Apakah produk RV yang dapat dipertukarkan dapat ditukar?

8

Asumsikan dan adalah dua Variabel acak yang memiliki RV biner sebagai komponennya (Oleh karena itu ) dan keduanya ( dan ) dapat dipertukarkan, yaitu

X = (X_{1}, . . ., X_{n}), : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$X=(X_1, ..., X_n),: (\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$

Y = (Y_{1}, . . ., Y_{n}) : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$Y=(Y_1, ..., Y_n):(\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$

X_{i} (ω) \in {0, 1}, Y_{i} (ω) \in {0, 1}

$X_i(\omega)\in\{0,1\}, Y_i(\omega) \in \{0,1\}$

X

$X$

Y

$Y$

P ((X_{1}, . . ., X_{n}) = (x_{1}, . . ., x_{n})) = P ((X_{σ (1)}, . . ., X_{σ (n)}) = (x_{1}, . . ., x_{n}))

$P((X_1, ..., X_n)=(x_1, ..., x_n))= P((X_{\sigma(1)}, ..., X_{\sigma(n)})=(x_1, ..., x_n))$

dan

P ((Y_{1}, . . ., Y_{n}) = (y_{1}, . . ., y_{n})) = P ((Y_{σ (1)}, . . ., Y_{σ (n)}) = (y_{1}, . . ., y_{n}))

$P((Y_1, ..., Y_n)=(y_1, ..., y_n))= P((Y_{\sigma(1)}, ..., Y_{\sigma(n)})=(y_1, ..., y_n))$ untuk semua permutasi .

σ

$\sigma$

Pertanyaan saya adalah apakah ini menyatakan bahwa dapat ditukar? $Z=(X_1Y_1, ..., X_nY_n)$

Atau dibingkai berbeda yang asumsi yang neccessary untuk untuk dapat dipertukarkan? $Z$

bayesian exchangeability

— Sebastian
sumber

Tampaknya ada setidaknya satu kesalahan ketik dalam pertanyaan Anda: apakah Anda benar-benar bermaksud bahwa komponen terakhir adalah " ?" Notasi adalah buram: apakah Anda mengklaim adalah variabel acak dengan komponen biner dan adalah variabel acak yang komponennya adalah fungsi biner dari biner vektor? Ketika Anda menyatakan masalah ini secara abstrak, (1) sangat penting untuk mendapatkan semuanya dengan benar dan (2) Anda sebaiknya mempertimbangkan untuk mempostingnya di situs matematika.

Z

$Z$

Y_{n} Y_{n}

$Y_nY_n$

X

$X$

Y

$Y$

n

$n$

— whuber

Terima kasih telah menunjukkan ini. Saya akan memperjelas notasi

— Sebastian

6

Produk tidak harus dapat ditukar. Contoh tandingan berikut akan menunjukkan apa yang salah dan mengapa.

Kami akan menentukan distribusi bersama dari dan dari dan menganggap masing-masing variabel acak bivariat ini independen. Dengan demikian, akan dapat ditukar asalkan didistribusikan secara identik, dan juga untuk Semua variabel akan menjadi variabel Bernoulli: menurut definisi, probabilitasnya akan terkonsentrasi pada set $P_1$ $(X_1,Y_1)$ $P_2$ $(X_2,Y_2)$ $X_i$ $Y_i.$ $\{0,1\}.$

Misalkan dan untuk $P_1(0,0) = P_1(1,1) = 1/2$ $P_2(x,y)=1/4$ $x,y\in\{0,1\}.$

Karena semua distribusi marjinal adalah Bernoulli asumsi pertukaran marginal berlaku. Tetapi sekarang hitunglah bahwa dan menunjukkan produk memiliki distribusi yang berbeda (dan karenanya tidak dapat ditukar). $(1/2),$ $\Pr(X_1Y_1=0) = 1/2$ $\Pr(X_2Y_2=0)=3/4,$

Ini menunjukkan bahwa distribusi bersama itu penting.

Namun, distribusi bersama dapat berbeda, namun produk dapat ditukar, sehingga pertukaran variabel acak bivariat , meskipun kondisi yang cukup untuk pertukaran produk bukan kondisi yang diperlukan. $(X_i,Y_i)$ $X_iY_i,$

Contoh dari ini diberikan oleh variabel terner dengan nilai dalam Sebagai contoh, pertimbangkan probabilitas berikut: $\{-1,0,1\}.$

P_{1} ((- 1, y)) = 1 / 6 (y \in {- 1, 0, 1}); P_{1} ((1, - 1)) = P_{1} ((1, 1)) = 1 / 4

$P_1((-1,y)) = 1/6\quad(y\in\{-1,0,1\});\quad P_1((1,-1)) = P_1((1,1))=1/4$

dan

P_{2} ((x, y)) = P_{1} ((- x, y)) .

$P_2((x,y)) = P_1((-x,y)).$

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa distribusi marginal menetapkan probabilitas yang sama dari hingga distribusi marginal memiliki vektor probabilitas dan bahwa distribusi sama dengan Perhatikan bahwa memiliki distribusi yang berbeda, karena $X_i$ $1/2$ $\pm 1,$ $Y_i$ $(5/12, 1/6, 5/12),$ $X_iY_i$ $Y_i.$ $(X_i,Y_i)$

P_{1} ((- 1, 0)) = 1 / 6 \neq 0 = P_{2} ((- 1, 0)) .

$P_1((-1,0)) = 1/6 \ne 0 = P_2((-1,0)).$

Dengan demikian dapat ditukar, dapat ditukar, dapat ditukar, tetapi tidak dapat ditukar. $X_i$ $Y_i$ $X_iY_i$ $(X_i,Y_i)$

— whuber
sumber

2

Misalkan ruang sampel terdiri dari tiga outome dengan kemungkinan yang sama dimana mengambil nilai dan untuk mana mengambil nilai dari Kemudian dapat ditukar dan begitu juga . Tetapi nilai adalah sangat jelas tidak dapat ditukar. $X$

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

$(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$

Y

$Y$

(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) .

$(1,0,0), (0,0,1), (0,1,0).$

X_{1}, X_{2}, X_{3}

$X_1,X_2,X_3$

Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}

$Y_1,Y_2,Y_3$

Z = (X_{1} Y_{1}, \dots, X_{3} Y_{3})

$Z=(X_1 Y_1,\dots, X_3 Y_3)$

(1, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)

$(1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)$

Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}

$Z_1,Z_2,Z_3$

— Jarle Tufto
sumber