Gambarkan bilangan bulat secara independen & seragam secara acak dari 1 ke

Saya ingin menggambar bilangan bulat dari 1 ke beberapa tertentu dengan menggulirkan sejumlah dadu enam sisi yang adil (d6). Jawaban yang baik akan menjelaskan mengapa metodenya menghasilkan bilangan bulat seragam dan independen .$N$

Sebagai contoh ilustrasi, akan sangat membantu untuk menjelaskan bagaimana solusi bekerja untuk kasus .$N=150$

Lebih jauh, saya berharap agar prosedur ini seefisien mungkin: gulirkan rata-rata paling sedikit d6 untuk setiap angka yang dihasilkan.

Konversi dari senary ke desimal diizinkan.

---

Pertanyaan ini terinspirasi oleh utas Meta ini .

Himpunan $\Omega(d,n)$ dari hasil yang dapat diidentifikasi berbeda dalam $n$ gulungan independen dadu dengan $d=6$ wajah memiliki elemen $d^n$ . Ketika die adalah adil, itu berarti setiap hasil dari satu roll memiliki probabilitas $1/d$ dan independensi berarti masing-masing hasil karena itu akan memiliki probabilitas $(1/d)^n:$ yaitu, mereka memiliki distribusi yang seragam $\mathbb{P}_{d,n}.$

Misalkan Anda telah merancang beberapa prosedur $t$ yang menentukan $m$ hasil dari die $c (=150)$ - yaitu, elemen $\Omega(c,m)$ atau yang lain melaporkan kegagalan (yang berarti Anda harus mengulangi untuk mendapatkan hasil). Itu adalah,

$$t:\Omega(d,n)\to\Omega(c,m)\cup\{\text{Failure}\}.$$

Misalkan $F$ adalah probabilitas $t$ menghasilkan kegagalan dan catat bahwa $F$ adalah beberapa kelipatan integral dari $d^{-n},$ katakanlah

$$F = \Pr(t(\omega)=\text{Failure}) = N_F\, d^{-n}.$$

(Untuk referensi di masa mendatang, perhatikan bahwa jumlah waktu yang diharapkan $t$ harus dipanggil sebelum tidak gagal adalah $1/(1-F).$ )

Persyaratan bahwa hasil ini di $\Omega(c,m)$ menjadi seragam dan independen bersyarat pada $t$ tidak melaporkan berarti kegagalan yang $t$ mempertahankan probabilitas dalam arti bahwa untuk setiap acara $\mathcal{A}\subset\Omega(c,m),$

$$\frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) \tag{1}$$

dimana

$$t^{*}\left(\mathcal A\right) = \{\omega\in\Omega\mid t(\omega)\in\mathcal{A}\}$$

adalah himpunan gulungan die bahwa prosedur $t$ ditunjuk untuk acara $\mathcal A.$

Pertimbangkan peristiwa atom $\mathcal A = \{\eta\}\subset\Omega(c,m)$ , yang harus memiliki probabilitas $c^{-m}.$Biarkan $t^{*}\left(\mathcal A\right)$ (gulungan dadu yang terkait dengan $\eta$ ) memiliki elemen $N_\eta$ . $(1)$ menjadi

$$\frac{N_\eta d^{-n}}{1 - N_F d^{-n}} = \frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) = c^{-m}.\tag{2}$$

Hal ini langsung bahwa $N_\eta$ semua sama untuk beberapa bilangan bulat $N.$ Tetap hanya untuk menemukan prosedur yang paling efisien $t.$ Jumlah yang diharapkan non-kegagalan per roll dari sisi $c$ mati adalah

$$\frac{1}{m}\left(1 - F\right).$$

Ada dua implikasi langsung dan jelas. Salah satunya adalah jika kita dapat menjaga $F$ kecil ketika $m$ tumbuh besar, maka efek melaporkan kegagalan adalah asimtotik nol. Yang lainnya adalah bahwa untuk setiap $m$ diberikan (jumlah gulungan $c$ side sided untuk disimulasikan), kami ingin membuat $F$ sekecil mungkin.

Mari kita perhatikan lebih dekat $(2)$ dengan menghapus penyebut:

$$N c^m = d^n - N_F \gt 0.$$

Ini memperjelas bahwa dalam konteks tertentu (ditentukan oleh $c,d,n,m$ ), $F$ dibuat sekecil mungkin dengan membuat $d^n-N_F$ sama dengan kelipatan $c^m$ yang kurang dari atau sama dengan $d^n.$ Kami dapat menulis ini dalam hal fungsi integer terbesar (atau "lantai") $\lfloor*\rfloor$ as

$$N = \lfloor \frac{d^n}{c^m} \rfloor.$$

Akhirnya, jelas bahwa $N$ harus sekecil mungkin untuk efisiensi tertinggi, karena ia mengukur redundansi dalam $t$ . Secara khusus, jumlah yang diharapkan dari gulungan dari $d$ -sided mati diperlukan untuk memproduksi satu gulungan $c$ -sided die is

$$N \times \frac{n}{m} \times \frac{1}{1-F}.$$

Dengan demikian, pencarian kami untuk prosedur efisiensi tinggi harus fokus pada kasus-kasus di mana $d^n$ sama dengan, atau hanya sedikit lebih besar dari, beberapa kekuatan $c^m.$

Analisis berakhir dengan menunjukkan bahwa untuk diberikan $d$ dan $c,$ ada urutan kelipatan $(n,m)$ dimana pendekatan ini mendekati efisiensi sempurna. Ini jumlah untuk mencari $(n,m)$ yang $d^n/c^m \ge 1$ pendekatan $N=1$ dalam batas (otomatis menjamin $F\to 0$ ). Salah satu urutan tersebut diperoleh dengan mengambil $n=1,2,3,\ldots$ dan menentukan

$$m = \lfloor \frac{n\log d}{\log c} \rfloor.\tag{3}$$

Buktinya mudah.

Ini semua berarti bahwa ketika kita bersedia untuk menggulung $d$ sisi yang asli dengan jumlah yang cukup besar , $n,$ kita dapat mensimulasikan hampir $\log d / \log c = \log_c d$ hasil dari $c$ sided dadu per roll. Setara,

Dimungkinkan untuk mensimulasikan sejumlah besar $m$ dari gulungan independen dari $c$ sisi dadu menggunakan $d$ sisi mati adil menggunakan rata-rata $\log(c)/\log(d) + \epsilon = \log_d(c) + \epsilon$ gulungan per hasil di mana $\epsilon$ dapat dibuat sewenang-wenang kecil dengan memilih $m$ cukup besar.

---

Contoh dan algoritme

Dalam pertanyaan, $d=6$ dan $c=150,$ dari mana

$$\log_d(c) = \frac{\log(c)}{\log(d)} \approx 2.796489.$$

Dengan demikian, prosedur terbaik yang mungkin akan membutuhkan, rata-rata, setidaknya $2.796489$ gulungan d6untuk mensimulasikan setiap d150hasil.

Analisis menunjukkan bagaimana melakukan ini. Kita tidak perlu menggunakan teori bilangan untuk melaksanakannya: kita bisa menabulasi kekuatan $d^n=6^n$ dan kekuatan $c^m=150^m$ dan membandingkannya untuk menemukan di mana $c^m \le d^n$ dekat. Perhitungan brute force ini menghasilkan $(n,m)$ pasangan

$$(n,m) \in \{(3,1), (14,5), \ldots\}$$

misalnya, sesuai dengan angka

$$(6^n, 150^m) \in \{(216,150), (78364164096,75937500000), \ldots\}.$$

Dalam kasus pertama $t$ akan mengaitkan $216-150=66$ dari hasil tiga gulungan a d6ke Kegagalan dan $150$ hasil lainnya masing-masing akan dikaitkan dengan hasil tunggal a d150.

Dalam kasus kedua $t$ akan mengaitkan $78364164096-75937500000$ dari hasil 14 gulungan a d6ke Kegagalan - sekitar 3,1% dari semuanya - dan jika tidak akan menghasilkan urutan 5 hasil dari a d150.

Algoritma sederhana untuk mengimplementasikan $t$ memberi label wajah $d$ sisi dadu dengan angka $0,1,\ldots, d-1$ dan wajah $c$ sisi dadu dengan angka $0,1,\ldots, c-1.$ . $n$ gulungan dadu pertama ditafsirkan sebagai $n$ jumlah -digit dalam basis $d.$ Ini dikonversikan ke angka dalam basis $c.$ Jika memiliki maksimal $m$ digit, urutan m terakhir$m$digit adalah output. Jika tidak, $t$ mengembalikan Kegagalan dengan memohon sendiri secara rekursif.

Untuk urutan yang lebih lama, Anda dapat menemukan pasangan yang cocok $(n,m)$ dengan mempertimbangkan setiap $n/m$ konvergen ekspansi fraksi lanjutan dari $x=\log(c)/\log(d).$ Teori fraksi lanjutan menunjukkan bahwa konvergen ini bergantian antara kurang dari $x$ dan lebih besar dari itu (dengan anggapan $x$ belum rasional). Pilih yang kurang dari $x.$

Dalam pertanyaan itu, beberapa konvergensi pertama adalah

$$3, 14/5, 165/59, 797/285, 4301/1538, 89043/31841, 279235/99852, 29036139/10383070 \ldots.$$

Dalam kasus terakhir, urutan 29.036.139 gulungan a d6akan menghasilkan urutan 10.383.070 gulungan a d150dengan tingkat kegagalan kurang dari $2\times 10^{-8},$ untuk efisiensi $2.79649$ dibedakan dari batas asimptotik.

Untuk kasus $N=150$ , menggulirkan d6 tiga kali dengan jelas menciptakan $6^3=216$ hasil.

Hasil yang diinginkan dapat ditabulasi dengan cara ini:

• Rekam d6 tiga kali secara berurutan. Ini menghasilkan hasil $a,b,c$ . Hasilnya seragam karena semua nilai $a,b,c$ memiliki kemungkinan yang sama (dadu adil, dan kami memperlakukan setiap gulungan sebagai berbeda).
• Kurangi 1 dari masing-masing.
• Ini adalah angka senary: setiap digit (nilai tempat) bergerak dari 0 hingga 5 dengan kekuatan 6, sehingga Anda dapat menulis angka dalam desimal menggunakan $$(a-1) \times 6^2 + (b-1) \times 6^1 + (c-1)\times 6^0$$
• Tambahkan 1.
• Jika hasilnya melebihi 150, buang hasilnya dan putar lagi.

Probabilitas menjaga hasil adalah $p=\frac{150}{216}=\frac{25}{36}$ . Semua gulungan independen, dan kami mengulangi prosedur sampai "sukses" (hasil dalam$1,2,\dots,150$) sehingga jumlahupayauntuk menghasilkan 1 hasil imbang antara 1 dan 150 didistribusikan sebagai variabel acak geometrik, yang memiliki harapan$p^{-1}=\frac{36}{25}$ . Oleh karena itu, menggunakan metode ini untuk menghasilkan 1 hasil undian memerlukan pengerolan$\frac{36}{25}\times 3 =4.32$dadu gulungan rata-rata (karena setiap upaya melempar 3 dadu).

---

Kredit ke @whuber ke untuk menyarankan ini dalam obrolan.

Berikut adalah alternatif yang lebih sederhana untuk jawaban oleh Sycorax untuk kasus di mana $N=150$ . Karena $150 = 5 \times 5 \times 6$ Anda dapat melakukan prosedur berikut:

Menghasilkan nomor acak seragam dari 1 hingga 150:

• Buat tiga gulungan 1D6 yang dipesan dan tunjukkan sebagai $R_1, R_2, R_3$ .
• Jika salah satu dari dua gulungan pertama adalah enam, putar kembali sampai tidak 6.
• Angka $(R_1, R_2, R_3)$ adalah angka seragam yang menggunakan notasi posisi dengan radix 5-5-6. Dengan demikian, Anda dapat menghitung angka yang diinginkan sebagai: $$X = 30 \cdot (R_1-1) + 6 \cdot (R_2-1) + (R_3-1) + 1.$$

Metode ini dapat digeneralisasikan ke $N$ lebih besar , tetapi menjadi sedikit lebih canggung ketika nilainya memiliki satu atau lebih faktor prima lebih besar dari $6$ .

Sebagai ilustrasi algoritma untuk memilih secara seragam antara $150$ nilai menggunakan dadu enam sisi, coba ini yang menggunakan setiap gulungan untuk mengalikan nilai yang tersedia dengan $6$ dan membuat masing-masing nilai baru sama-sama mungkin:

• Setelah $0$ gulungan, Anda memiliki $1$ kemungkinan, tidak cukup untuk membedakan $150$ nilai
• Setelah $1$ roll, Anda memiliki $6$ kemungkinan, tidak cukup untuk membedakan $150$ nilai
• Setelah $2$ gulungan, Anda memiliki $36$ kemungkinan, tidak cukup untuk membedakan $150$ nilai
• Setelah $3$ gulungan, Anda memiliki $216$ kemungkinan, cukup untuk membedakan $150$ nilai tetapi dengan $66$ nilai tersisa; probabilitas Anda berhenti sekarang adalah $\frac{150}{216}$
• Jika Anda belum berhenti, maka setelah $4$ gulungan Anda memiliki $396$ kemungkinan tersisa, cukup untuk membedakan $150$ nilai dua arah tetapi dengan $96$ nilai tersisa; probabilitas Anda berhenti sekarang adalah $\frac{300}{1296}$
• Jika Anda belum berhenti, maka setelah $5$ gulungan Anda memiliki $576$ kemungkinan tersisa, cukup untuk membedakan $150$ nilai tiga cara tetapi dengan $96$ nilai tersisa; probabilitas Anda berhenti sekarang adalah $\frac{450}{7776}$
• Jika Anda belum berhenti, maka setelah $6$ gulungan Anda memiliki $756$ kemungkinan tersisa, cukup untuk membedakan $150$ nilai lima cara tetapi dengan $6$ nilai tersisa; probabilitas Anda berhenti sekarang adalah $\frac{750}{46656}$

Jika Anda berada di salah satu dari $6$ nilai yang tersisa setelah $6$ gulungan maka Anda berada dalam situasi yang sama dengan posisi setelah $1$ gulungan. Jadi Anda bisa melanjutkan dengan cara yang sama: probabilitas Anda berhenti setelah $7$ gulungan adalah $\frac{0}{279936}$ , setelah$8$gulungan adalah$\frac{150}{1679616}$ dll.

Tambahkan ini dan Anda menemukan bahwa jumlah gulungan yang diharapkan adalah sekitar $3.39614$ . Ini memberikan pilihan yang seragam dari $150$ , karena Anda hanya memilih nilai pada saat Anda dapat memilih masing-masing dari $150$ dengan probabilitas yang sama

---

Sycorax bertanya dalam komentar untuk algoritma yang lebih eksplisit

• Pertama, saya akan bekerja di base- $6$ dengan $150_{10}=410_6$
• Kedua, daripada nilai target $1_6$ hingga $410_6$ , saya akan mengurangi satu sehingga nilai target adalah $0_6$ hingga $409_6$
• Ketiga, setiap dadu harus memiliki nilai $0_6$ hingga $5_6$ , dan menggulung dadu melibatkan penambahan basis $6$ digit ke sisi kanan dari angka yang dihasilkan. Angka yang dihasilkan dapat memiliki nol di depan, dan jumlah digit mereka adalah jumlah gulungan sejauh ini

Algoritma ini adalah lemparan dadu berturut-turut:

• Gulung tiga dadu pertama untuk menghasilkan angka dari $000_6$ hingga $555_6$ . Karena $1000_6 \div 410_6 = 1_6 \text{ remainder } 150_6$ Anda mengambil nilai yang dihasilkan (yang juga sisanya pada pembagian dengan $410_6$ ) jika nilai yang dihasilkan benar-benar di bawah $1000_6-150_6=410_6$ dan berhenti;

• Jika melanjutkan, putar dadu keempat sehingga Anda sekarang telah menghasilkan angka dari $4100_6$ hingga $5555_6$ . Karena $10000_6 \div 410_6 = 12_6 \text{ remainder } 240_6$ Anda mengambil sisa dari nilai yang dihasilkan di divisi dengan $410_6$ jika nilai yang dihasilkan benar-benar di bawah $10000_6-240_6=5320_6$ dan berhenti;

• Jika melanjutkan, putar dadu kelima sehingga Anda sekarang telah menghasilkan angka dari $53200_6$ hingga $55555_6$ . Karena $100000_6 \div 410_6 = 123_6 \text{ remainder } 330_6$ Anda mengambil sisa dari nilai yang dihasilkan di divisi dengan $410_6$ jika nilai yang dihasilkan benar-benar di bawah $100000_6-330_6=55230_6$ dan berhenti;

• Jika melanjutkan, putar dadu keenam sehingga Anda sekarang telah menghasilkan angka dari $552300_6$ hingga $555555_6$ . Karena $1000000_6 \div 410_6 = 1235_6 \text{ remainder } 10_6$ Anda mengambil sisa dari nilai yang dihasilkan di divisi dengan $410_6$ jika nilai yang dihasilkan benar-benar di bawah $1000000_6-10_6=555550_6$ dan berhenti;

• dll.