Identifikasi masalah parameter

Saya selalu berjuang untuk mendapatkan esensi identifikasi sejati dalam ekonometrik. Saya tahu bahwa kami menyatakan bahwa parameter (katakanlah$\hat{\theta}$) dapat diidentifikasi jika hanya dengan melihat distribusi (bersama) kita dapat menyimpulkan nilai parameter. Dalam kasus sederhana$y=b_1X+u$dimana $E[u]=0,E[u|x]=0$ kita bisa nyatakan itu $b_1$ diidentifikasi jika kita tahu variansnya $Var(\hat{b})>0$. Tetapi bagaimana jika$E[u|X]=a$ dimana $a$itu parameter yang tidak dikenal? Bisa$a$ dan $b_1$ diidentifikasi?

Jika saya memperluas model ke $Y=b_0+b_1X+b_2XD=u$ dimana $D\in\{0,1\}$ dan $E[u|X,D]=0$, untuk menunjukkan itu $b_1,b_2,b_3$diidentifikasi, apakah saya hanya perlu menyatakan kembali bahwa varians untuk ketiga parameter lebih besar dari nol?

Saya menghargai semua bantuan dalam menjernihkan pikiran saya tentang identifikasi.

Pertama-tama mari kita mendefinisikan objek berikut: Dalam model statistik $M$ yang digunakan untuk memodelkan $Y$ sebagai fungsi dari $X$, Ada $p$ parameter dilambangkan dengan vektor $\theta$. Parameter ini diperbolehkan bervariasi di dalam ruang parameter$\Theta \subset \mathbb{R^p}$. Kami tidak tertarik pada estimasi semua parameter ini, tetapi hanya sebagian saja, katakan saja$q \leq p$ dari parameter yang kami tunjukkan $\theta^0$ dan itu bervariasi dalam ruang parameter $\Theta^0 \subset \mathbb{R^q}$. Dalam model kami$M$ variabel $X$ dan parameternya $\theta$ sekarang akan dipetakan seperti untuk menjelaskan $Y$. Pemetaan ini didefinisikan oleh$M$ dan parameternya.

Dalam pengaturan ini, pengidentifikasian mengatakan sesuatu tentang Kesetaraan Observasional . Secara khusus, jika parameter$\theta^0$ dapat diidentifikasi wrt $M$ maka itu akan menahannya $\nexists \theta^1 \in \Theta^0: \theta^1 \neq \theta^0, M(\theta^0) = M(\theta^1)$. Dengan kata lain, tidak ada vektor parameter yang berbeda$\theta^1$ yang akan menginduksi proses menghasilkan data yang sama, mengingat spesifikasi model kami $M$. Untuk membuat konsep-konsep ini lebih masuk akal, saya memberikan dua contoh.

Contoh 1 : Tentukan untuk$\theta = (a,b)$; $X\sim N(\mu, \sigma^2I_{n}); \varepsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_{n})$ model statistik sederhana $M$:

$$\begin{align} Y = a+Xb+\varepsilon \end{align}$$ dan anggap itu $(a,b) \in \mathbb{R^2}$ (begitu $\Theta = \mathbb{R^2}$). Jelas bahwa apakah$\theta^0 = (a,b)$ atau $\theta^0 = a$, itu akan selalu berlaku $\theta^0$ dapat diidentifikasi: Proses menghasilkan $Y$ dari $X$ mempunyai sebuah $1:1$ hubungan dengan parameter $a$ dan $b$. Pemasangan$(a,b)$, tidak mungkin menemukan tuple kedua di $\mathbb{R}$ menggambarkan Proses Pembuatan Data yang sama.

Contoh 2 : Tentukan untuk$\theta = (a,b,c)$; $X\sim N(\mu, \sigma^2I_{n}); \varepsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_{n})$ model statistik yang lebih rumit $M'$:

$$\begin{align} Y = a+X(\frac{b}{c})+\varepsilon \end{align}$$ dan anggap itu $(a,b) \in \mathbb{R^2}$ dan $c \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ (begitu $\Theta = \mathbb{R^3}\setminus\{(l,m,0)| (l,m) \in \mathbb{R^2}\}$). Sementara untuk$\theta^0$, ini akan menjadi model statistik yang dapat diidentifikasi, ini tidak berlaku jika seseorang memasukkan parameter lain (yaitu, $b$ atau $c$). Mengapa? Karena untuk setiap pasangan$(b,c)$, ada banyak pasangan lain yang tak terhingga dalam set $B:=\{(x,y)|(x/y) = (b/c), (x,y)\in\mathbb{R}^2\}$. Solusi yang jelas untuk masalah dalam hal ini adalah memperkenalkan parameter baru$d = b/c$mengganti fraksi untuk mengidentifikasi model. Namun, orang mungkin tertarik$b$ dan $c$sebagai parameter yang terpisah untuk alasan teoretis - parameter dapat sesuai dengan parameter yang menarik dalam pengertian teori (ekonomi). (Misalnya,$b$ bisa menjadi 'kecenderungan untuk mengkonsumsi' dan $c$bisa jadi 'kepercayaan diri', dan Anda mungkin ingin memperkirakan dua kuantitas ini dari model regresi Anda. Sayangnya, ini tidak mungkin dilakukan.)