Nilai yang diharapkan dari penentu log dari matriks Wishart

Mari , yaitu didistribusikan menurut distribusi Wishart dimensi dengan mean dan derajat kebebasan . Saya ingin ungkapan untuk mana adalah penentu. $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

Saya telah sedikit Google 'untuk jawaban untuk ini dan mendapatkan beberapa informasi yang saling bertentangan. Makalah ini secara eksplisit menyatakan bahwa manamenunjukkan fungsi digamma

E (catatan | Λ |) = D catatan 2 + catatan | Ψ | + \sum_{saya = 1}^{D} ψ (\frac{ν - saya + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

; makalah tidak memberikan sumber untuk fakta ini sejauh yang saya tahu. Ini juga merupakan formula yang digunakan padahalaman wikipedia untuk Wishart, yang memuat teks Pengenalan Pola Uskup.

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$

Di sisi lain, google membuka diskusi ini dengan makalah tertaut yang menyatakan bahwa Mereka menyimpulkan dengan menyatakan bahwa

ν^{D} \frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

yang diturunkan menggunakan fakta bahwa

. Saya memeriksa perhitungan ini mulai dari

dan sepertinya oke, tapi kami punya ekstra

E (\log | Λ |) = D \log 2 - D catatan ν + catatan | Ψ | + \sum_{saya = 1}^{D} ψ (\frac{ν - saya + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— orang
sumber

Ketika saya bersiap-siap untuk memposting ini, saya dapat menjawab pertanyaan saya sendiri. Sesuai dengan etiket StackExchange umum, saya telah memutuskan untuk mempostingnya dengan harapan bahwa orang lain yang mengalami masalah ini dapat menemukan ini di masa depan, mungkin setelah mengalami masalah yang sama dengan sumber yang saya lakukan. Saya telah memutuskan untuk menjawabnya segera sehingga tidak ada yang membuang waktu karena solusinya tidak menarik.

$(\dagger)$

\frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$

$(\dagger\dagger)$

EDIT:

$\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ $L$ $N(0, 1)$ $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ elemen diagonal. Mengambil determinasi dari kedua belah pihak memberi $(\dagger\dagger)$ segera.

— orang
sumber

Saya suka versi Cholesky lebih baik - Anda memiliki akar kuadrat dari chi-square pada diagonal dan standar normal pada segitiga bawah.

— probabilityislogic

@probabilityislogic Terima kasih atas tipnya! Mengingatnya seperti itu tampaknya lebih mudah dan lebih bermanfaat.

— pria

Hei, saya sedang mencoba untuk mendapatkan harapan dari log Wishart (dinyatakan dalam buku Bishop), yang terlihat rumit, apakah Anda menemukan sumber untuk mendapatkan hasilnya?

— alpukat