Bagaimana keluarga distribusi dengan PDF sebanding dengan

Pertimbangkan keluarga distribusi dengan PDF (hingga konstanta proporsionalitas) yang diberikan oleh

hal (x) \sim \frac{1}{(1 + α x^{2})^{1 / α}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\alpha x^2)^{1/\alpha}}.$ Bagaimana namanya? Jika tidak memiliki nama, bagaimana Anda menyebutnya?

Itu terlihat sangat mirip dengan keluarga $t$ -distribusi dengan PDF sebanding dengan

hal (x) \sim \frac{1}{(1 + \frac{1}{ν} x^{2})^{(ν + 1) / 2}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\frac{1}{\nu} x^2)^{(\nu+1)/2}}.$

Kapan $\alpha=\nu=1$ kita punya $t$ -distribusi dengan 1 df, alias distribusi Cauchy. Kapan $\alpha\to 0$ atau $\nu\to\infty$ , kami mendapatkan distribusi Gaussian.

Keluarga distribusi ini muncul di Yang et al., Embedded Stochastic Neighbor Embedded Ekorimetri, NIPS 2009 , tetapi mereka tidak menggunakan nama apa pun untuk merujuknya.

— amuba
sumber

mathworks.com/help/stats/t-location-scale-distribution.html . Saya akan mengatakan itu adalah bentuk distribusi t skala dengan menetapkan nilai yang sesuai untuk v dan skala.

— Cagdas Ozgenc

Terima kasih @CagdasOzgenc (+1). Kamu benar. Glen_b menguraikan ini dalam sebuah jawaban.

— amoeba

Jika Anda tidak menyadarinya, mgcv::gamizinkan spesifikasi skala-T sebagai respons saat menggunakan gam( family= "scat", ... ).

— usεr11852

Ini hanya skala tertentu $t$ -distribusi - a $t$ -Distribusi dengan varian yang berbeda dengan standar $t$ -distribusi.

Membiarkan $\nu = \frac{2}{\alpha}-1$ . Membiarkan $\sigma= \frac{\sqrt{2-\alpha}}{\alpha}$ .

Lalu (jika saya melakukannya dengan benar) $Y=X/\sigma$ adalah standar $t$ dengan $\nu$ df

Beginilah alasan saya:

f_{Y} (y) = c \cdot \frac{1}{(1 + \frac{y^{2}}{ν})^{(ν + 1) / 2}}

$f_Y(y)= c\cdot \frac{1}{(1+\frac{y^2}{\nu})^{(\nu+1)/2}}$ adalah standar

t

$t$ -massa jenis.

Kami mendapatkan skala keluarga dengan membiarkan $X/\sigma=Y$ , dalam hal ini

f_{X} (x) = \frac{1}{σ} f_{Y} (\frac{x}{σ}) = \frac{c}{σ} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{x^{2}}{σ^{2} ν})^{(ν + 1) / 2}}

$f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) = \frac{c}{\sigma}\cdot \frac{1}{(1+\frac{x^2}{\sigma^2\nu})^{(\nu+1)/2}}$ adalah skala

t

$t$ -massa jenis.

Hanya menyamakan koefisien dalam kepadatan Anda dengan ini, dan pecahkan untuk $\nu$ dan $\sigma$ .

Menyadari bahwa parameter skala akan mengambil apa pun yang tidak "benar" $\alpha x^2$ (mengingat bahwa $\nu$ sudah didefinisikan dengan menyamakan kekuatan) adalah semua yang diperlukan untuk melihatnya ditingkatkan $t$ ; aljabar tidak diperlukan sampai tiba saatnya untuk benar-benar menemukan parameter $t$ .

[Catatan akhir: Seandainya tidak jelas bahwa keluarga skala memiliki bentuk $f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ , ambil pernyataan probabilitas $F_X(x) = F_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ (mencatat bahwa acara tersebut $X/\sigma\leq t$ identik dengan acara tersebut $Y\leq t$ ) dan bedakan.]

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Sangat menarik untuk dicatat bahwa konversi ini rusak ketika

α \geq 2

$\alpha\ge 2$ . Saya berasumsi itu karena PDF berskala akan berbeda ketika terintegrasi melalui garis nyata, kan?

— amoeba

Iya. Misalnya di

α = 2

$\alpha=2$ Anda memiliki sesuatu yang mendekati

k / | x |

$k/|x|$ di ekor, dan kedua bagian dari perbedaan integral. Yah argumen itu agak longgar tetapi Anda bisa mengencangkannya dengan cukup mudah.

— Glen_b -Reinstate Monica

@amoeba Perhatikan itu

v a r = σ^{2} \frac{v}{v - 2}

$var=\sigma^2 \frac{v}{v-2}$ . Saya sering menggunakan distribusi ini untuk estimasi volatilitas dalam seri waktu keuangan.

— Cagdas Ozgenc