Apa distribusi rata-rata bulat dari variabel acak Poisson?

Jika saya memiliki variabel acak yang terdistribusi Poisson dengan parameter , berapakah distribusi (yaitu rata-rata integer)?$X_1,X_2,\ldots,X_n$$\lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_n$$Y=\left\lfloor\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right\rfloor$

Sejumlah Poissons juga Poisson, tetapi saya tidak cukup percaya diri dalam statistik untuk menentukan apakah itu sama untuk kasus di atas.

Generalisasi pertanyaan menanyakan distribusi ketika distribusi diketahui dan didukung pada bilangan asli. (Dalam pertanyaan, memiliki distribusi Poisson dari parameter dan .)$Y = \lfloor X/m \rfloor$X λ = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n m = $X$$X$$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$$m=n$

Distribusi mudah ditentukan oleh distribusi , yang kemungkinan menghasilkan fungsi (PGF) dapat ditentukan dalam hal PGF dari . Inilah garis besar derivasi tersebut.m Y $Y$$mY$$X$

---

Tulis untuk pgf , di mana (menurut definisi) . dibangun dari sedemikian rupa sehingga pgf, , adalahX p n = Pr ( X = n ) m Y X $p(x) = p_0 + p_1 x + \cdots + p_n x^n + \cdots$$X$$p_n = \Pr(X=n)$$mY$$X$$q$

$$\eqalign{q(x) &=& \left(p_0 + p_1 + \cdots + p_{m-1}\right) + \left(p_m + p_{m+1} + \cdots + p_{2m-1}\right)x^m + \cdots + \\&&\left(p_{nm} + p_{nm+1} + \cdots + p_{(n+1)m-1}\right)x^{nm} + \cdots.}$$

Karena ini konvergen sepenuhnya untuk , kita dapat mengatur ulang istilah menjadi sejumlah potongan formulir$|x| \le 1$

$$D_{m,t}p(x) = p_t + p_{t+m}x^m + \cdots + p_{t + nm}x^{nm} + \cdots$$

untuk . Seri power dari fungsi terdiri dari setiap istilah dari seri dimulai dengan : ini kadang-kadang disebut penipisan dari . Pencarian Google saat ini tidak menghasilkan banyak informasi yang berguna tentang penipisan, jadi untuk kelengkapannya, inilah derivasi formula.x t D m , t p m th p t th$t=0, 1, \ldots, m-1$$x^t D_{m,t}p$$m^\text{th}$$p$$t^\text{th}$$p$

Biarkan menjadi akar persatuan primitif ; misalnya, ambil . Kemudian ia mengikuti dari dan yangm th ω = exp ( 2 i π / m ) ω m = 1 ∑ m - 1 j = 0 ω j = $\omega$$m^\text{th}$$\omega = \exp(2 i \pi / m)$$\omega^m=1$$\sum_{j=0}^{m-1}\omega^j = 0$

$$x^t D_{m,t}p(x) = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(x/\omega^j).$$

Untuk melihat ini, perhatikan bahwa operator adalah linier, sehingga cukup untuk memeriksa rumus berdasarkan . Menerapkan sisi kanan untuk memberi { 1 , x , x 2 , ... , x n , ... } x $x^t D_{m,t}$$\{1, x, x^2, \ldots, x^n, \ldots \}$$x^n$

$$x^t D_{m,t}[x^n] = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} x^n \omega^{-nj}= \frac{x^n}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{(t-n) j.}$$

Ketika dan berbeda dengan kelipatan , setiap istilah dalam jumlah sama dengan dan kita memperoleh . Kalau tidak, istilah-istilahnya siklus melalui kekuatan dan ini berjumlah nol. Mana Operator ini mempertahankan semua kekuatan kongruen dengan modulo dan membunuh semua yang lain: justru proyeksi yang diinginkan.$t$$n$$m$$1$$x^n$$\omega^{t-n}$$x$$t$$m$

Rumus untuk mengikuti dengan mudah dengan mengubah urutan penjumlahan dan mengenali salah satu penjumlahan sebagai geometris, sehingga menuliskannya dalam bentuk tertutup:$q$

$$\eqalign{ q(x) &= \sum_{t=0}^{m-1} (D_{m,t}[p])(x) \\ &= \sum_{t=0}^{m-1} x^{-t} \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(\omega^{-j}x ) \\ &= \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} p(\omega^{-j}x) \sum_{t=0}^{m-1} \left(\omega^j/x\right)^t \\ &= \frac{x(1-x^{-m})}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \frac{p(\omega^{-j}x)}{x-\omega^j}. }$$

Sebagai contoh, pgf dari distribusi Poisson dari parameter adalah . Dengan , dan pgf dari akan menjadi$\lambda$$p(x) = \exp(\lambda(x-1))$$m=2$$\omega=-1$$2Y$

$$\eqalign{ q(x) &= \frac{x(1-x^{-2})}{2} \sum_{j=0}^{2-1} \frac{p((-1)^{-j}x)}{x-(-1)^j} \\ &= \frac{x-1/x}{2} \left(\frac{\exp(\lambda(x-1))}{x-1} + \frac{\exp(\lambda(-x-1))}{x+1}\right) \\ &= \exp(-\lambda) \left(\frac{\sinh (\lambda x)}{x}+\cosh (\lambda x)\right). }$$

Salah satu penggunaan pendekatan ini adalah untuk menghitung momen dan . Nilai turunan dari pgf yang dievaluasi pada adalah momen faktorial . The saat adalah kombinasi linear dari yang pertama saat faktorial. Dengan menggunakan pengamatan ini kami menemukan, misalnya, bahwa untuk Poisson didistribusikan , rata-rata (yang merupakan momen faktorial pertama) sama dengan , rata-rata sama dengan , dan rata-rata sama dengan$X$$mY$$k^\text{th}$$x=1$$k^\text{th}$$k^\text{th}$$k$$X$$\lambda$$2\lfloor(X/2)\rfloor$$\lambda- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-2\lambda}$$3\lfloor(X/3)\rfloor$$\lambda -1+e^{-3 \lambda /2} \left(\frac{\sin \left(\frac{\sqrt{3} \lambda }{2}\right)}{\sqrt{3}}+\cos \left(\frac{\sqrt{3} \lambda}{2}\right)\right)$ :

Berarti untuk ditunjukkan masing-masing dalam warna biru, merah, dan kuning, sebagai fungsi : asimtotik, rata-rata turun oleh dibandingkan dengan rata-rata Poisson asli.$m=1,2,3$$\lambda$$(m-1)/2$

Formula serupa untuk varians dapat diperoleh. (Mereka mendapatkan berantakan sebagai meningkat dan begitu juga dihilangkan Satu hal yang mereka definitif menetapkan adalah bahwa ketika. ada beberapa dari adalah Poisson: tidak memiliki persamaan karakteristik mean dan varians) Berikut adalah plot dari varians sebagai fungsi untuk :$m$$m \gt 1$$Y$$\lambda$$m=1,2,3$

Sangat menarik bahwa untuk nilai yang lebih besar dari varians meningkat . Secara intuitif, ini disebabkan oleh dua fenomena yang saling bersaing: fungsi lantai secara efektif menghilangkan kelompok nilai yang semula berbeda; ini harus menyebabkan varians menurun. Pada saat yang sama, seperti yang telah kita lihat, cara berubah juga (karena setiap bin diwakili oleh nilai terkecilnya); ini harus menyebabkan istilah yang sama dengan kuadrat dari perbedaan sarana untuk ditambahkan kembali. Peningkatan varian untuk besar menjadi lebih besar dengan nilai lebih besar .$\lambda$$\lambda$$m$

Perilaku varian dengan secara mengejutkan sangat kompleks. Mari kita akhiri dengan simulasi cepat (dalam ) yang menunjukkan apa yang dapat dilakukannya. Plot menunjukkan perbedaan antara varian dan varian untuk Poisson didistribusikan dengan berbagai nilai mulai dari hingga . Dalam semua kasus, plot tampaknya telah mencapai nilai asimptotiknya di sebelah kanan.$mY$$m$R$m\lfloor X/m \rfloor$$X$$X$$\lambda$$1$$5000$

set.seed(17)
par(mfrow=c(3,4))
temp <- sapply(c(1,2,5,10,20,50,100,200,500,1000,2000,5000), function(lambda) {
  x <- rpois(20000, lambda)
  v <- sapply(1:floor(lambda + 4*sqrt(lambda)), 
              function(m) var(floor(x/m)*m) - var(x))
  plot(v, type="l", xlab="", ylab="Increased variance", 
       main=toString(lambda), cex.main=.85, col="Blue", lwd=2)
})

Seperti yang dikatakan Michael Chernick, jika variabel acak individual independen maka jumlahnya adalah Poisson dengan parameter (rata-rata dan varians) yang dapat Anda sebut λ .$\sum_{i=1}^{n} \lambda_i$$\lambda$

Membagi dengan mengurangi rata-rata menjadi λ / n dan varians λ / n 2 sehingga varians akan lebih kecil dari distribusi Poisson yang setara. Seperti yang dikatakan Michael, tidak semua nilai akan berupa bilangan bulat.$n$$\lambda / n$$\lambda / n^2$

Menggunakan fungsi lantai sedikit mengurangi rata-rata, sekitar , dan sedikit mempengaruhi varians meskipun dengan cara yang lebih rumit. Meskipun Anda memiliki nilai integer, varians masih akan jauh lebih sedikit daripada rata-rata dan karenanya Anda akan memiliki distribusi yang lebih sempit daripada Poisson.$\frac12 -\frac{1}{2n}$

Fungsi massa probabilitas dari rata-rata variabel acak Poisson independen dapat dituliskan secara eksplisit, meskipun jawabannya mungkin tidak banyak membantu Anda. Seperti Michael Chernick dicatat dalam komentar pada jawaban sendiri, jumlahnya Σ i X i dari independen variabel acak Poisson X i dengan parameter masing- λ i adalah variabel acak Poisson dengan parameter λ = Σ i λ i . Oleh karena itu, P { n Σ i = 1 X i = k } = $n$ $\sum_i X_i$$X_i$$\lambda_i$$\lambda = \sum_i \lambda_i$ demikian, Y =n-1Σ n i = 1 Xiadalah variabel taking acak pada nilaik/ndengan probabilitasexp(-λ)λ

$$P\left\{ \sum_{i=1}^n X_i= k\right\} = \exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}, ~~ k = 0, 1, 2, \ldots,$$ $\hat{Y} = n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i$$k/n$. Perhatikan bahwa Y adalahbukanvariabel random integer-dihargai (meskipun itu mengambil nilai-nilai rasional seragam spasi). Ini mengikuti dengan mudah bahwa Y=⌊ Y ⌋merupakan variabel random mengambil bilangan bulat bernilai nilaimdengan probabilitas P{Y=m}=P{⌊$\exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}$$\hat{Y}$$Y = \lfloor \hat{Y} \rfloor$$m$ Inibukanfungsi massa probabilitas dari variabel acak Poisson. Rumus untuk mean dan varians dapat ditulis menggunakan fungsi massa probabilitas ini, tetapi mereka jelas tidak mengarah pada jawaban sederhana yang bagus dalam halλdann. Nilai perkiraan dapat diperoleh seperti yang ditunjukkan oleh Henry. $$P\{Y = m\} = P\left\{\left\lfloor \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right\rfloor = m\right\} = \exp(-\lambda)\sum_{i=0}^{n-1}\frac{\lambda^{mn+i}}{(mn+i)!}, ~~ m = 0, 1, 2, \ldots,$$ $\lambda$$n$

Kamu tidak akan menjadi Poisson. Perhatikan bahwa variabel acak Poisson mengambil nilai integer non negatif. Setelah Anda membaginya dengan konstanta, Anda membuat variabel acak yang dapat memiliki nilai non-integer. Itu masih akan memiliki bentuk Poisson. Hanya saja probabilitas diskrit dapat terjadi pada titik-titik non-integer.