Kovarian dari suatu variabel dan kombinasi linear dari variabel lain

Misalkan menjadi variabel deret waktu dan kovarian antara dua pasangan ini diketahui. $X,A,B,C,D$

Misalkan kita ingin mencari , di mana adalah konstanta. $\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$ $a,b,c,d$

Apakah ada cara untuk melakukan ini tanpa memperluas ? $E[(X-E[X])(aA+......)]$

correlation variance covariance

Apakah ada cara untuk melakukan ini tanpa memperluas ? $E[(X-E[X])(aA+......)]$

Iya. Ada sifat kovarians yang disebut bilinearitas yaitu kovarians kombinasi linear

c Hai v (Sebuah X + b Y, c W + d Z)

${\rm cov}(aX + bY, cW + dZ)$

(di mana adalah konstanta dan adalah variabel acak) dapat didekomposisi sebagai $a,b,c,d$ $X,Y,W,Z$

Sebuah c \cdot c Hai v (X, W) + Sebuah d \cdot c Hai v (X, Z) + b c \cdot c Hai v (Y, W) + b d \cdot c Hai v (Y, Z)

$ac\cdot {\rm cov}(X,W) + ad\cdot {\rm cov}(X,Z) + bc\cdot {\rm cov}(Y,W) + bd\cdot {\rm cov}(Y,Z)$

Dalam contoh yang Anda berikan, Anda dapat menggunakan properti ini untuk menulis sebagai $\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$

Sebuah c Hai v (X, SEBUAH) + b c Hai v (X, B) + c c Hai v (X, C) + d c Hai v (X, D)

$a\ {\rm cov}(X, A) +b\ {\rm cov}(X, B) +c\ {\rm cov}(X, C) +d\ {\rm cov}(X, D)$

— Makro
sumber

Jika saya memiliki , bisakah saya masih mengekspresikannya dengan cara yang sama?

c o v (X, a A + b X)

$cov(X,aA + bX)$

@ Harokitty, ya. Ingatlah bahwa , Anda dapat menerapkan properti ini untuk menemukan bahwa .

c o v (X, X) = v a r (X)

${\rm cov}(X,X) = {\rm var}(X)$

c o v (X, a A + b X) = a c o v (X, A) + b v a r (X)

${\rm cov}(X,aA+bX) = a \ {\rm cov}(X,A) + b \ {\rm var}(X)$

— Makro