Bagaimana cara menguji apakah ?

Misalkan saya memiliki tiga grup independen, dengan mean masing-masing. $\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$

Bagaimana saya bisa menguji apakah atau tidak menggunakan sampel dari setiap grup? $\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$ $n_1,~n_2,~n_3$

Saya ingin mengetahui beberapa metodologi umum, bukan perhitungan terperinci. Saya tidak tahu cara menetapkan hipotesis saya dan . $H_0$ $H_1$

hypothesis-testing multiple-comparisons isotonic

— 456 123
sumber

Ini adalah kasus inferensi statistik pesanan terbatas . Ada buku tentang topik itu .

— kjetil b halvorsen

Ada juga buku lama yang ditulis oleh Barlow, Bartholemew, Bremner, dan Brunk Statistical inference di bawah batasan pesanan (1973) (walaupun ada beberapa perkembangan sejak saat itu); sejauh tes nonparametrik, ada tes Jonckheere-Terpstra (mis. lihat Conover) dan salah satu tes Match (coba buku oleh Neave dan Worthington). Anda biasanya akan menulis nol kesetaraan dan alternatif yang dipesan.

— Glen_b -Reinstate Monica

Q serupa dengan jawaban

— kjetil b halvorsen

Di sini orang harus mengatakan, bukan bahwa seseorang memiliki sampel dari grup tetapi yang memiliki sampel ukuran dari grup

n_{i}

$n_i$

i,

$i,$

n_{i}

$n_i$

i .

$i. \qquad$

— Michael Hardy

Jawaban:

Dalam statistik Anda tidak dapat menguji apakah "X benar atau tidak". Anda hanya dapat mencoba menemukan bukti bahwa hipotesis nol salah.

Katakanlah hipotesis nol Anda adalah Mari kita juga berasumsi bahwa Anda memiliki cara untuk memperkirakan vektor . Untuk menjaga hal-hal cukup asumsikan bahwa Anda memiliki estimator mana adalah matriks kovariat. Kita dapat menulis ulang hipotesis nol sebagai mana Ini menunjukkan bahwa hipotesis nol Anda dapat dinyatakan sebagai batasan ketimpangan pada vektor . Estimator alami diberikan oleh

H_{0}^{1} : μ_{1} < μ_{2} < μ_{3} .

$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$

μ = (μ_{1}, μ_{2}, μ_{3})^{'}

$\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$

x \sim N (μ, Σ),

$x \sim N(\mu, \Sigma),$

Σ

$\Sigma$

3 \times 3

$3 \times 3$

A μ < 0,

$A \mu < 0,$

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}] .

$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$

A μ

$A \mu$

A μ

$A\mu$

A x \sim N (A μ, A Σ A^{'}) .

$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$ Anda sekarang dapat menggunakan kerangka kerja untuk menguji kendala ketimpangan pada vektor normal yang diberikan dalam:

Kudo, Akio (1963). "Sebuah analog multivarian dari tes satu sisi". Dalam: Biometrika 50.3 / 4, hlm. 403-418.

Tes ini juga akan berfungsi jika asumsi normalitas hanya berlaku kira-kira ("tanpa gejala"). Misalnya, ini akan berhasil jika Anda dapat mengambil sampel berarti dari kelompok. Jika Anda menggambar sampel ukuran dan jika Anda dapat menggambar secara independen dari grup maka adalah matriks diagonal dengan diagonal di mana adalah varians dalam kelompok . Dalam suatu aplikasi, Anda dapat menggunakan varians sampel alih-alih varians populasi yang tidak diketahui tanpa mengubah properti tes. $n_1, n_2, n_3$ $\Sigma$

(σ_{1}^{2} / n_{1}, σ_{2}^{2} / n_{2}, σ_{3}^{2} / n_{3})^{'},

$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$

σ_{k}^{2}

$\sigma_k^2$

k = 1, 2, 3

$k = 1, 2, 3$

Jika di sisi lain hipotesis alternatif Anda adalah maka hipotesis nol Anda menjadi Ini tidak terlalu operasional. Ingatlah bahwa hipotesis alternatif baru kami dapat ditulis sebagai sehingga Saya tidak tahu apakah ada tes khusus untuk ini, tetapi Anda pasti dapat mencoba beberapa strategi berdasarkan pengujian berturut-turut. Ingatlah bahwa Anda mencoba menemukan bukti yang menentang nol. Jadi, pertama-tama Anda dapat menguji dan kemudian Jika Anda menolak kedua kali maka Anda telah menemukan bukti bahwa

H_{1}^{2} : μ_{1} < μ_{2} < μ_{3}

$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$

H_{0}^{2} : NOT H_{1} .

$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$

H_{1} : A μ < 0

$H_1: A\mu <0$

H_{0}^{2} : there exists a k = 1, 2 such that (A μ)_{k} \geq 0 .

$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$

H_{0, 1}^{2} : (A μ)_{1} \geq 0.

$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$

H_{0, 2}^{2} : (A μ)_{2} \geq 0.

$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$

H_{0}

$H_0$ salah dan Anda menolak . Jika tidak, maka Anda tidak menolak . Karena Anda menguji beberapa kali, Anda harus menyesuaikan level nominal subtest. Anda dapat menggunakan koreksi Bonferroni atau mencari koreksi yang tepat (karena Anda tahu ).

H_{0}

$H_0$

H_{0}

$H_0$

Σ

$\Sigma$

Cara lain membangun tes untuk adalah untuk mencatat bahwa Ini menyiratkan menggunakan sebagai statistik uji. Tes akan memiliki distribusi non-standar di bawah nol, tetapi nilai kritis yang sesuai masih cukup mudah untuk dihitung. $H_0^2$

H_{0}^{2} : max_{k = 1, 2} (A μ)_{k} \geq 0.

$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$

max A x

$\max Ax$

— Andreas Dzemski
sumber

Cukup adil, saya mengedit jawaban saya.

— Andreas Dzemski

Jawaban bagus (+1). Hanya untuk memperbaikinya sedikit lagi, bolehkah saya merekomendasikan mengganti dengan sehingga notasi mencerminkan niat bahwa objek ini adalah penaksir untuk .

x

$x$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

μ

$\mu$

— Ben - Reinstate Monica

Jawaban yang diberikan oleh @ andreas-dzemski benar hanya jika kita tahu bahwa data terdistribusi secara normal.

Jika kita tidak tahu distribusinya, saya yakin akan lebih baik menjalankan tes nonparametrik. Dalam hal ini, yang paling sederhana tampaknya menjalankan tes permutasi. Ini adalah buku tentang topik ini dan ini adalah penjelasan online yang bagus. Di bawah ini saya menyertakan kode R untuk menghitung tes ini.

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))

— pengecut yg berlagak
sumber