Adakah yang bisa menjelaskan konsep 'pertukaran'?

Saya melihat konsep 'pertukaran' digunakan dalam konteks yang berbeda (misalnya, model bayesian) tetapi saya tidak pernah memahami istilah ini dengan sangat baik.

Apa konsep ini?
Dalam keadaan apa konsep ini digunakan dan mengapa?

bayesian intuition exchangeability

— sxv
sumber

Pertukaran dimaksudkan untuk menangkap simetri dalam suatu masalah, simetri dalam arti yang tidak memerlukan independensi. Secara formal, berurutan ditukarkan jika distribusi probabilitas gabungan adalah fungsi simetris nya argumen. Secara intuitif itu berarti kita dapat bertukar, atau menyusun ulang, variabel dalam urutan tanpa mengubah distribusi bersama mereka. Sebagai contoh, setiap urutan IID (independen, didistribusikan identik) dapat ditukar - tetapi tidak sebaliknya. Namun, setiap urutan yang dapat ditukar didistribusikan secara identik. $n$

Bayangkan sebuah meja dengan sekelompok guci di atasnya, masing-masing berisi proporsi bola merah dan hijau yang berbeda. Kami memilih guci secara acak (menurut beberapa distribusi sebelumnya), dan kemudian mengambil sampel (tanpa penggantian) dari guci yang dipilih.

Perhatikan bahwa merah dan hijau yang kami amati TIDAK independen. Dan mungkin tidak mengejutkan untuk mengetahui bahwa urutan merah dan hijau yang kita amati adalah urutan yang dapat ditukar. Apa yang mungkin mengejutkan adalah bahwa SETIAP urutan yang dapat ditukar dapat dibayangkan seperti ini, untuk pilihan guci yang sesuai dan distribusi sebelumnya. (lihat Diaconis / Freedman (1980) "Finite Exchangeable Sequences", Ann. Prob.).

Konsep ini digunakan di semua tempat, dan ini sangat berguna dalam konteks Bayes karena dalam pengaturan tersebut kami memiliki distribusi sebelumnya (pengetahuan kami tentang distribusi guci di atas meja) dan kami memiliki kemungkinan berlarian (model yang longgar mewakili prosedur pengambilan sampel dari yang diberikan, diperbaiki, guci). Kami mengamati urutan merah dan hijau (data) dan menggunakan informasi itu untuk memperbarui keyakinan kami tentang guci tertentu di tangan kami (yaitu, posterior kami), atau lebih umum, guci di atas meja.

Variabel acak yang dapat dipertukarkan sangat luar biasa karena jika kita memiliki banyak sekali dari mereka maka kita memiliki buku-buku tentang mesin matematika di ujung jari kita, yang paling tidak adalah Teorema de Finetti; lihat Wikipedia untuk pengantar.

(+1) Asumsi yang dapat dipertukarkan juga merupakan jantung dari tes permutasi.

— chl

Mengingat pertanyaan tentang kapan & mengapa pertukaran dapat dilakukan, penunjuk chl untuk pengujian permutasi mungkin perlu beberapa kata tambahan. Tes permutasi adalah teknik nonparametrik yang digunakan ketika normalitas dan asumsi serupa tidak dapat dipertahankan - alih-alih seseorang menggunakan "asumsi nol" yang jauh lebih lemah dari nilai tukar, mendekati distribusi statistik uji di bawah asumsi nol ini (dengan mengubah) dan melihat apakah tes yang sebenarnya diamati statistik ekstrem dibandingkan dengan distribusi nol ini. Ada buku yang dapat diakses oleh P. Good, "Permutation, Parametric, dan Bootstrap Tests of Hypotheses".

— S. Kolassa - Reinstate Monica

@Stephan Saya suka buku ini! Namun, nilai tukar lebih lemah daripada independensi ...

— chl

Terima kasih banyak atas jawaban yang bermanfaat ini, GJK, dan untuk catatan tentang tes permutasi, @StephanKolassa dan chi. Saya bingung tentang peran yang dimainkan beberapa guci dalam contoh. Urutan merah dan hijau akan dapat ditukar dengan guci tunggal, kan? Apa yang ditambahkan dengan kemungkinan beberapa guci (beberapa distribusi)?

— Mars

Saya tidak akan mempercayai apa pun dalam buku itu oleh Good. Saya pernah melihat kesalahan saya di buku itu, menulisnya, dan menerima noanswer yang agak vulgar.

— kjetil b halvorsen