Mengapa jumlah probabilitas dalam distribusi seragam kontinu bukan tak terbatas?

Fungsi kepadatan probabilitas distribusi seragam (kontinu) ditunjukkan di atas. Area di bawah kurva adalah 1 - yang masuk akal karena jumlah semua probabilitas dalam distribusi probabilitas adalah 1.

Secara formal, fungsi probabilitas di atas (f (x)) dapat didefinisikan sebagai

1 / (ba) untuk x dalam [a, b]

dan 0 sebaliknya

Pertimbangkan bahwa saya harus memilih bilangan real antara a (katakanlah, 2) dan b (katakanlah, 6). Ini membuat probabilitas seragam = 0,25. Namun, karena ada jumlah angka tak terbatas dalam interval itu, bukankah seharusnya jumlah semua probabilitas berjumlah hingga tak terbatas? Apa yang saya abaikan?

Apakah f (x) bukan probabilitas dari angka x yang terjadi?

a a + 0,1 a $f(x)$ menjelaskan kepadatan probabilitas daripada massa probabilitas dalam contoh Anda. Secara umum, untuk distribusi kontinu yang peristiwa -The hal yang kita mendapatkan probabilitas untuk-yang rentang nilai, seperti untuk daerah di bawah kurva dari ke , atau dari ke (meskipun rentang tersebut tidak perlu berdekatan) . Untuk distribusi kontinu, probabilitas setiap nilai tunggal yang terjadi umumnya 0.$a$$a+.1$$a$$b$

Karena setiap istilah dalam penjumlahan ditimbang oleh infinitesimal d . Pentingnya ini mungkin paling mudah dipahami dengan hati-hati berjalan melalui contoh yang sangat mendasar.$x$

Pertimbangkan untuk menggunakan penjumlahan Riemann untuk menghitung area di bawah wilayah persegi panjang berikut (sebuah persegi panjang dipilih untuk menghapus aspek perkiraan penjumlahan Riemann, yang bukan fokus di sini): ] Kita dapat menghitung area menggunakan 2 subregion, atau dengan menggunakan 4 subregion . Dalam kasus 2 subkawasan (dilambangkan ), area diberikan oleh sedangkan dalam kasus 4 subkawasan (dilambangkan ), area diberikan oleh Total area dalam kedua kasus sesuai dengan Sekarang, ini semua cukup jelas, tetapi menimbulkan pertanyaan halus yang penting adalah: mengapa kedua jawaban ini setujuA 1 = A 2 = 5 × 2 = 10 B i B 1 = B $A_i$

$$A_1=A_2=5\times 2 = 10$$ $B_i$ $$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$$ $$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$$ ? Secara intuitif seharusnya jelas bahwa ini berhasil karena kami telah mengurangi lebar set subregional kedua. Kita bisa mempertimbangkan melakukan hal yang sama dengan 8 subregional masing-masing dengan lebar , dan lagi dengan 16 ... dan kita bisa melanjutkan proses ini sampai kita memiliki jumlah tak terbatas subregion, masing-masing dengan lebar kecil d . Selama semuanya selalu tertimbang dengan benar, jawabannya harus selalu setuju. Tanpa pembobotan yang tepat, penjumlahan akan menjadi .$0.5$$x$$\infty$

Inilah sebabnya saya selalu menunjukkan kepada siswa bahwa integral bukan hanya simbol , tetapi pasangan simbol .∫ d $\int$$\int \text dx$

Anda mengartikan distribusi probabilitas dengan cara yang salah - ini adalah jumlah tak terbatas dari probabilitas yang terbagi tak terhingga, jadi Anda tidak bisa mengatakan bahwa "probabilitas menarik nilai 0,5 dari distribusi seragam (0, 1)" karena probabilitas itu adalah zero - ada jumlah tak terbatas kemungkinan nilai Anda bisa mendapatkan, dan mereka semua sama-sama mungkin, sehingga jelas probabilitas dari setiap hasil individu adalah ^[1] .$\frac{1}{\infty} = 0$

Sebagai gantinya, Anda dapat melihat probabilitas untuk serangkaian hasil, dan mengukur bahwa menggunakan area (dan karenanya integral). Misalnya, jika Anda menggambar dari distribusi seragam (0, 1) (dengan pdf untuk dan sebaliknya), maka probabilitas bahwa hasil Anda terletak antara dan adalah$f(x) = 1$$x \in \left[0, 1\right]$$f(x) = 0$$0.2$$0.3$

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

yaitu Anda memiliki peluang 10% untuk mendapatkan hasil dalam rentang itu.

^[1] Maaf untuk semua orang yang mengalami serangan jantung karena penyederhanaan perhitungan saya yang berlebihan.

Secara umum alasan Anda gagal dalam asumsi ini:

Namun, karena ada jumlah angka tak terbatas dalam interval itu, bukankah seharusnya jumlah semua probabilitas berjumlah hingga tak terbatas?

Ini masalah matematika, yang dikenal sejak Zeno dari Elea Paradox .

Dua dari klaimnya adalah itu

1. Panah tidak pernah bisa mencapai targetnya
2. Achilles tidak akan pernah menyalip kura-kura

Keduanya didasarkan pada klaim bahwa Anda dapat membangun urutan angka positif yang tak terbatas (dalam kasus sebelumnya dengan mengatakan bahwa panah harus terbang tak terhingga setengah dari sisa jalan menuju target, di yang terakhir dengan mengatakan bahwa Achilles memiliki untuk mencapai posisi di mana kura-kura sebelumnya, dan sementara itu kura-kura pindah ke posisi baru yang menjadi titik dasar referensi kami berikutnya).

Maju cepat, ini mengarah pada penemuan jumlah tak terbatas.

Jadi secara umum jumlah tak terbatas banyak angka positif tidak harus tak terbatas ; Namun, itu mungkin tidak terbatas hanya jika (penyederhanaan berlebihan, maaf tentang itu) hampir semua angka dalam urutan sangat dekat dengan 0, terlepas dari seberapa dekat dengan nol Anda meminta mereka.

Infinity memainkan lebih banyak trik. The rangka di mana Anda menambahkan elemen urutan juga penting dan mungkin menyebabkan situasi yang penataan kembali memberikan hasil yang berbeda!

Jelajahi sedikit tentang paradoks ketakterbatasan . Anda mungkin heran.

$f(x)$$\frac{p}{x}$$f(x) = \frac{1}{b-a}$$\frac{p}{x}$

Semoga ini masuk akal.