Masalah Memancing

Misalkan Anda ingin pergi memancing di danau terdekat dari jam 8 pagi - 8 malam. Karena penangkapan ikan yang berlebihan, sebuah undang-undang telah diberlakukan yang mengatakan Anda hanya dapat menangkap satu ikan per hari. Ketika Anda menangkap ikan, Anda dapat memilih untuk menyimpannya (dan dengan demikian pulang bersama ikan itu), atau melemparkannya kembali ke danau dan terus memancing (tetapi berisiko kemudian memilih ikan yang lebih kecil, atau tidak ada ikan sama sekali). Anda ingin menangkap ikan sebesar mungkin; khususnya, Anda ingin memaksimalkan massa ikan yang diharapkan yang Anda bawa pulang.

Secara resmi, kami dapat mengatur masalah ini sebagai berikut: ikan ditangkap pada tingkat tertentu (jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menangkap ikan Anda berikutnya mengikuti distribusi eksponensial yang diketahui), dan ukuran ikan yang ditangkap mengikuti beberapa (juga diketahui) distribusi . Kami menginginkan proses pengambilan keputusan yang, mengingat waktu saat ini dan ukuran ikan yang baru Anda tangkap, memutuskan apakah akan menyimpan ikan atau membuangnya kembali.

Jadi pertanyaannya adalah: bagaimana seharusnya keputusan ini dibuat? Apakah ada cara sederhana (atau rumit) untuk memutuskan kapan harus berhenti memancing? Saya pikir masalahnya setara dengan menentukan, untuk waktu tertentu t, massa ikan yang diharapkan yang akan dibawa pulang oleh nelayan optimal jika mereka mulai pada waktu t; proses pengambilan keputusan yang optimal akan memelihara ikan jika dan hanya jika ikan lebih berat dari massa yang diharapkan. Tapi itu sepertinya semacam referensi diri; kami mendefinisikan strategi penangkapan yang optimal dalam hal penangkapan ikan yang optimal, dan saya tidak yakin bagaimana untuk melanjutkan.

stochastic-processes optimal-stopping

— b2coutts
sumber

Lihatlah masalah sekretaris di Wikipedia - khususnya bagian tentang 1 / e-law pilihan terbaik.

— soakley

Saya pikir perbedaan utama di sini adalah diasumsikan kita tahu bagaimana semuanya didistribusikan, sedangkan kunci untuk solusi itu adalah menggunakan pelamar 1 / e pertama hanya untuk mendapatkan beberapa pengetahuan itu dan menetapkan ambang batas yang baik. Saya pikir ide yang sama tidak bisa bekerja di sini. Anda dapat membayangkan hanya mendapatkan ambang batas dari distribusi, tetapi saya tidak berpikir itu harus diperbaiki; Saya pikir ambang batas akan berkurang seiring waktu, karena Anda memiliki waktu lebih sedikit untuk menangkap ikan yang lebih baik.

— b2coutts

@soakley lihat juga tanggapan saya terhadap jawaban olooney; nilai (yang diharapkan) untuk menunggu tidak hanya bergantung pada hasil tangkapan yang akan Anda peroleh di masa depan, tetapi tangkapan mana yang akan diambil oleh strategi Anda. Jadi saya pikir ada aspek referensial diri yang aneh untuk pertanyaan ini juga.

— b2coutts

Apa fungsi atau nilai yang kami coba optimalkan? Artinya, bagaimana kita menimbang risiko dan untungnya? Apakah titik untuk datang dengan metode yang memaksimalkan nilai harapan ukuran ikan yang ditangkap? Apakah kita hanya memancing satu hari atau beberapa hari, dan dalam kasus terakhir bagaimana hari berkorelasi?

— Sextus Empiricus

Kita tahu distribusi ... apakah itu hanya merujuk pada jenis distribusi, atau apakah itu juga termasuk parameter distribusi?

— Sextus Empiricus

Misalkan $\lambda$ menunjukkan laju proses Poisson dan misalkan $S(x)=1-F(x)$ mana $F(x)$ adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi ukuran ikan.

$t=0$ $g(t)$ $t\le 0$ $(t,0)$ $g(0)=0$ $x$ $t$ $g(t)$

$g(t)$ $(t-dt,t)$ $X>g(t)$

λ d t S (g (t)),

$\lambda dt S(g(t)),$

g (t)

$g(t)$

E (X | X > g (t)) = g (t) + \frac{1}{S (g (t))} \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x .

$E(X|X>g(t))=g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx.$

$(t-dt,0)$

g (t - d t) = [λ d t S (g (t))] [g (t) + \frac{1}{S (g (t))} \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x] + [1 - λ d t S (g (t)] g (t) .

$g(t-dt) =[\lambda dt S(g(t))][g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx] + [1-\lambda dt S(g(t)] g(t).$

$g(t)$

\begin{matrix} (1) & \frac{d g}{d t} = - λ \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x . \end{matrix}

$\frac{dg}{dt}=-\lambda \int_{g(t)}^\infty S(x) dx. \tag{1}$

g (t)

$g(t)$

λ

$\lambda$

\int_{0}^{\infty} S (x) d x

$\int_0^\infty S(x)dx$

$X\sim \exp(\alpha)$ $S(x)=e^{-\alpha x}$

\frac{d g}{d t} = - \frac{λ}{α} e^{- α g (t)}

$\frac{dg}{dt}=-\frac\lambda\alpha e^{-\alpha g(t)}$

g (t) = \frac{1}{α} \ln (1 - λ t),

$g(t) = \frac1\alpha\ln(1-\lambda t),$

t \leq 0

$t\le 0$

α = λ = 1

$\alpha=\lambda=1$

g (- 12)

$g(-12)$

g <- function(t,lambda, rate) {
  1/rate*log(1-lambda*t)
}
catch <- function(daylength=12, lambda=1, rfn=runif, gfn=g, ...) {
  n <- rpois(1,daylength*lambda)
  starttime <- -daylength
  arrivaltimes <- sort(runif(n,starttime,0))
  X <- rfn(n,...)
  j <- match(TRUE, X > gfn(arrivaltimes,lambda,...))
  if (is.na(j))
    0
  else
    X[j]
}
nsim <- 1e+5
catches <- rep(0,nsim)
for (i in 1:nsim)
  catches[i] <- catch(gfn=g,rfn=rexp,rate=1,lambda=1)
> mean(catches)
[1] 2.55802
> g(-12,1,1)
[1] 2.564949

$X \sim U(0,1)$

g (t) = 1 - \frac{1}{1 - λ t / 2}

$g(t) = 1 - \frac1{1-\lambda t/2}$

g (t)

$g(t)$

t \to - \infty

$t\rightarrow -\infty$

— Jarle Tufto
sumber

g (t)

$g(t)$

(t, 0)

$(t,0)$

g (t)

$g(t)$

(t, 0)

$(t,0)$

t

$t$

g (t)

$g(t)$

g^{'} (t) = 1 - \frac{e^{λ t} - 1}{λ t}

$g'(t)=1-\frac{e^{\lambda t}-1}{\lambda t}$

g^{'} (t)

$g'(t)$