoritma dari

(z)_{+}

$(z)_+$

z

$z$

O (2^{d})

$O(2^d)$

O (d)

$O(d)$

— Xi'an
sumber

Berikut adalah sampler rekursif yang cukup jelas yaitu dalam kasus terbaik (dalam hal bobot ), tetapi eksponensial dalam kasus terburuk. $O(d)$ $\omega_i$

Misalkan kita sudah memilih , dan ingin memilih . Kita perlu menghitung $x_1, \dots, x_{i-1}$ $x_{i}$ dan pilihdengan probabilitas

w (x_{1}, ..., x_{saya - 1}, x_{saya}) = \sum_{x_{saya + 1} \in {- 1, 1}} \dots \sum_{x_{d} \in {- 1, 1}} {(\sum_{j = 1}^{d} ω_{j} x_{j})}_{+}

$w(x_1, \dots, x_{i-1}, x_i) = \sum_{x_{i+1} \in \{-1, 1\}} \cdots \sum_{x_{d} \in \{-1, 1\}} \left( \sum_{j=1}^d \omega_j x_j \right)_+$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

Penyebut akan menjadi nol untuk setiap pilihan sampel yang valid

\frac{w (x_{1}, ..., x_{saya - 1}, 1)}{w (x_{1}, ..., x_{saya - 1}, 1) + w (x_{1}, ..., x_{saya - 1}, - 1)} .

$\frac{w(x_1, \dots, x_{i-1}, 1)}{w(x_1, \dots, x_{i-1}, 1) + w(x_1, \dots, x_{i-1}, -1)}.$

x_{1}, \dots, x_{i - 1}

$x_1, \dots, x_{i-1}$

Sekarang, tentu saja, pertanyaannya adalah bagaimana cara menghitung . $w(x_1, \dots, x_i)$

Jika kita memiliki , lalu untuk setiap dengan entri terkemuka , dan jadi menjadi: $C := \sum_{j=1}^{i} \omega_j x_j \ge \sum_{j=i+1}^{d} \lvert \omega_j \rvert$ $\omega \cdot x \ge 0$ $x$ $x_{1:i}$ $w$

\begin{aligned} \sum_{x_{saya + 1}} \dots \sum_{x_{d}} ω \cdot x & = ω \cdot (\sum_{x_{saya + 1}} \dots \sum_{x_{d}} x) \\ = \sum_{j = 1}^{saya} ω_{j} \underset{2^{d - saya} x_{j}}{\underset{⏟}{(\sum_{x_{saya + 1}} \dots \sum_{x_{d}} x_{j})}} + \sum_{j = saya + 1}^{d} ω_{j} \underset{0}{\underset{⏟}{(\sum_{x_{saya + 1}} \dots \sum_{x_{d}} x_{j})}} \\ = 2^{d - saya} C . \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{x_{i+1}} \cdots \sum_{x_d} \omega \cdot x &= \omega \cdot \left( \sum_{x_{i+1}} \cdots \sum_{x_d} x \right) \\&= \sum_{j=1}^i \omega_j \underbrace{\left( \sum_{x_{i+1}} \cdots \sum_{x_d} x_j \right)}_{2^{d-i} x_j} + \sum_{j=i+1}^d \omega_j \underbrace{\left( \sum_{x_{i+1}} \cdots \sum_{x_d} x_j \right)}_{0} \\&= 2^{d-i} C .\end{align}$

Dalam kasus sebaliknya, $C \le - \sum_{j=i+1}^{d} \lvert \omega_j \rvert$ $\omega \cdot x \le 0$ $w(x_1, \dots, x_i) = 0$

$w(x_1, \dots, x_i) = w(x_1, \dots, x_i, 1) + w(x_1, \dots, x_i, -1)$

$w(1)$ $w(-1)$ $x_1$ $w$ $O(d)$

$\omega_i$ $\omega_1 \ge \omega_2 \ge \dots \ge \omega_d$

Dalam kasus terbaik, $\lvert \omega_1 \rvert > \sum_{j=2}^d \lvert \omega_j \rvert$ $w(1)$ $w(-1)$ $w$ $O(d)$

$\omega_1 = \omega_2 = \dots = \omega_d$

Nah, jalur pertama untuk mengakhiri tentu saja $(1, 1, \dots, 1)$ $(-1, -1, \dots, -1)$ $\lceil d/2 \rceil$ $O(2^{d/2})$ $2^{d/2}$

$\omega_i$ $\omega_i$ $d$

— Dougal
sumber

Terima kasih untuk jenis eliminasi Viterbi ini. Ketika Anda menulis "Dalam kasus sebaliknya",

Saya menganggap Anda tidak bermaksud melengkapi kasus pertama

C_{saya} \leq - \sum_{j = saya + 1}^{d} | ω_{j} |

$C_i\le -\sum_{j=i+1}^{d} \lvert \omega_j \rvert$

C_{saya} \geq \sum_{j = saya + 1}^{d} | ω_{j} |

$C_i\ge \sum_{j=i+1}^{d} \lvert \omega_j \rvert$

Tidak, bukan komplemen: ketika sangat besar Anda tahu pemotongan tidak diterapkan, ketika sangat kecil itu selalu diterapkan, dan di antara Anda harus berulang kali mencari tahu kapan itu diterapkan atau tidak diterapkan.

— Dougal