Intuisi (geometris atau lainnya) dari

Dalam angsuran intuisi lain untuk identitas dalam probabilitas, pertimbangkan Hukum identitas dasar Varians Total

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & E [V a r (X | Y)] + V a r (E [X | Y]) \end{array}

$\begin{eqnarray} \rm{Var}(X) &=&\rm{E}[\rm{Var}(X|Y)] + \rm{Var}(E[X|Y]) \end{eqnarray}$

Ini adalah manipulasi aljabar ~~sederhana~~ dari definisi momen ke penjumlahan, atau, seperti dalam tautan wikipedia, melalui manipulasi E dan Var.

Tetapi identitas ini, saya tidak tahu apa artinya . Saya kira itu berarti Anda mungkin bisa menghitung varians dari satu variabel menggunakan variabel lain untuk membantu, tetapi itu tidak terlihat seperti menyederhanakan hal-hal atau membuat hal-hal lebih mudah ditelusuri.

Halaman wiki mengatakan

komponen pertama disebut nilai yang diharapkan dari varians proses (EVPV) dan yang kedua disebut varians dari cara hipotetis (VHM)

yang sama mencerahkannya dengan membaca nama.

Jadi apa benar-benar berarti ? Apakah ada intuisi tentang dua bagian? Apakah Anda memerlukan intuisi terlebih dahulu? Intuisi geometris mungkin bagus, tetapi juga penjelasan bertele-tele, aljabar kecil, akan sangat membantu. $E[E[X|Y]] = E[X]$

Adakah interpretasi aljabar linier yang baik atau interpretasi fisik atau lainnya yang akan memberikan wawasan tentang identitas ini?

variance intuition

— Mitch
sumber

tetapi itu tidak terlihat seperti menyederhanakan hal-hal atau membuat hal-hal lebih mudah ditelusuri - ini berguna pada dasarnya setiap kasus di mana ada beberapa tambahan yang membuat lebih mudah untuk dipikirkan daripada hanya itu sendiri. Misalnya, ambil dan ; lalu Mencoba menghitung secara langsung akan jauh lebih mudah.

Y

$Y$

X ∣ Y

$X \mid Y$

X

$X$

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb E}\DeclareMathOperator{\Var}{Var}$

X ∣ Y \sim N (Y, Y σ^{2})

$X \mid Y \sim \mathcal{N}(Y, Y \sigma^2)$

Y \sim B i n o m i a l (n, p)

$Y \sim \mathrm{Binomial}(n, p)$

\begin{matrix} E [Var (X ∣ Y)] = E [Y σ^{2}] = n p σ^{2} \\ Var (E [X ∣ Y]) = Var (Y) = n p (1 - p) . \end{matrix}

$\begin{gather}\E[\Var(X \mid Y)] = \E[Y \sigma^2] = n p \sigma^2 \\ \Var(\E[X \mid Y]) = \Var(Y) = n p (1-p).\end{gather}$

— Dougal

terkait: stats.stackexchange.com/questions/71620/...

— Taylor

Untuk mendapatkan intuisi sederhana, kita akan membandingkan dengan analisis varian dua arah. Biarkan mana iid dengan nol harapan dan varian umum , . $Y_{ij} = \mu_i +\epsilon_{ij}$ $\epsilon_{ij}$ $\sigma^2$ $i=1,\dotsc,k; j=1,\dotsc,n_i$

Kemudian kita memiliki dekomposisi mana istilah pertama pada hak mengukur varians dalam-grup (dan dapat digunakan untuk memperkirakan varians dalam-grup yang umum ), istilah kedua mengukur antar-grup varians, dan dapat digunakan untuk memperkirakan hanya di bawah hipotesis bahwa semua memiliki nilai bersama. Jika tidak, itu akan berisi komponen tambahan, "varians dari 's". Ini memiliki sama bentuk sebagai hukum varian total!

\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n_{i}} (Y_{i j} - \bar{\bar{Y}})^{2} = \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n_{i}} (Y_{i j} - \bar{Y_{i}})^{2} + \sum_{i = 1}^{k} n_{i} ((\bar{Y_{i}} - \bar{\bar{Y}})^{2}

$\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij}-\overline{\overline{Y}})^2 = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij}-\overline{Y_i})^2 + \sum_{i=1}^k n_i((\overline{Y_{i}}-\overline{\overline{Y}})^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ_{i}

$\mu_i$

μ_{i}

$\mu_i$

Secara formal, biarkan keanggotaan kelompok menjadi variabel acak . Kemudian kita mendapatkan dan kita dapat membaca ini sebagai "varians adalah nilai yang diharapkan dari varians dalam-kelompok ditambah varian dari ekspektasi kelompok." Itu sama dengan interpretasi kita terhadap dekomposisi ANOVA di atas. Melihat lebih dekat pada derivasi (yang tidak kami berikan di sini) Anda dapat melihat bahwa itu benar-benar versi dari teorema Pythagoras. Untuk sudut pandang itu, lihat Hukum varian total sebagai teorema Pythagoras $G$

V a r Y = E V a r (Y | G) + V a r E (Y | G)

$Var Y = E Var (Y | G) + Var E (Y | G)$

Y

$Y$

— kjetil b halvorsen
sumber

Hack mathjax saya untuk mendapatkan double overline tidak bekerja dengan baik. Gagasan untuk membuatnya lebih baik?

— kjetil b halvorsen

Double overline terlihat jauh lebih baik dengan daripada dengan karena beberapa alasan: .

X

$X$

Y

$Y$

\bar{\bar{X}}

$\overline{\overline{X}}$

— jbowman