Densitas Y = log (X) untuk X yang didistribusikan Gamma

Pertanyaan ini terkait erat dengan pos ini

Misalkan saya memiliki variabel acak , dan saya mendefinisikan . Saya ingin menemukan fungsi kepadatan probabilitas .$X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$$Y = \log(X)$$Y$

Saya awalnya berpikir saya hanya akan mendefinisikan fungsi distribusi kumulatif X, melakukan perubahan variabel, dan mengambil "bagian dalam" dari integral sebagai kepadatan saya, seperti itu,

$$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$$

Di sini saya menggunakan dan , kemudian sub dalam definisi untuk dan dalam hal .$y = \log x$$dy = \frac{1}{x} dx$$x$$dx$$y$

Outputnya, sayangnya, tidak berintegrasi ke 1. Saya tidak yakin di mana kesalahan saya. Bisakah beberapa orang memberi tahu saya di mana letak kesalahan saya?

Tulis kepadatan dengan indikator untuk memiliki gambaran yang jelas.

Jika , maka $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

$$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$$

Jika , dengan kebalikan , maka dan CDF diperoleh dari definisi $Y=g(X)=\log X$$X=h(Y)=e^Y$

$$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$$ $$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$$