Mengapa koefisien regresi logistik eksponensial dianggap "rasio odds"?

Regresi logistik memodelkan peluang log dari suatu peristiwa karena sejumlah peramal. Yaitu, log (p / (1-p)) di mana p adalah probabilitas dari beberapa hasil. Dengan demikian, interpretasi koefisien regresi logistik mentah untuk beberapa variabel (x) harus pada skala peluang log. Artinya, jika koefisien untuk x = 5 maka kita tahu bahwa 1 unit perubahan dalam koresponden x menjadi 5 unit perubahan pada skala peluang log yang hasilnya akan terjadi.

Namun, saya sering melihat orang menafsirkan koefisien regresi logistik eksponensial sebagai rasio odds. Namun, jelas exp (log (p / (1-p))) = p / (1-p), yang merupakan peluang. Sejauh yang saya pahami, rasio peluang adalah peluang dari satu peristiwa yang terjadi (misalnya, p / (1-p) untuk peristiwa A) dibandingkan dengan peluang peristiwa lain yang terjadi (misalnya, p / (1-p) untuk acara B).

Apa yang kulewatkan di sini? Sepertinya interpretasi yang umum dari koefisien regresi logistik eksponensial ini tidak benar.

@Loniconic jawaban yang bagus dan lengkap, menurut saya. Sesuatu yang ingin saya tambahkan adalah bahwa koefisien asli menggambarkan perbedaan dalam peluang log untuk dua unit yang berbeda dengan 1 dalam prediktor. Misalnya, untuk koefisien pada dari 5, kita dapat mengatakan bahwa perbedaan dalam peluang log antara dua unit yang berbeda pada dengan 1 adalah 5. Secara matematis,$X$$X$

$$\beta = \log(\text{odds}(p|X=x_0+1))-\log(\text{odds}(p|X=x_0))$$

Saat Anda menggunakan , Anda dapatkan$\beta$

$$\exp(\beta) = \exp(\log(\text{odds}(p|X=x_0+1))-\log(\text{odds}(p|X=x_0))) \\ = \frac{\exp(\log(\text{odds}(p|X=x_0+1)))}{\exp(\log(\text{odds}((p|X=x_0)))} \\ = \frac{\text{odds}(p|X=x_0+1)}{\text{odds}(p|X=x_0))}$$

yang merupakan rasio peluang, rasio peluang.

Pertimbangkan dua set kondisi, pertama dijelaskan oleh vektor dari variabel independen , dan yang kedua dijelaskan oleh vektor , yang berbeda hanya dalam engan variabel , dan dengan satu unit. Biarkan menjadi vektor parameter model seperti biasa.$X$x i$X'$$x_i$$\beta$

Menurut model regresi logistik, probabilitas peristiwa yang terjadi dalam kasus pertama adalah , sehingga peluang kejadian yang terjadi adalah . p$p_1 = \frac{1}{1 + \exp(-X \beta)}$$\frac{p_1}{1-p_1} = \exp(X \beta)$

Probabilitas peristiwa yang terjadi dalam kasus kedua adalah , sehingga kemungkinan kejadian yang terjadi adalah . p$p_2 = \frac{1}{1 + \exp(-X' \beta)}$$\frac{p_2}{1-p_2} = \exp(X' \beta) = \exp(X \beta + \beta_i)$

Karenanya, rasio peluang dalam kasus kedua dengan peluang dalam kasus pertama adalah . Oleh karena itu interpretasi eksponensial parameter sebagai rasio odds.$\exp(\beta_i)$