Apa artinya mengatakan itu

Pertanyaan latihan diajukan

Misalkan menjadi memiliki distribusi Normal umum dengan . Hitung koefisien ketergantungan ekor atas untuk semua .$X_1, X_2$$N(0,1)$$\operatorname{Corr}(X_1, X_2) = \rho$$\rho \in [-1, 1]$

Apa artinya dengan mengatakan bahwa mereka memiliki distribusi normal "umum"?

Pikiran pertama saya adalah bahwa keduanya berarti dan adalah variabel terdistribusi normal univariat . Namun, jika itu benar, maka pertanyaannya tidak masuk akal. Ketergantungan ekor tidak dapat dihitung.$X_1$$X_2$$N(0,1)$

Jadi saya dibiarkan percaya bahwa dengan distribusi normal "umum", itu berarti distribusi normal bivariat?

Itu berarti dua hal benar.

Pertama:

$$P(X_1 < t) = P(X_2 < t)$$

untuk semua nyata nomor (yaitu, dan memiliki distribusi yang sama, sering singkatan equidistributed digunakan untuk menggambarkan kondisi ini).$t$$X_1$$X_2$

Kedua:

$$P(X_1 < t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^t e^{\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} \,\text{d}x$$

untuk beberapa angka tetap dan (yaitu distribusi (*) adalah distribusi normal).$\mu$$\sigma$$X_1$

Ini tidak menyiratkan bahwa adalah normal bersama tanpa asumsi lebih lanjut. Jika itu dimaksudkan, bukan itu yang sebenarnya ditulis oleh penulis.$(X_1, X_2)$

(*) Mengingat kondisi pertama, ini menyiratkan bahwa distribusi juga merupakan distribusi normal.$X_2$

Saya pikir "umum" di sini hanya berarti distribusi marjinal $\text{N}(0,1)$adalah umum untuk kedua variabel acak (yaitu, mereka memiliki distribusi marginal yang sama). Meskipun secara teknis ini tidak cukup untuk memberikan distribusi normal bivariat, saya pikir penulis mungkin bermaksud bentuk itu:

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \sim \text{N} \Big( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{bmatrix} \Big).$$

Spesifikasi itu akan menghasilkan distribusi marjinal umum $X \sim \text{N}(0,1)$ dan $Y \sim \text{N}(0,1)$. Jika saya jadi Anda, saya akan menyarankan mencatat teknis ini, dan kemudian melanjutkan atas dasar bahwa variabel acak adalah bivariat normal. Anda mungkin ingin mencatat masalah ini lagi sebagai peringatan setelah Anda memberikan jawaban.

Latihan ini diutarakan dengan buruk. Saya menduga apa yang dimaksud adalah bahwa dua variabel acak secara bersama - sama normal dan memiliki distribusi yang sama. Jika keduanya secara normal normal tetapi tidak secara bersama-sama normal, maka Anda tidak memiliki informasi yang cukup untuk menjawab pertanyaan. Jika kecurigaan saya benar, maka latihan harus mengatakan mereka bersama-sama normal.

Untuk memiliki distribusi "umum" berarti mereka berdua memiliki distribusi yang sama . Jadi:

$$\begin{align} \require{cancel} & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \xcancel{\operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu_1 \\ \mu_2 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \rho \sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{array} \right] \right)} & & \longleftarrow \text{ not common} \\[10pt] & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu \\ \mu \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma^2 & \rho \sigma^2 \\ \rho\sigma^2 & \sigma^2 \end{array} \right] \right) & & \longleftarrow\text{ common} \end{align}$$ Dalam kasus kedua yang kita miliki $X_i\sim\operatorname N(\mu,\sigma^2)$ untuk $i=1,2,$ dengan demikian masing-masing terdistribusi normal dan mereka memiliki distribusi normal yang sama.