Apakah probabilitas dipertahankan di bawah transformasi fungsi?

13

Saya pikir ini agak mendasar, tetapi katakan saya memiliki variabel acak , adalah probabilitas sama dengan untuk setiap fungsi kontinu bernilai nyata ? $X$ $P(X \leq a)$ $P(f(X) \leq f(a))$ $f$

probability distributions

— Tautan L
sumber

1

Juga: Secara umum, .

σ_{f (x)}^{2} \neq f (σ_{x}^{2})

$\sigma^{2}_{f(x)} \ne f\left(\sigma^{2}_{x}\right)$

— Alexis

34

Ini hanya berlaku jika secara monoton meningkat. Jika menurun secara monoton, maka . Misalnya, jika , dan X adalah roll mati normal, maka tetapi . Jika beralih antara naik dan turun, maka itu bahkan lebih rumit. $f$ $f$ $P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$ $f(x) = -x$ $P(X \leq 5) = \frac56$ $P(-X \leq -5) = \frac16$ $f$

Perhatikan ada juga kasus sepele dari , di mana sama dengan 1 jika dan 0 sebaliknya. $f(x) \equiv 0$ $P(f(X) \leq a)$ $a \geq 0$

— Akumulasi
sumber

2

+1 Saya seharusnya menambahkan case injeksi saat ini benar.

— Stéphane Laurent

39

Tidak. Ambil seragam pada dan . Kemudian . Di sisi lain . $X$ $[-1,1]$ $a=0$ $\Pr(X < a ) = 1/2$ $\Pr(X^2<a^2) = 0$

— Stéphane Laurent
sumber

2

Ini terkait dengan bertanya:

apakah untuk setiap ? $X \leq a$ $f(X) \leq f(a)$

Mungkin ada banyak cara untuk melanggar sementara . Tetapi, dalam semua kasus, itu membutuhkan untuk menjadi fungsi yang tidak monoton. $f(X) \leq f(a)$ $X \leq a$ $f$

— Sextus Empiricus
sumber