Proses apa yang dapat menghasilkan data atau parameter Laplace-distributed (eksponensial ganda)?

16

Banyak distribusi memiliki "mitos asal", atau contoh proses fisik yang mereka gambarkan dengan baik:

Anda bisa mendapatkan data yang terdistribusi normal dari sejumlah kesalahan yang tidak berkorelasi melalui Teorema Limit Pusat
Anda bisa mendapatkan data yang didistribusikan secara biner dari flip koin independen, atau variabel yang didistribusikan Poisson dari batas proses itu
Anda bisa mendapatkan data yang didistribusikan secara eksponensial dari waktu tunggu di bawah tingkat kerusakan konstan.

Dan seterusnya.

Tetapi bagaimana dengan distribusi Laplace ? Ini berguna untuk regularisasi L1 dan regresi LAD , tetapi sulit bagi saya untuk memikirkan situasi di mana orang harus benar-benar berharap untuk melihatnya di alam. Difusi adalah Gaussian, dan semua contoh yang dapat saya pikirkan dengan distribusi eksponensial (misalnya waktu tunggu) melibatkan nilai-nilai non-negatif.

distributions laplace-distribution

— David J. Harris
sumber

2

Terkait: stats.stackexchange.com/questions/71126/… .

— StubbornAtom

14

Di bagian bawah halaman Wikipedia yang Anda tautkan adalah beberapa contoh:

Jika dan adalah distribusi eksponensial IID, memiliki distribusi Laplace. $X_1$ $X_2$ $X_1 - X_2$
Jika adalah distribusi normal standar IID, memiliki distribusi Laplace standar. Jadi, penentu matriks acak dengan entri normal standar IID memiliki distribusi Laplace. $X_1, X_2, X_3, X_4$ $X_1X_4 - X_2X_3$ $2\times 2$ $\begin{pmatrix}X_1 & X_2 \\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$
Jika adalah seragam IID pada , maka $X_1, X_2$ $[0,1]$ memiliki distribusi Laplace standar. $\log \frac{X_1}{X_2}$

— Douglas Zare
sumber

16

+1 Mungkin perlu diperhatikan bahwa ketiga contoh benar-benar sama: # 2 dapat ditulis ulang sebagai

, perbedaan skala dari dua skala

((X_{1} + X_{4})^{2} + (X_{2} + X_{3})^{2} - [(X_{1} - X_{4})^{2} + (X_{2} - X_{3})^{2}]) / 4

$((X_1+X_4)^2 + (X_2+X_3)^2 - [(X_1-X_4)^2 + (X_2-X_3)^2])/4$

χ^{2} (2)

$\chi^2(2)$ Distribusi (Eksponensial), dan # 3 adalah perbedaan dari dua distribusi Eksponensial karena

adalah Eksponensial.

\log (X_{i})

$\log(X_i)$

— whuber

2

@whuber: Terima kasih atas penjelasan itu mengapa determinannya sama dengan yang lainnya! Saya terkejut melihatnya, karena saya akan menduga bahwa kepadatan penentu akan bervariasi dengan lancar, seperti halnya di mana-mana kecuali

.

0

$0$

— Douglas Zare

2

Jadi saya mencoba memikirkan "cerita" yang cocok dengan salah satu contoh di wikipedia. Katakanlah saya bermain pinball dengan saudara saya yang sama buruknya. Setiap pertandingan kami memainkan satu bola masing-masing. Kira-kira setiap momen yang diberikan ada peluang yang sama bahwa saya (atau dia) akan kehilangan bola dan skor pada dasarnya adalah fungsi linier untuk berapa lama saya bermain. Kemudian skor saya (dan skornya) dapat dimodelkan dengan distribusi eksponensial dan perbedaan antara saya dan skor saudara saya setiap putaran akan didistribusikan secara Laplace. Semacam pekerjaan?

— Rasmus Bååth

2

$N_p$ $X_N = \sum_i^{N_p} X_i$ $N_p$ $p$ $X_i$ $\mu$ $v$

$p\to 0$

$Y:= \lim_{p\to 0} \sqrt{p} (X_N - N_p\mu) = Laplace(0,\sqrt{\frac{v}{2}})$

$Laplace(a,b)$ $\phi(x) = \frac{1}{2b} \exp\left( - \frac{|x-a|}{2b}\right)$

BV Gnedenko, Batasi teorema untuk Jumlah jumlah acak dari variabel acak independen positif, Proc. 6th Berkeley Syposium Math. Stat. Probabil. 2, 537-549, 1970.

— danp
sumber