Masalah Monty Hall - di mana intuisi kita mengecewakan kita?

Dari Wikipedia:

Misalkan Anda berada di sebuah acara permainan, dan Anda diberi pilihan tiga pintu: Di belakang satu pintu adalah mobil; di belakang yang lain, kambing. Anda memilih pintu, katakan Nomor 1, dan tuan rumah, yang tahu apa yang ada di balik pintu, membuka pintu lain, katakan Nomor 3, yang memiliki seekor kambing. Dia kemudian berkata kepada Anda, "Apakah Anda ingin memilih pintu No. 2?" Apakah menguntungkan Anda untuk mengalihkan pilihan Anda?

Jawabannya tentu saja ya - tetapi ini sangat tidak inituitif. Kesalahpahaman apa yang dimiliki kebanyakan orang tentang probabilitas yang menyebabkan kita menggaruk-garuk kepala kita - atau lebih baik menempatkannya; aturan umum apa yang bisa kita ambil dari teka-teki ini untuk melatih intuisi kita di masa depan?

Pertimbangkan dua variasi sederhana dari masalah:

1. Tidak ada pintu yang dibuka untuk kontestan. Tuan rumah tidak menawarkan bantuan dalam memilih pintu. Dalam hal ini jelas bahwa kemungkinan memilih pintu yang benar adalah 1/3.
2. Sebelum kontestan diminta untuk menebak, pembawa acara membuka pintu dan mengungkapkan seekor kambing. Setelah pembawa acara mengungkapkan seekor kambing, kontestan harus memilih mobil dari dua pintu yang tersisa. Dalam hal ini jelas bahwa kemungkinan memilih pintu yang benar adalah 1/2.

Agar seorang kontestan mengetahui kemungkinan pilihan pintunya benar, ia harus mengetahui berapa banyak hasil positif yang tersedia baginya dan membagi angka itu dengan jumlah hasil yang mungkin. Karena dua kasus sederhana yang diuraikan di atas, sangat wajar untuk memikirkan semua kemungkinan hasil yang tersedia sebagai jumlah pintu untuk dipilih, dan jumlah hasil positif sebagai jumlah pintu yang menyembunyikan mobil. Dengan asumsi intuitif ini, bahkan jika tuan rumah membuka pintu untuk mengungkapkan seekor kambing setelah kontestan menebak, kemungkinan pintu mana pun yang berisi mobil tetap 1/2.

Pada kenyataannya, probabilitas mengenali serangkaian hasil yang mungkin lebih besar dari tiga pintu dan itu mengakui serangkaian hasil positif yang lebih besar dari pintu tunggal dengan mobil. Dalam analisis masalah yang benar, tuan rumah memberikan informasi baru kepada kontestan yang membuat pertanyaan baru untuk diatasi: berapa probabilitas bahwa dugaan awal saya sedemikian rupa sehingga informasi baru yang disediakan oleh tuan rumah cukup untuk memberi tahu saya tentang yang benar? pintu? Dalam menjawab pertanyaan ini, himpunan hasil positif dan himpunan hasil yang mungkin bukan pintu dan mobil nyata, melainkan pengaturan abstrak dari kambing dan mobil. Tiga hasil yang mungkin adalah tiga kemungkinan pengaturan dua kambing dan satu mobil di belakang tiga pintu. Dua hasil positif adalah dua kemungkinan pengaturan di mana tebakan pertama kontestan salah. Dalam masing-masing dari dua pengaturan ini, informasi yang diberikan oleh tuan rumah (salah satu dari dua pintu yang tersisa kosong) cukup bagi kontestan untuk menentukan pintu yang menyembunyikan mobil.

Singkatnya:

Kami memiliki kecenderungan untuk mencari pemetaan sederhana antara manifestasi fisik pilihan kami (pintu dan mobil) dan jumlah hasil yang mungkin dan hasil yang diinginkan dalam masalah probabilitas. Ini berfungsi dengan baik jika tidak ada informasi baru yang diberikan kepada kontestan. Namun, jika kontestan diberikan informasi lebih lanjut (mis. Salah satu pintu yang tidak Anda pilih tentu bukan mobil), pemetaan ini rusak dan pertanyaan yang tepat untuk ditanyakan ternyata lebih abstrak.

Saya menemukan bahwa orang menemukan solusi yang lebih intuitif jika Anda mengubahnya menjadi 100 pintu, tutup dulu, kedua, hingga 98 pintu. Demikian pula untuk 50 pintu, dll.

Untuk menjawab pertanyaan awal : Intuisi kita gagal karena narasi. Dengan mengaitkan cerita dalam urutan yang sama dengan naskah tv, kita menjadi bingung. Akan jauh lebih mudah jika kita memikirkan apa yang akan terjadi di muka. Kuis-master akan mengungkapkan seekor kambing, jadi kesempatan terbaik kami adalah memilih pintu dengan seekor kambing dan kemudian beralih. Alur ceritanya banyak menekankan pada kerugian yang disebabkan oleh tindakan kita dalam satu dari tiga peluang kita untuk memilih mobil.

Jawaban asli:

Tujuan kami adalah untuk menghilangkan kedua kambing. Kami melakukan ini dengan menandai satu kambing sendiri. Quizmaster kemudian dipaksa untuk memilih antara mengungkapkan mobil atau kambing lainnya. Mengungkap mobil itu keluar dari pertanyaan, sehingga kuis akan mengungkapkan dan menghilangkan satu kambing yang kita tidak tahu. Kami kemudian beralih ke pintu yang tersisa, sehingga menghilangkan kambing yang kami tandai dengan pilihan pertama kami, dan mendapatkan mobil.

Strategi ini hanya gagal jika kita tidak menandai kambing, tetapi mobil sebagai gantinya. Tapi itu tidak mungkin: ada dua kambing dan hanya satu mobil.

Jadi kita memiliki peluang 2 in 3 untuk memenangkan mobil.

Jawabannya bukan, "tentu saja YA!" Jawaban yang benar adalah, "Saya tidak tahu, bisakah Anda lebih spesifik?"

Satu-satunya alasan mengapa Anda berpikir itu benar, adalah karena Marliyn vos Savant mengatakan demikian. Jawaban orisinalnya untuk pertanyaan (meskipun pertanyaan itu sudah banyak diketahui sebelumnya) muncul di majalah Parade pada 9 September 1990 . dia menulis bahwa jawaban yang "benar" untuk pertanyaan ini adalah berganti pintu, karena berganti pintu memberi Anda kemungkinan lebih tinggi untuk memenangkan mobil (2/3 bukannya 1/3). Dia mendapat banyak tanggapan dari PhD Matematika dan orang-orang cerdas lainnya yang mengatakan dia salah (walaupun banyak dari mereka juga salah).

Misalkan Anda berada di acara permainan, dan Anda diberi pilihan tiga pintu. Di belakang satu pintu ada mobil, di belakang yang lain, kambing. Anda memilih pintu, katakan # 1, dan tuan rumah, yang tahu apa yang ada di balik pintu, membuka pintu lain, katakan # 3 , yang memiliki seekor kambing. Dia berkata kepada Anda, "Apakah Anda ingin memilih pintu # 2?" Apakah menguntungkan Anda untuk mengganti pintu pilihan Anda? - Craig F. Whitaker Columbia, Maryland

Saya telah menebalkan bagian penting dari pertanyaan logika ini. Apa yang ambigu dalam pernyataan itu adalah:

Apakah Monty Hall selalu membuka pintu? (Apa untungnya bagi Anda untuk beralih pintu jika dia hanya membuka pintu yang kalah ketika Anda memilih pintu yang menang? Jawab : Tidak)

Apakah Monty Hall selalu membuka pintu yang hilang ? (Path menetapkan pertanyaan yang ia tahu di mana mobil ini, dan ini khususnya saat ia menunjukkan kambing di belakang salah satu. Apa yang akan peluang Anda jika ia secara acak membuka pintu? Yaitu The Monty pertanyaan Jatuh atau apa jika kadang-kadang ia memilih untuk menunjukkan pemenang pintu .)

Apakah Monty Hall selalu membuka pintu yang tidak Anda pilih?

Dasar-dasar teka-teki logika ini telah diulang lebih dari satu kali, dan sering kali mereka tidak dirinci dengan cukup baik untuk memberikan jawaban yang "benar" pada 2/3.

Seorang penjaga toko mengatakan dia memiliki dua bayi kumbang baru untuk ditunjukkan kepada Anda, tetapi dia tidak tahu apakah mereka laki-laki, perempuan, atau sepasang. Anda memberi tahu dia bahwa Anda hanya menginginkan laki-laki, dan dia menelepon orang yang memberi mereka mandi. "Apakah setidaknya satu laki-laki?" dia bertanya padanya. "Iya nih!" dia memberitahumu sambil tersenyum. Berapa probabilitas bahwa yang lain adalah laki-laki? - Stephen I. Geller, Pasadena, California

Apakah orang itu melihat kedua anjing itu sebelum menjawab "Ya," atau apakah dia mengambil seekor anjing acak dan mendapati bahwa itu adalah jantan dan kemudian menjawab "Ya."

Katakan bahwa seorang wanita dan seorang pria (yang tidak terkait) masing-masing memiliki dua anak. Kita tahu bahwa setidaknya salah satu dari anak-anak perempuan adalah laki-laki dan bahwa anak laki-laki tertua adalah laki-laki. Bisakah Anda jelaskan mengapa peluang wanita itu memiliki dua anak laki-laki tidak sama dengan peluang pria itu memiliki dua anak laki-laki? Guru aljabar saya bersikeras bahwa kemungkinannya lebih besar bahwa pria itu memiliki dua anak laki-laki, tetapi saya pikir kemungkinannya sama. Apa yang kamu pikirkan?

Bagaimana kita tahu bahwa perempuan memiliki setidaknya satu laki-laki? Apakah kita melihat pagar suatu hari, dan melihat salah satunya? ( Jawab: 50%, sama dengan pria )

Pertanyaan itu bahkan telah menjebak Jeff Atwood kita sendiri . Dia mengajukan pertanyaan ini :

Katakanlah, secara hipotesis, Anda bertemu seseorang yang memberi tahu Anda bahwa mereka memiliki dua anak, dan salah satunya adalah seorang gadis. Bagaimana kemungkinan orang itu memiliki anak laki-laki dan perempuan?

Jeff melanjutkan dengan berpendapat bahwa itu adalah pertanyaan sederhana, diajukan dalam bahasa yang sederhana dan mengesampingkan keberatan dari beberapa orang yang mengatakan bahwa pertanyaan itu tidak benar jika Anda ingin jawabannya 2/3.

Lebih penting lagi, itulah sebabnya wanita itu menawarkan informasi secara sukarela. Jika dia berbicara seperti orang normal , ketika seseorang mengatakan "salah satu dari mereka adalah perempuan," yang lain pasti laki-laki. Jika kita berasumsi ini adalah pertanyaan logis, dengan maksud menjebak kita, kita harus bertanya bahwa pertanyaannya lebih jelas. Apakah wanita itu mengajukan sukarela jenis kelamin salah satu anaknya, dipilih secara acak, atau dia berbicara tentang himpunan dua anaknya.

Jelas bahwa pertanyaannya tidak tepat, tetapi orang tidak menyadarinya. Ketika pertanyaan serupa diajukan, di mana peluangnya jauh lebih besar untuk beralih, orang akan menyadari bahwa itu pasti tipuan (dan mempertanyakan motif tuan rumah), atau mendapatkan jawaban yang "benar" untuk beralih seperti dalam pertanyaan seratus pintu . Ini lebih lanjut didukung oleh fakta bahwa dokter ketika ditanya tentang kemungkinan seorang wanita memiliki penyakit tertentu setelah tes positif (mereka perlu menentukan apakah dia memiliki penyakit, atau itu adalah positif palsu), mereka lebih baik tiba di jawaban yang benar, tergantung pada bagaimana pertanyaan itu diungkapkan. Ada TED Talk yang luar biasa yang setengah jalan membahas kasus ini.

Dia menggambarkan probabilitas yang terkait dengan tes kanker payudara: 1% wanita yang diuji memiliki penyakit, dan tes ini 90 persen akurat, dengan tingkat positif palsu 9%. Dengan semua informasi itu, apa yang Anda katakan kepada seorang wanita yang dites positif tentang kemungkinan mereka menderita penyakit itu?

Jika ini membantu, berikut pertanyaan yang sama dengan ungkapan lain:

100 dari 10.000 wanita pada usia empat puluh tahun yang berpartisipasi dalam skrining rutin menderita kanker payudara. 90 dari setiap 100 wanita dengan kanker payudara akan mendapatkan mamografi positif. 891 dari 9.900 wanita tanpa kanker payudara juga akan mendapatkan mamografi positif. Jika 10.000 wanita dalam kelompok usia ini menjalani pemeriksaan rutin, kira-kira berapa persen wanita dengan mamografi positif yang benar-benar menderita kanker payudara?

Saya akan memodifikasi apa yang dikatakan Graham Cookson sedikit. Saya pikir hal yang sangat penting yang diabaikan orang bukanlah pilihan pertama mereka, tetapi pilihan tuan rumah , dan asumsi bahwa tuan rumah memastikan untuk tidak mengungkapkan mobil.

Bahkan, ketika saya membahas masalah ini di kelas, saya menyajikannya sebagian sebagai studi kasus untuk memperjelas asumsi Anda. Adalah keuntungan Anda untuk beralih jika tuan rumah memastikan hanya untuk mengungkapkan seekor kambing . Di sisi lain, jika tuan rumah mengambil secara acak antara pintu 2 dan 3, dan kebetulan mengungkapkan seekor kambing, maka tidak ada keuntungan untuk beralih.

(Tentu saja, hasil praktisnya adalah bahwa jika Anda tidak tahu strategi tuan rumah, Anda harus beralih pula.)

Ini tidak memberikan aturan umum, tetapi saya pikir salah satu alasan mengapa itu adalah teka-teki yang menantang adalah bahwa intuisi kita tidak menangani probabilitas bersyarat dengan sangat baik. Ada banyak teka-teki probabilitas lain yang bermain pada fenomena yang sama . Karena saya menautkan ke blog saya, inilah posting khusus di Monty Hall .

Saya setuju bahwa siswa menemukan masalah ini sangat sulit. Tanggapan khas yang saya dapatkan adalah bahwa setelah Anda ditunjukkan seekor kambing ada peluang 50:50 untuk mendapatkan mobil jadi mengapa itu penting? Siswa tampaknya menceraikan pilihan pertama mereka dari keputusan yang sekarang mereka diminta untuk membuat yaitu mereka melihat dua tindakan ini sebagai independen. Saya kemudian mengingatkan mereka bahwa mereka dua kali lebih mungkin memilih pintu yang salah karena itulah mengapa mereka lebih baik beralih.

Dalam beberapa tahun terakhir saya benar-benar mulai memainkan permainan dalam gelas dan itu membantu siswa untuk memahami masalah dengan lebih baik. Saya menggunakan tiga gulungan kertas karton "middles" dan dua diantaranya adalah klip kertas dan yang ketiga adalah uang kertas £ 5.

Saya percaya bahwa ini lebih merupakan masalah logika daripada kesulitan dengan probabilitas yang membuat solusi Monty Hall mengejutkan. Perhatikan uraian masalah berikut.

Anda memutuskan di rumah, sebelum pergi ke acara TV, jika Anda akan beralih pintu atau tetap dengan pilihan pertama Anda, apa pun yang terjadi selama pertunjukan. Artinya, Anda memilih antara strategi "Tetap" atau "Beralih" sebelum Anda bermain game. Tidak ada ketidakpastian yang terlibat dalam pilihan strategi ini. Belum perlu memperkenalkan probabilitas.

Mari kita pahami perbedaan antara kedua strategi. Sekali lagi, kita tidak akan berbicara tentang probabilitas.

Di bawah strategi "Tetap", Anda menang jika dan hanya jika pilihan pertama Anda adalah pintu "baik". Di sisi lain, di bawah "Switch" strategi, Anda menang jika dan hanya jika pilihan pertama Anda adalah pintu "buruk". Tolong, pikirkan baik-baik tentang dua kasus ini sebentar, khususnya yang kedua. Sekali lagi, perhatikan bahwa kami belum membicarakan probabilitas. Itu hanya masalah logika.

$1/3$$1/3$$2/3$

PS Pada tahun 1990, Prof. Larry Denenberg mengirim surat ke pembawa acara TV Monty Hall meminta izinnya untuk digunakan dalam buku namanya dalam deskripsi masalah tiga pintu yang terkenal.

Ini adalah gambar bagian dari balasan Monty untuk surat itu, di mana kita bisa membaca:

"Seperti yang saya lihat, itu tidak akan ada bedanya setelah pemain memilih Pintu A, dan telah ditunjukkan Pintu C - mengapa ia kemudian mencoba untuk beralih ke Pintu B?"

Oleh karena itu, kita dapat dengan aman menyimpulkan bahwa Monty Hall (pria itu sendiri) tidak mengerti masalah Monty Hall!

Orang tidak perlu tahu tentang probabilitas bersyarat atau Teorema Bayes untuk mengetahui bahwa yang terbaik adalah mengganti jawaban Anda.

Misalkan Anda awalnya memilih Pintu 1. Kemudian probabilitas Pintu 1 menjadi pemenang adalah 1/3 dan probabilitas Pintu 2 atau 3 menjadi pemenang adalah 2/3. Jika Pintu 2 terbukti kalah oleh pilihan tuan rumah maka kemungkinan 2 atau 3 adalah pemenang masih 2/3. Tetapi karena Pintu 2 adalah pecundang, Pintu 3 harus memiliki probabilitas 2/3 untuk menjadi pemenang.

Pelajaran? Merumuskan kembali pertanyaan, dan mencari strategi alih-alih melihat situasi. Putar benda itu di kepalanya, bekerja mundur ...

Orang-orang pada umumnya buruk dalam bekerja dengan kesempatan. Hewan biasanya memberi harga yang lebih baik, begitu mereka menemukan bahwa A atau B rata - rata memberikan pembayaran yang lebih tinggi ; mereka tetap pada pilihan dengan rata-rata yang lebih baik. (tidak memiliki referensi yang siap - maaf.)

Hal pertama yang orang tergoda untuk lakukan ketika melihat distribusi 80/20, adalah menyebarkan pilihan mereka agar sesuai dengan pembayaran: 80% pada pilihan yang lebih baik, dan 20% pada yang lain. Ini akan menghasilkan pembayaran 68%.

Sekali lagi, ada skenario yang valid bagi orang untuk memilih strategi seperti itu: Jika peluang bergeser dari waktu ke waktu, ada alasan bagus untuk mengirim penyelidikan dan mencoba pilihan dengan peluang keberhasilan yang lebih rendah.

Bagian penting dari statistik matematika sebenarnya mempelajari perilaku proses untuk menentukan apakah mereka adalah acak atau tidak.

Saya pikir ada beberapa hal yang terjadi.

Untuk satu, pengaturan menyiratkan lebih banyak informasi kemudian solusi memperhitungkan. Itu adalah acara permainan, dan tuan rumah bertanya kepada kami apakah kami ingin beralih.

Jika Anda menganggap pembawa acara tidak ingin pertunjukan mengeluarkan uang ekstra (yang masuk akal), maka Anda akan menganggap dia akan mencoba meyakinkan Anda untuk berubah jika Anda memiliki pintu yang benar.

Ini adalah cara yang masuk akal melihat masalah yang dapat membingungkan orang, namun saya pikir masalah utama adalah tidak memahami bagaimana pilihan baru berbeda dari yang pertama (yang lebih jelas dalam kasus 100 pintu).

Saya akan mengutip artikel hebat ini di lesswrong:

Hipotesis yang mungkin adalah Mobil di Pintu 1, Mobil di Pintu 2, dan Mobil di Pintu 3; sebelum permainan dimulai, tidak ada alasan untuk percaya bahwa salah satu dari tiga pintu lebih mungkin daripada yang lain untuk mengandung mobil, dan masing-masing hipotesis ini memiliki probabilitas sebelumnya 1/3.

Permainan dimulai dengan pemilihan pintu. Itu sendiri bukan bukti tentang di mana mobil itu berada, tentu saja - kita mengasumsikan kita tidak memiliki informasi khusus tentang itu, selain itu ada di belakang salah satu pintu (itulah inti permainan!). Namun, begitu kita selesai melakukannya, kita kemudian akan memiliki kesempatan untuk "menjalankan tes" untuk mendapatkan beberapa "data eksperimental": tuan rumah akan melakukan tugasnya membuka pintu yang dijamin mengandung kambing. Kami akan mewakili hasil Host Membuka Pintu 1 dengan segitiga, hasil Host Membuka Pintu 2 dengan persegi, dan hasilnya Host Membuka Pintu 3 oleh segi lima - sehingga mengukir ruang hipotesis kami lebih halus ke dalam kemungkinan seperti "Mobil di Pintu 1 dan Host Membuka Pintu 2 "," Mobil di Pintu 1 dan Host Membuka Pintu 3 ", dll:

Sebelum kita membuat pilihan pintu pertama, tuan rumah kemungkinan besar akan membuka salah satu pintu yang mengandung kambing. Dengan demikian, pada awal permainan, probabilitas setiap hipotesis dari bentuk "Mobil di Pintu X dan Host Membuka Pintu Y" memiliki probabilitas 1/6, seperti yang ditunjukkan. Sejauh ini baik; semuanya masih sepenuhnya benar.

Sekarang kita memilih pintu; katakanlah kita memilih Pintu 2. Tuan rumah kemudian membuka Pintu 1 atau Pintu 3, untuk mengungkapkan seekor kambing. Misalkan dia membuka Pintu 1; diagram kami sekarang terlihat seperti ini:

Tapi ini menunjukkan probabilitas mobil yang sama berada di belakang Pintu 2 dan Pintu 3!

Apakah Anda menangkap kesalahan itu?

Ini dia, bagaimana intuisi Anda gagal.

Lihat solusi yang benar di artikel lengkap . Itu termasuk :

• Penjelasan teorema Bayes
• Pendekatan Monty Hall yang salah
• Pendekatan yang tepat dari Monty Hall
• Lebih banyak masalah ...

Dalam pengalaman saya, itu adalah fakta bahwa orang tidak secara otomatis melompat dari kata-kata ke matematika. Biasanya, ketika saya pertama kali menyajikannya, orang-orang salah. Namun, saya kemudian mengeluarkan setumpuk 52 kartu dan minta mereka memilih satu. Saya kemudian mengungkapkan lima puluh kartu dan bertanya apakah mereka ingin beralih. Kebanyakan orang kemudian mendapatkannya. Secara intuitif mereka tahu bahwa mereka mungkin mendapat kartu yang salah ketika ada 52 kartu dan ketika mereka melihat 50 kartu terbalik, keputusannya cukup sederhana. Saya tidak berpikir itu terlalu paradoks sebagai kecenderungan untuk mematikan pikiran dalam masalah matematika.