Intuisi di balik rumus untuk varian jumlah dua variabel

10

Saya tahu dari penelitian sebelumnya

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

Namun, saya tidak mengerti mengapa itu terjadi. Saya dapat melihat bahwa efeknya akan 'mendorong' varians ketika A dan B sangat tinggi. Masuk akal bahwa ketika Anda membuat komposit dari dua variabel yang sangat berkorelasi Anda akan cenderung menambahkan pengamatan tinggi dari A dengan pengamatan tinggi dari B, dan pengamatan rendah dari A dengan pengamatan rendah dari B. Ini akan cenderung cenderung menciptakan nilai ekstrim dan tinggi yang ekstrem dalam variabel komposit, meningkatkan varian komposit.

Tetapi mengapa ini berhasil mengalikan kovarian dengan tepat 2?

variance covariance intuition

— user1205901 - Pasang kembali Monica
sumber

1

Jika

dan

berkorelasi positif sempurna maka

A

$A$

B

$B$

dan jika keduanya berkorelasi negatif maka

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)+ 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

. Kovarians mengukur seberapa jauh rentang ini dalam hubungan mereka

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) - 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)- 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

— Henry

21

Jawaban sederhana:

Varians melibatkan kuadrat:

V Sebuah r (X) = E [(X - E [X])^{2}]

$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$

Jadi, pertanyaan Anda bermuara pada faktor 2 dalam identitas kuadrat:

(Sebuah + b)^{2} = {Sebuah}^{2} + b^{2} + 2 Sebuah b

$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

Yang dapat dipahami secara visual sebagai dekomposisi area kuadrat sisi ke dalam area kuadrat sisi yang lebih kecil dari dan , selain dua persegi panjang sisi dan : $(a+b)$ $a$ $b$ $a$ $b$

Jawaban yang lebih terlibat:

Jika Anda menginginkan jawaban yang lebih terlibat secara matematis, kovarian adalah bentuk bilinear, artinya linear dalam argumen pertama dan kedua, ini mengarah ke:

\begin{aligned} V a r (A + B) & = C o v (A + B, A + B) \\ = C o v (A, A + B) + C o v (B, A + B) \\ = C o v (A, A) + C o v (A, B) + C o v (B, A) + C o v (B, B) \\ = V a r (A) + 2 C o v (A, B) + V a r (B) \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$

Di baris terakhir, saya menggunakan fakta bahwa kovarians adalah simetris:

C Hai v (SEBUAH, B) = C Hai v (B, SEBUAH)

$Cov(A,B) = Cov(B,A)$

Untuk menyimpulkan:

Ini adalah dua karena Anda harus account untuk kedua dan . $cov(A,B)$ $cov(B,A)$

— tanpa kesunyian
sumber

5

$var(A+B) = var(A)+var(B)$

$std(A+B) = std(A)+std(B)$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

$A$ $B$ $cov(A,B)$ $var(A,B)$ $var(A)$ $var(B)$ $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $2cov(A,B)$ $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $r^2$ $A$ $B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

$MeasureOfCorrelation = r^2$ $PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

$r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

$r^2$ $cos$

— Akumulasi
sumber

2

$Var(A+B)$ $Var$ $Cov$

$A+B$

$A$
$B$
$A$ $B$
$B$ $A$

V Sebuah r (SEBUAH + B) = V Sebuah r (SEBUAH) + V Sebuah r (B) + C Hai v (SEBUAH, B) + C Hai v (B, SEBUAH)

$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$

= V Sebuah r (SEBUAH) + V Sebuah r (B) + 2 C Hai v (SEBUAH, B)

$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$

C o v

$Cov$

— Bananin
sumber