Situasi

Beberapa peneliti ingin membuat Anda tertidur. Bergantung pada lemparan rahasia koin yang adil, mereka akan membangunkan Anda sebentar (Kepala) atau dua kali (Ekor) sebentar. Setelah setiap bangun, mereka akan membuat Anda kembali tidur dengan obat yang membuat Anda melupakan kebangkitan itu. Ketika Anda terbangun, sampai sejauh mana Anda harus percaya bahwa hasil lemparan koin adalah Kepala?

(Oke, mungkin Anda tidak ingin menjadi subjek percobaan ini! Misalkan, Sleeping Beauty (SB) menyetujuinya (dengan persetujuan penuh dari Dewan Peninjau Institusional Kerajaan Sihir, tentu saja). Ia akan pergi ke tidur selama seratus tahun, jadi apa satu atau dua hari lagi, sih?)

[Detail ilustrasi Maxfield Parrish .]

Apakah Anda seorang Halfer atau Thirder?

Posisi Halfer. Sederhana! Koin itu adil - dan SB mengetahuinya - jadi dia harus percaya bahwa ada kemungkinan setengah kepala.

Posisi Thirder. Jika percobaan ini diulang berkali-kali, maka koin hanya akan menjadi sepertiga dari waktu SB dibangunkan. Probabilitasnya untuk kepala adalah sepertiga.

Yang ketiga memiliki masalah

Kebanyakan, tetapi tidak semua, orang yang telah menulis tentang ini adalah orang ketiga. Tapi:

• Pada hari Minggu malam, tepat sebelum SB tertidur, ia harus percaya bahwa kesempatan untuk menjadi kepala adalah setengah: itulah artinya menjadi koin yang adil.

• Setiap kali SB bangun, ia sama sekali tidak belajar apa pun yang tidak diketahuinya pada Minggu malam. Lalu, argumen rasional apa yang bisa ia berikan untuk menyatakan bahwa keyakinannya pada kepala sekarang sepertiga dan bukan setengah?

Beberapa mencoba penjelasan

• SB tentu akan kehilangan uang jika dia bertaruh dengan peluang apa pun selain 1/3. (Vineberg, antara lain )

• Satu-setengahnya benar: cukup gunakan interpretasi "banyak-dunia" Everettian tentang Mekanika Kuantum! (Lewis).

• SB memperbarui keyakinannya berdasarkan persepsi diri tentang "lokasi temporal" -nya di dunia. (Elga, ia )

• SB bingung: “[Tampaknya] lebih masuk akal untuk mengatakan bahwa keadaan epistemiknya pada saat bangun seharusnya tidak mencakup tingkat kepercayaan yang pasti pada kepala. ... Masalah sebenarnya adalah bagaimana seseorang berurusan dengan kerusakan kognitif yang diketahui, tidak dapat dihindari. ”[Arntzenius]

---

Pertanyaan

Akuntansi untuk apa yang telah ditulis pada subjek ini (lihat referensi dan posting sebelumnya ), bagaimana paradoks ini dapat diselesaikan dengan cara yang ketat secara statistik? Apakah ini mungkin?

---

Referensi

Arntzenius, Frank (2002). Refleksi tentang Analisis Kecantikan Tidur 62.1 hal 53-62.

Bradley, DJ (2010). Konfirmasi di Dunia Percabangan: The Everett Interpretation dan Sleeping Beauty . Brit. J. Phil. Sci. 0 (2010), 1–21.

Elga, Adam (2000). Keyakinan mencari-sendiri dan Masalah Kecantikan Tidur. Analisis 60 hal 143-7.

Franceschi, Paul (2005). Kecantikan Tidur dan Masalah Pengurangan Dunia . Pracetak.

Groisman, Berry (2007). Akhir dari mimpi buruk Sleeping Beauty . Pracetak.

Lewis, D (2001). Sleeping Beauty: balas ke Elga . Analisis 61.3 hal 171-6.

Papineau, David dan Victor Dura-Vila (2008). A Thirder and an Everettian: balasan untuk 'Quantum Sleeping Beauty' milik Lewis .

Pust, Joel (2008). Horgan on Sleeping Beauty . Sintese 160 hal 97-101.

Vineberg, Susan (tidak bertanggal, mungkin 2003). Cautionary Tale Beauty .

Strategi

Saya ingin menerapkan teori keputusan rasional untuk analisis, karena itu adalah salah satu cara yang mapan untuk mencapai ketelitian dalam memecahkan masalah keputusan statistik. Dalam upaya untuk melakukannya, satu kesulitan muncul sebagai sesuatu yang istimewa: perubahan kesadaran SB.

• Teori keputusan rasional tidak memiliki mekanisme untuk menangani kondisi mental yang berubah.

• Dalam meminta SB untuk kepercayaannya pada flip koin, kami secara bersamaan memperlakukannya dengan cara yang agak referensi diri baik sebagai subjek (dari percobaan SB) dan eksperimen (mengenai flip koin).

Mari kita ubah percobaan dengan cara yang tidak penting: alih-alih menggunakan obat penghapus memori, persiapkan klon Sleeping Beauty yang tepat sebelum percobaan dimulai. (Ini adalah ide kunci, karena ini membantu kita menahan gangguan - tetapi pada akhirnya tidak relevan dan menyesatkan - masalah filosofis.)

• Klon seperti dia dalam segala hal, termasuk ingatan dan pikiran.

• SB sadar sepenuhnya ini akan terjadi.

Kita bisa mengkloning, pada prinsipnya. ET Jaynes menggantikan pertanyaan "bagaimana kita bisa membangun model matematika dari akal sehat manusia" - sesuatu yang kita butuhkan untuk memikirkan masalah Sleeping Beauty - dengan "Bagaimana kita bisa membangun sebuah mesin yang akan melakukan penalaran yang masuk akal yang berguna, mengikuti prinsip-prinsip yang jelas yang mengekspresikan akal sehat yang ideal? " Jadi, jika Anda suka, gantikan SB dengan robot berpikir Jaynes, dan tiru itu.

(Ada, dan masih ada, kontroversi tentang mesin "berpikir".

"Mereka tidak akan pernah membuat mesin untuk menggantikan pikiran manusia — itu melakukan banyak hal yang tidak bisa dilakukan oleh mesin."

Anda bersikeras bahwa ada sesuatu yang tidak dapat dilakukan mesin. Jika Anda akan memberi tahu saya dengan tepat apa yang tidak dapat dilakukan oleh mesin, maka saya selalu dapat membuat mesin yang akan melakukan hal itu! ”

--J. von Neumann, 1948. Dikutip oleh ET Jaynes dalam Probability Theory: The Logic of Science , p. 4.)

--Rube Goldberg

Eksperimen Sleeping Beauty kembali

Persiapkan salinan SB yang identik (termasuk SB sendiri) pada hari Minggu malam. Mereka semua tidur pada waktu yang sama, berpotensi untuk 100 tahun. Setiap kali Anda perlu membangkitkan SB selama percobaan, pilih secara acak klon yang belum terbangun. Kebangkitan akan terjadi pada hari Senin dan, jika perlu, pada hari Selasa.$n \ge 2$

Saya mengklaim bahwa versi percobaan ini menciptakan set hasil yang persis sama, hingga kondisi mental dan kesadaran SB, dengan probabilitas yang persis sama. Ini berpotensi merupakan salah satu poin kunci di mana para filsuf dapat memilih untuk menyerang solusi saya. Saya mengklaim itu adalah titik terakhir di mana mereka dapat menyerangnya, karena analisis yang tersisa adalah rutin dan ketat.

Sekarang kami menerapkan mesin statistik yang biasa. Mari kita mulai dengan ruang sampel (kemungkinan hasil eksperimen). Biarkan berarti "bangun hari Senin" dan berarti "bangun hari Selasa." Demikian pula, misalkan berarti "kepala" dan "t" berarti ekor. Berlangganan klon dengan bilangan bulat . Maka hasil eksperimen yang mungkin dapat ditulis (dalam apa yang saya harap adalah notasi yang transparan dan jelas) sebagai setT h 1 , 2 , … , $M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

Peluang Senin

Sebagai salah satu klon SB, Anda mengetahui peluang Anda untuk dibangunkan pada hari Senin selama percobaan head-up adalah ( peluang kepala) kali ( kesempatan saya terpilih menjadi klon yang terbangun). Dalam istilah yang lebih teknis:1 /$1/2$$1/n$

• Himpunan hasil kepala adalah . Ada dari mereka.$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• Acara di mana Anda dibangunkan dengan kepala adalah .$h(i) = \{hM_i\}$

• Peluang setiap klon SB tertentu terbangun dengan koin yang menunjukkan kepala sama dengan$i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

Probabilitas hari Selasa

• Himpunan hasil ekor adalah . Ada dari mereka. Semua sama-sama mungkin, berdasarkan desain.n ( n - 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• Anda, klon , dibangunkan dalam dari kasus-kasus ini; yaitu, cara Anda dapat dibangunkan pada hari Senin (ada klon yang tersisa untuk dibangunkan pada hari Selasa) ditambah cara Anda dapat dibangunkan pada hari Selasa (ada kemungkinan klon Senin). Sebut acara ini .( n - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 ( n - 1 ) n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 t ( i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• Peluang Anda untuk dibangunkan selama percobaan tails-up sama dengan

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

Teorema Bayes

Sekarang kita telah sampai sejauh ini, Teorema Bayes - sebuah tautologi matematis di luar perselisihan - menyelesaikan pekerjaan. Karena itu, peluang kepala klon mana pun adalah

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

Karena SB tidak dapat dibedakan dari klonnya - bahkan untuk dirinya sendiri! - ini adalah jawaban yang harus dia berikan ketika ditanya tingkat kepercayaannya pada kepala.

Interpretasi

Pertanyaan "berapa probabilitas kepala" memiliki dua interpretasi yang masuk akal untuk percobaan ini: ia dapat menanyakan kemungkinan kepala koin yang adil mendarat, yaitu (jawaban Halfer), atau dapat minta kesempatan kepala koin, dikondisikan pada kenyataan bahwa Anda adalah klon terbangun. Ini adalah (jawaban Thirder).Pr [ h | t ( i ) ∪ h ( i ) ] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

Dalam situasi di mana SB (atau lebih tepatnya salah satu dari set mesin berpikir Jaynes yang disiapkan secara identik) menemukan dirinya sendiri, analisis ini - yang telah dilakukan banyak orang lain (tapi saya pikir kurang meyakinkan, karena mereka tidak begitu jelas menghilangkan gangguan filosofis dalam deskripsi eksperimental) - mendukung jawaban Thirder.

Jawaban Halfer benar, tetapi tidak menarik, karena tidak relevan dengan situasi di mana SB menemukan dirinya. Ini menyelesaikan paradoks.

Solusi ini dikembangkan dalam konteks pengaturan eksperimental tunggal yang terdefinisi dengan baik. Mengklarifikasi percobaan mengklarifikasi pertanyaan. Pertanyaan yang jelas mengarah pada jawaban yang jelas.

Komentar

Saya kira bahwa, mengikuti Elga (2000), Anda dapat secara sah mengkarakterisasi jawaban bersyarat kami sebagai "menghitung lokasi temporal Anda sendiri sebagai relevan dengan kebenaran h," tetapi karakterisasi itu menambahkan tidak ada wawasan untuk masalah: itu hanya mengurangi dari fakta-fakta matematika dalam bukti. Bagi saya itu tampaknya hanya cara yang tidak jelas untuk menyatakan bahwa interpretasi "klon" dari pertanyaan probabilitas adalah yang benar.

Analisis ini menunjukkan bahwa masalah filosofis yang mendasarinya adalah salah satu identitas : Apa yang terjadi pada klon yang tidak terbangun? Apa hubungan kognitif dan niskala yang ada di antara klon? - tetapi diskusi itu bukan masalah analisis statistik; itu milik di forum yang berbeda .

Terima kasih atas pos cemerlang ini (+1) dan solusinya (+1). Paradoks ini sudah membuat saya sakit kepala.

Saya hanya memikirkan situasi berikut yang tidak membutuhkan peri, mukjizat atau ramuan ajaib. Balikkan koin yang adil pada Senin siang. Setelah 'Ekor' mengirim email ke Alice dan Bob (dengan cara mereka tidak tahu bahwa yang lain telah menerima email dari Anda, dan bahwa mereka tidak dapat berkomunikasi). Setelah 'Kepala', kirim email ke salah satu dari mereka secara acak (dengan probabilitas ).$1/2$

Ketika Alice menerima surat, berapakah probabilitas koin itu mendarat di 'Kepala'? Probabilitas bahwa dia menerima surat adalah , dan probabilitas bahwa koin mendarat di 'Kepala' adalah .1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

Di sini tidak ada paradoks karena Alice tidak menerima surat dengan probabilitas , dalam hal ini dia tahu koin mendarat di 'Kepala'. Fakta bahwa kami tidak meminta pendapatnya dalam kasus itu, membuat probabilitas ini sama dengan 0 .$1/4$

Jadi, apa bedanya? Mengapa Alice mendapatkan informasi dengan menerima surat, dan SB tidak akan mengetahui apa pun yang dibangkitkan?

Pindah ke situasi yang lebih ajaib, kami menempatkan 2 SB yang berbeda untuk tidur. Jika koin mendarat di 'Tails' kita bangun keduanya, jika itu mendarat di 'Heads' kita bangun salah satunya secara acak. Sekali lagi di sini, masing-masing SB harus mengatakan bahwa kemungkinan pendaratan koin di 'Heads' adalah dan sekali lagi tidak ada paradoks karena ada peluang bahwa SB ini tidak akan dibangunkan.1 /$1/3$$1/4$

Tetapi situasi ini sangat dekat dengan paradoks asli karena menghapus memori (atau kloning) setara dengan memiliki dua SB yang berbeda. Jadi, saya dengan @Douglas Zare di sini (+1). SB telah belajar sesuatu dengan dibangunkan. Fakta bahwa dia tidak dapat mengungkapkan pendapatnya pada hari Selasa ketika koin itu 'Kepala' karena dia tidur tidak menghapus informasi yang dia miliki dengan dibangunkan.

Menurut pendapat saya, paradoksnya terletak pada " dia sama sekali tidak belajar apa pun yang tidak diketahuinya pada Minggu malam " yang dinyatakan tanpa pembenaran. Kami memiliki kesan ini karena situasi ketika dia terbangun identik, tetapi ini seperti Alice yang menerima surat: fakta bahwa dia ditanya pendapatnya yang memberikan informasinya.

EDIT UTAMA : Setelah memberikan pemikiran yang mendalam, saya mengubah pendapat saya: Sleeping Beauty tidak belajar apa-apa dan contoh yang saya berikan di atas bukanlah analog yang baik dengan situasinya.

Tapi di sini ada masalah yang setara yang tidak paradoks. Saya bisa memainkan permainan berikut dengan Alice dan Bob: Saya melemparkan koin secara diam-diam dan secara mandiri bertaruh $ 1 agar mereka tidak dapat menebaknya. Tetapi jika koinnya mendarat di 'Tails', taruhan Alice of Bob dibatalkan (uang tidak berpindah tangan). Mengingat mereka tahu aturannya, apa yang harus mereka pertaruhkan?

'Kepala' jelas. Jika koin mendarat di 'Kepala', mereka mendapatkan 1 $ , jika tidak, mereka kehilangan rata-rata 0,5 $ . Apakah itu berarti mereka percaya bahwa koin tersebut memiliki peluang 2/3 untuk mendarat di 'Kepala'? Tentu tidak. Sederhananya protokol sehingga mereka tidak mendapatkan jumlah uang yang sama untuk setiap jawaban.

Saya percaya bahwa Sleeping Beauty berada dalam situasi yang sama dengan Alice atau Bob. Peristiwa tidak memberinya informasi tentang undian , tetapi jika ia diminta untuk bertaruh, kemungkinannya bukan 1: 1 karena keuntungan yang tidak simetris. Saya percaya bahwa inilah yang dimaksud @whuber

Jawaban Halfer benar, tetapi tidak menarik, karena tidak relevan dengan situasi di mana SB menemukan dirinya. Ini menyelesaikan paradoks.

"Setiap kali SB bangun, dia sama sekali tidak belajar apa pun yang tidak dia ketahui Minggu malam." Ini salah, sama salahnya dengan mengatakan "Entah saya memenangkan lotere atau tidak, jadi probabilitasnya adalah ." Dia telah belajar bahwa dia telah bangun. Ini informasi. Sekarang dia harus percaya setiap kemungkinan kebangkitan sama-sama mungkin terjadi, tidak setiap koin terbalik.$50\%$

Jika Anda seorang dokter dan seorang pasien berjalan ke kantor Anda, Anda telah mengetahui bahwa pasien telah masuk ke kantor dokter, yang seharusnya mengubah penilaian Anda dari sebelumnya. Jika setiap orang pergi ke dokter, tetapi separuh populasi yang sakit berjalan kali lebih sering daripada separuh yang sehat, maka ketika pasien masuk Anda tahu pasien itu mungkin sakit.$100$

Berikut ini sedikit variasi. Misalkan apa pun hasil lemparan koin itu, Sleeping Beauty akan terbangun dua kali. Namun, jika itu adalah ekor, dia akan terbangun dengan baik dua kali. Jika itu adalah kepala, dia akan terbangun dengan baik sekali, dan ember esnya akan dibuang satu kali. Jika dia bangun dalam tumpukan es, dia memiliki informasi bahwa koin itu muncul di kepala. Jika dia bangun dengan baik, dia memiliki informasi bahwa koin itu mungkin tidak muncul. Dia tidak dapat melakukan tes nondegenerate yang hasilnya positif (es) memberitahu kepalanya lebih mungkin tanpa hasil negatif (bagus) yang menunjukkan bahwa kepala lebih kecil kemungkinannya.

Paradoksnya terletak pada perubahan perspektif antara eksperimen tunggal dan titik batasnya. Jika # percobaan diperhitungkan, Anda dapat memahami ini dengan lebih tepat daripada "salah satu atau" penghentian dan yang ketiga:

Eksperimen Tunggal: Halver benar

Jika ada satu percobaan, ada tiga hasil dan Anda hanya perlu mencari probabilitas dari perspektif yang terbangun:

1. Kepala dilemparkan: 50%
2. Ekor dilemparkan dan ini adalah kebangkitan pertama saya: 25%
3. Ekor dilemparkan dan ini adalah kebangkitan kedua saya: 25%

Jadi, dalam satu percobaan, pada acara bangun apa pun, Anda harus mengasumsikan 50/50 bahwa Anda berada dalam keadaan di mana kepala dilemparkan

Dua percobaan: 42% benar

Sekarang, coba dua percobaan:

1. Kepala dilempar dua kali: 25% (untuk gabungan keduanya)
2. Ekor dilemparkan dua kali: 25% (untuk keempat pencerahan digabungkan)
3. Kepala lalu Ekor dan ini adalah kebangkitan pertama saya: 25% / 3
4. Kepala lalu Ekor dan ini adalah kebangkitan saya yang ke-2 atau ke-3: 25% * 2/3
5. Ekor kemudian Kepala dan ini kebangkitan pertama atau kedua: 25% * 2/3
6. Ekor lalu Kepala dan ini adalah kebangkitan ke-3 saya: 25% / 3.

Jadi di sini, {1, 3, 6} adalah status Kepala Anda, dengan probabilitas gabungan (25 + 25/3 + 25/3)%, 41,66%, yang kurang dari 50%. Jika dua percobaan dijalankan, pada setiap acara wakeup, Anda harus mengasumsikan 41,66% kemungkinan Anda berada dalam keadaan di mana Heads terlempar

Eksperimen tanpa batas: Yang ketiga benar

Saya tidak akan menghitung di sini, tetapi jika Anda melihat opsi dua percobaan, Anda dapat melihat # 1 dan # 2 mengarahkannya ke separuh, dan sisanya mengarahkannya ke pertiga. Dengan meningkatnya jumlah percobaan, opsi yang mengarah ke separuh (semua kepala / semua ekor) akan menurun dalam probabilitas ke nol, meninggalkan opsi "pertiga" untuk mengambil alih. Jika percobaan tanpa batas dijalankan, pada setiap acara bangun, Anda harus mengasumsikan 1/3 kesempatan Anda dalam keadaan di mana kepala dilempar

Preempting Retort:

Tapi, judi?

Ya dalam contoh percobaan tunggal, Anda masih harus "bertaruh" dengan pertiganya. Ini bukan inkonsistensi; itu hanya karena Anda mungkin menempatkan taruhan yang sama beberapa kali memberikan hasil tertentu, dan tahu ini sebelumnya. (Atau jika tidak, mafia melakukannya).

Oke, bagaimana dengan dua percobaan tunggal? Ketimpangan banyak?

Tidak, karena pengetahuan tentang apakah Anda sedang dalam eksperimen pertama atau kedua menambah, erm, pengetahuan Anda. Mari kita lihat opsi "dua percobaan" dan saring dengan pengetahuan bahwa Anda sedang dalam percobaan pertama.

1. Berlaku untuk pencerahan pertama (1/2)
2. Berlaku untuk dua pencerahan pertama (2/4)
3. Berlaku
4. Tidak pernah berlaku
5. Berlaku untuk pencerahan pertama (1/2)
6. Tak dapat diterapkan

Oke, ambil yang Kepala (1,3,6) kalikan ini, peluang dengan penerapan: 25/2 + 25/3 + 0 = 125/6.

Sekarang ambil yang Tails (2,4,5) dan lakukan hal yang sama: 25 * 4/2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 = 125/6.

Viola, mereka sama. Informasi tambahan tentang eksperimen yang Anda lakukan sebenarnya menyesuaikan peluang yang Anda ketahui.

Tapi, klonnya !!

Sederhananya, bertentangan dengan dalil jawaban OP ini, bahwa kloning menciptakan sebuah eksperimen setara: kloning ditambah pilihan acak tidak mengubah pengetahuan experimentee, dalam cara yang sama "beberapa percobaan" perubahan percobaan. Jika ada dua klon, Anda dapat melihat probabilitas masing-masing klon sesuai dengan probabilitas Dua Eksperimen . Klon tak terbatas konvergen ke yang ketiga. Tapi itu bukan eksperimen yang sama, dan itu bukan pengetahuan yang sama, sebagai eksperimen tunggal dengan subjek non-acak tunggal.

Anda mengatakan "acak satu dari yang tak terbatas" dan saya katakan Ketergantungan pilihan

Saya tidak tahu, teori himpunan saya tidak terlalu bagus. Tetapi diberikan untuk N kurang dari tak terhingga, Anda dapat menetapkan beberapa urutan yang konvergen dari setengah menjadi sepertiga, kasus tak hingga sama dengan sepertiga akan benar atau tidak dapat diputuskan paling buruk, tidak peduli aksioma mana yang Anda gunakan.

Mari kita variasikan masalahnya.

Jika koin muncul Kepala, maka SB tidak pernah terbangun.

Jika Buntut, maka SB terbangun sekali.

Sekarang kamp adalah Halfers dan Zeroers. Dan jelas Zeroers benar.

Atau: Kepala -> bangun sekali; Ekor -> terbangun jutaan kali. Jelas, mengingat dia bangun, itu kemungkinan besar ekor.

(PS Mengenai masalah "informasi baru" - informasi mungkin DIHANCURKAN. Jadi, pertanyaan lain adalah: apakah dia kehilangan informasi yang pernah dia miliki?)

"Setiap kali SB bangun, dia sama sekali tidak belajar apa pun yang tidak dia ketahui Minggu malam."

Ini tidak benar, yang merupakan kesalahan dalam argumen halfer. Satu hal yang menyulitkan untuk berdebat adalah, argumen halfer yang didasarkan pada pernyataan ini jarang diungkapkan dengan lebih keras daripada yang saya kutip.

Ada tiga masalah. Pertama, argumen itu tidak mendefinisikan apa artinya "informasi baru". Tampaknya berarti "Suatu peristiwa yang awalnya memiliki probabilitas tidak nol tidak mungkin terjadi berdasarkan bukti." Kedua, tidak pernah menyebutkan apa yang diketahui pada hari Minggu untuk melihat apakah itu sesuai dengan definisi ini; dan itu bisa, jika Anda melihatnya dengan benar. Akhirnya, tidak ada teorema yang mengatakan "jika Anda tidak memiliki informasi baru seperti ini, Anda tidak dapat memperbarui." Jika Anda memilikinya, Bayes Theorem akan menghasilkan pembaruan. Tetapi ini keliru untuk menyimpulkan, jika Anda tidak memiliki informasi baru ini, Anda tidak dapat memperbarui. Menjadi kesalahan tidak berarti itu tidak benar, itu berarti Anda tidak dapat membuat kesimpulan ini hanya berdasarkan bukti ini.

Pada Sunday Night, katakanlah SB menggulung dadu enam sisi imajinernya sendiri. Karena itu hanya imajiner, dia tidak bisa melihat hasilnya. Tetapi tujuannya adalah untuk melihat apakah itu cocok dengan hari dia bangun: angka genap berarti cocok dengan hari Senin, dan angka ganjil berarti hari Selasa. Tetapi tidak bisa cocok dengan keduanya, yang secara efektif membedakan dua hari.

SB sekarang dapat (yaitu, pada hari Minggu) menghitung probabilitas untuk delapan kemungkinan kombinasi {Heads / Tails, Senin / Selasa, Match / No Match}. Masing-masing akan 1/8. Tetapi ketika dia bangun, dia tahu bahwa {Heads, Tuesday, Match} dan {Heads, Tuesday, No Match} tidak terjadi. Ini merupakan "informasi baru" dari bentuk argumen setengah mengatakan tidak ada, dan memungkinkan SB untuk memperbarui probabilitas bahwa koin peneliti mendarat di kepala. Ini 1/3 apakah koin imajinernya cocok atau tidak dengan hari yang sebenarnya. Karena itu sama saja, 1/3 apakah dia tahu atau tidak ada kecocokan; dan nyatanya, apakah dia berguling atau tidak, membayangkan mati, mati.

Mati ekstra ini sepertinya banyak untuk dilalui untuk mendapatkan hasil. Sebenarnya, itu tidak perlu, tetapi Anda memerlukan definisi berbeda dari "informasi baru" untuk mengetahui alasannya. Pembaruan dapat terjadi kapan saja peristiwa signifikan (yaitu, independen dan bukan nol probabilitas) dalam ruang sampel sebelumnya berbeda dari peristiwa signifikan dalam ruang sampel posterior. Dengan begitu, penyebut rasio dalam Bayes Theorem bukan 1. Sementara ini biasanya terjadi ketika bukti membuat beberapa peristiwa memiliki probabilitas nol, itu juga dapat terjadi ketika bukti mengubah apakah peristiwa itu independen. Ini adalah interpretasi yang sangat ortodoks, tetapi berhasil karena Kecantikan diberikan lebih dari satu kesempatan untuk mengamati suatu hasil. Dan inti dari khayalan imajiner saya, yang membedakan hari-hari itu, adalah membuat sistem menjadi satu di mana probabilitas totalnya adalah 1.

Pada hari Minggu, SB tahu P (Sedarlah, Senin, Kepala) = P (Sedarlah, Senin, Ekor) = P (Sedar, Selasa, Ekor) = 1/2. Ini bertambah hingga lebih dari 1/2 karena acara tidak independen berdasarkan informasi yang dimiliki SB pada hari Minggu. Tapi mereka mandiri ketika dia bangun. Jawabannya, menurut Bayes Theorem, adalah (1/2) / (1/2 + 1/2 + 1/2) = 1/3. Tidak ada yang salah dengan penyebut yang lebih besar dari 1; tetapi argumen koin imajiner dirancang untuk mencapai hal-hal yang sama tanpa penyebut.

Saya baru saja kembali tersandung ini. Saya telah memperbaiki beberapa pemikiran saya sejak posting terakhir itu, dan berpikir saya mungkin menemukan audiens yang reseptif untuk mereka di sini.

Pertama, pada filosofi cara mengatasi kontroversi semacam itu: Katakan argumen A dan B ada. Masing-masing memiliki premis, urutan deduksi, dan hasil; dan hasilnya berbeda.

Cara terbaik untuk membuktikan satu argumen salah adalah dengan membatalkan salah satu dari deduksinya. Jika itu mungkin di sini, tidak akan ada kontroversi. Cara lain adalah menyangkal premis, tetapi Anda tidak dapat melakukannya secara langsung. Anda bisa berdebat mengapa Anda tidak percaya satu, tetapi itu tidak akan menyelesaikan apa pun kecuali Anda bisa meyakinkan orang lain untuk berhenti mempercayainya.

Untuk membuktikan bahwa premis salah secara tidak langsung, Anda harus membentuk urutan alternatif deduksi darinya yang mengarah pada absurditas atau kontradiksi premis. Cara yang salah adalah dengan berargumen bahwa hasil yang berlawanan melanggar premis Anda. Itu berarti ada yang salah, tetapi itu tidak menunjukkan yang mana.

+++++

Premis halfer adalah "tidak ada informasi baru." Urutan deduksi mereka kosong - tidak diperlukan. Pr (Heads | Sedarlah) = Pr (Heads) = 1/2.

Yang ketiga (khususnya, Elga) memiliki dua premis - yaitu Pr (H1 | Sedar dan Senin) = Pr (T1 | Sedar dan Senin), dan Pr (T1 | Sedar dan Ekor) = Pr (T2 | Sedar dan Ekor). Urutan deduksi yang tak terbantahkan kemudian mengarah ke Pr (Kepala | Sedar) = 1/3.

Perhatikan bahwa pihak ketiga tidak pernah menganggap ada informasi baru - tempat mereka didasarkan pada informasi apa pun yang ada - "baru" atau tidak - ketika SB bangun. Dan saya belum pernah melihat ada yang berdebat mengapa premis haus salah, kecuali bahwa itu melanggar hasil halfer. Jadi setengah tidak memberikan argumen yang valid saya cantumkan. Hanya yang salah.

Tetapi ada pengurangan lain yang mungkin dari "tidak ada informasi baru," dengan urutan pengurangan yang dimulai dengan Pr (Kepala | Sedar) = 1/2. Salah satunya adalah bahwa Pr (Kepala | Sedar dan Senin) = 2/3 dan Pr (Ekor | Sedar dan Senin) = 1/3. Ini memang bertentangan dengan premis yang lebih haus, tetapi seperti yang saya katakan, itu tidak membantu penyebab halfer karena masih mungkin premis mereka yang salah. Ironisnya, hasil ini membuktikan sesuatu - bahwa premis halfer bertentangan dengan dirinya sendiri. Pada hari Minggu, SB mengatakan Pr (Kepala | Senin) = Pr (Ekor | Senin), sehingga menambahkan informasi "Sedarlah" telah memungkinkannya untuk memperbarui probabilitas ini. Ini informasi baru.

Jadi saya telah membuktikan premis halfer tidak mungkin benar. Itu tidak berarti bahwa pihak ketiga benar, tetapi itu berarti bahwa setengah tidak memberikan bukti yang bertentangan.

+++++

Ada argumen lain yang menurut saya lebih meyakinkan. Ini tidak sepenuhnya asli, tapi saya tidak yakin apakah sudut pandang yang tepat telah cukup ditekankan. Pertimbangkan variasi percobaan: SB selalu terbangun di kedua hari; biasanya di ruangan yang dicat biru, tetapi pada hari Selasa setelah Kepala ada di ruangan yang dicat merah. Apa yang harus dia katakan probabilitas Kepala adalah, jika dia menemukan dirinya terjaga di kamar biru?

Saya tidak berpikir ada orang yang akan dengan serius berpendapat bahwa ini adalah 1/3. Ada tiga situasi yang bisa sesuai dengan situasi saat ini, semuanya sama-sama mungkin, dan hanya satu termasuk Kepala.

Poin yang menonjol adalah bahwa tidak ada perbedaan antara versi ini, dan versi aslinya. Apa yang dia "tahu" - "informasi barunya" - adalah bahwa itu bukan H2. Tidak masalah bagaimana, atau JIKA , dia akan tahu itu bisa H2 jika bisa. Kemampuannya untuk mengamati situasi yang dia tahu tidak berlaku tidak relevan jika dia tahu itu tidak berlaku.

Saya tidak bisa mempercayai premis halfer. Ini didasarkan pada fakta - bahwa dia tidak dapat mengamati H2 - itu tidak penting karena dia bisa, dan memang, mengamati bahwa itu bukan H2.

Jadi saya berharap bahwa saya telah memberikan argumen yang meyakinkan mengapa premis halfer tidak valid. Sepanjang jalan, saya tahu saya telah menunjukkan bahwa hasil haus harus benar.

Sepertiga dari kemungkinan bangun tidur adalah Kepala bangun tidur, dan dua pertiga dari kemungkinan bangun tidur adalah bangun tidur. Namun, setengah dari puteri (atau apa pun) adalah puteri Kepala, dan setengahnya adalah puteri Ekor. Putri-putri Ekor, secara perorangan dan agregat, mengalami bangun dua kali lebih banyak daripada putri-putri Kepala.

Dari perspektif sang putri, saat bangun tidur, ada tiga kemungkinan. Dia adalah putri Kepala yang bangun untuk pertama (dan hanya) waktu ( ), putri Ekor yang bangun untuk pertama kalinya ( ), atau putri ekor yang bangun untuk yang kedua kalinya ( ). Tampaknya tidak ada alasan untuk menganggap bahwa ketiga hasil ini memiliki kemungkinan yang sama besar. Sebaliknya , , dan .$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

Saya belum membaca alasan Vineberg, tapi saya pikir saya bisa melihat bagaimana dia sampai pada taruhan yang adil sebesar 1/3 . Misalkan setiap kali seorang putri terbangun, dia bertaruh bahwa dia adalah putri Kepala, menerima $ 1 jika dia memang putri Kepala, dan $ 0 sebaliknya. Kemudian putri Kepala akan menerima , dan putri Ekor akan menerima setiap kali dia bermain. Karena putri-putri Ekor harus bermain dua kali, dan karena setengah dari putri adalah Putri-putri Kepala, pengembalian yang diharapkan adalah , dan harga yang pantas adalah .$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

Biasanya ini akan menjadi bukti konklusif bahwa probabilitasnya adalah , tetapi alasan yang biasa tidak berlaku dalam kasus ini: para putri yang ditakdirkan untuk kehilangan taruhan wajib memainkan permainan dua kali, sedangkan mereka yang ditakdirkan untuk menang akan main sekali saja! Ketidakseimbangan ini memisahkan hubungan yang biasa antara probabilitas dan taruhan yang adil.$1/3$

(Di sisi lain, seorang teknisi yang ditugaskan untuk membantu proses bangun benar-benar hanya akan memiliki kesempatan sepertiga ditugaskan ke putri Kepala.)

Ketika Anda terbangun, sampai sejauh mana Anda harus percaya bahwa hasil lemparan koin adalah Kepala?

Apa yang Anda maksud dengan " harus "? Apa konsekuensi dari kepercayaan saya? Dalam percobaan seperti itu saya tidak akan percaya apa pun. Pertanyaan ini ditandai sebagai decision-theory, tetapi, cara eksperimen ini disusun, saya tidak memiliki insentif untuk membuat keputusan.

Kita dapat memodifikasi percobaan dengan berbagai cara, sehingga saya merasa cenderung untuk memberikan jawaban. Sebagai contoh, saya mungkin dapat menebak apakah saya terbangun karena "Kepala" atau "Ekor", dan saya akan mendapatkan permen untuk setiap jawaban yang benar yang saya berikan. Dalam kasus itu, jelas, saya akan memutuskan "Ekor", karena, dalam percobaan berulang, saya akan mendapatkan rata-rata satu permen per percobaan: Dalam 50% kasus, lemparannya adalah "Ekor", saya akan bangun dua kali dan saya akan mendapatkan permen dua kali. Dalam 50% lainnya ("Kepala") saya tidak akan mendapat apa-apa. Jika saya menjawab "Kepala", saya akan mendapatkan hanya setengah permen per percobaan, karena saya hanya akan mendapat satu kesempatan untuk menjawab dan saya akan benar 50% dari waktu. Jika saya sendiri melemparkan koin yang adil untuk jawabannya, saya akan$3/4$

Kemungkinan lain adalah mendapatkan permen untuk setiap percobaan yang semua jawaban saya benar. Dalam hal itu, tidak masalah jawaban sistematis mana yang saya berikan, karena, rata-rata, saya akan mendapatkan setengah permen per percobaan: Jika saya memutuskan untuk menjawab "Kepala" sepanjang waktu, saya akan benar dalam 50% dari kasus, dan yang sama berlaku untuk "Ekor". Hanya jika saya melemparkan koin sendiri, saya akan mendapatkan permen: Dalam 50% kasus para peneliti akan melemparkan "Kepala", dan dalam 50% darinya saya akan melemparkan "Kepala", juga, menghasilkan saya permen. Dalam 50% kasus lainnya, ketika para peneliti melemparkan "Ekor", saya harus melemparkan "Ekor" dua kali,$3/8$$1/4$$1/4$kasus, sehingga ini akan memberi saya hanya permen.$1/8$

bagaimana paradoks ini dapat diselesaikan dengan cara yang ketat secara statistik? Apakah ini mungkin?

Tentukan " cara yang ketat secara statistik ". Pertanyaan tentang kepercayaan tidak memiliki relevansi praktis. Hanya tindakan yang penting.

Pertanyaannya ambigu dan sepertinya hanya ada paradoks. Pertanyaannya diajukan seperti ini:

Ketika Anda terbangun, sampai sejauh mana Anda harus percaya bahwa hasil lemparan koin adalah Kepala?

Yang bingung dengan pertanyaan ini:

Ketika Anda terbangun, sampai sejauh mana Anda harus percaya bahwa Kepala adalah alasan Anda terbangun ?

Dalam pertanyaan pertama probabilitasnya adalah 1/2. Dalam pertanyaan kedua, 1/3.

Masalahnya adalah bahwa pertanyaan pertama dinyatakan, tetapi pertanyaan kedua tersirat dalam konteks percobaan. Mereka yang secara tidak sadar menerima implikasi mengatakan 1/3. Mereka yang membaca pertanyaan secara harfiah mengatakan itu 1/2.

Mereka yang bingung tidak yakin pertanyaan apa yang mereka tanyakan!

Saya sangat suka contoh ini tetapi saya berpendapat bahwa ada satu hal yang membuat bingung dengan beberapa gangguan gangguan.

Untuk menghindari gangguan gangguan, orang harus berusaha membedakan representasi diagram abstrak dari masalah yang jelas-jelas tidak diragukan (sebagai representasi yang memadai) dan dapat dimanipulasi secara diverifikasi (dimanipulasi ulang oleh orang lain yang berkualifikasi) untuk menunjukkan klaim. Sebagai contoh sederhana pikirkan sebuah persegi panjang (abstrak matematika) dan klaim bahwa itu dapat dibuat menjadi dua segitiga.

Gambarlah persegi panjang tangan bebas sebagai representasi dari persegi panjang matematika (dalam gambar Anda empat sudut tidak akan menambah tepat hingga 180 derajat dan garis yang berdekatan tidak akan persis sama atau lurus tetapi tidak akan ada keraguan nyata bahwa itu mewakili persegi panjang yang benar ). Sekarang memanipulasinya dengan menggambar garis dari satu sudut yang berlawanan ke sudut yang lain, yang bisa dilakukan orang lain dan Anda mendapatkan representasi dari dua segitiga yang tak seorang pun akan meragukannya. Pertanyaan apa pun bisa jadi kelihatannya omong kosong, hanya saja.

Poin yang saya coba buat di sini adalah bahwa jika Anda mendapatkan representasi keraguan SB yang masuk akal sebagai distribusi probabilitas gabungan dan dapat mengkondisikan pada peristiwa yang terjadi dalam percobaan dalam representasi ini - maka klaim apakah ada sesuatu yang dipelajari dengan peristiwa itu dapat ditunjukkan dengan manipulasi yang dapat diverifikasi dan tidak memerlukan diskusi atau pertanyaan (filosofis).

Sekarang saya lebih baik menyajikan upaya saya dan pembaca perlu melihat jika saya berhasil. Saya akan menggunakan pohon probabilitas untuk mewakili probabilitas gabungan untuk tidur siang dalam percobaan (DSIE), hasil flip koin pada hari Senin (CFOM) dan terbangun diberikan satu sedang tidur dalam percobaan (WGSIE). Saya akan menariknya (sebenarnya hanya menuliskannya di sini) dalam hal p (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM).

Saya ingin memanggil DSIE dan CFOM kemungkinan tidak diketahui dan WGSIE mungkin diketahui, maka p (DSIE, CFOM) adalah prior dan p (WGSIE | DSIE, CFOM) adalah model data atau kemungkinan dan teorema Bayes berlaku, tanpa label ini hanya probabilitas bersyarat yang secara logis adalah hal yang sama.

Sekarang kita tahu p (DSIE = Mon) + p (DSIE = sel) = 1 dan p (DSIE = sel) = ½ p (DSIE = Mon)

jadi p (DSIE = Sen) = 2/3 dan p (DSIE = Sel) = 1/3.

Sekarang P (CFOM = H | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = sel) = 1.

P (WGSIE | DSIE =., CFOM =.) Selalu sama dengan satu.

Sama dengan sebelumnya

P (DSIE = Sen, CFOM = H) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = Sen, CFOM = T) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = Sel, CFOM = T) = 1/3 * 1 = 1/3

Jadi marginal sebelum untuk CFOM = 1/3 H dan 2/3 T, dan posterior yang diberikan Anda terbangun saat tidur dalam percobaan - akan sama (karena tidak ada pembelajaran) - sehingga Anda sebelumnya adalah 2/3 T.

OK - di mana saya salah? Apakah saya perlu meninjau teori probabilitas saya?

Penjelasan sederhana untuk hal ini adalah bahwa ada 3 cara kecantikan tidur dapat membangunkan dua di antaranya dari lemparan Ekor. Jadi probabilitasnya harus 1/3 untuk kepala setiap kali dia bangun. Saya sudah menguraikannya dalam posting blog

Argumen utama terhadap sudut pandang "halfer" adalah sebagai berikut: Dalam pengertian bayesian, SB selalu mencari untuk melihat informasi baru apa yang dia miliki. Pada kenyataannya, saat dia memutuskan untuk mengambil bagian dalam percobaan, dia memiliki informasi tambahan bahwa ketika dia bangun itu mungkin di hari-hari. Atau dengan kata lain kurangnya informasi (menghapus ingatan) adalah apa yang memberikan bukti di sini, secara halus.

Karena banyak pertanyaan, itu tergantung pada arti sebenarnya dari pertanyaan itu:

Ketika Anda terbangun, sampai sejauh mana Anda harus percaya bahwa hasil lemparan koin adalah Kepala?

Jika Anda menafsirkannya sebagai "berapa peluang koin yang dilemparkan adalah Kepala", jelas jawabannya adalah "setengah peluang".

Tetapi yang Anda tanyakan bukan (dalam interpretasi saya) itu, tetapi "yang merupakan kesempatan bahwa kebangkitan saat ini disebabkan oleh seorang Kepala?". Dalam hal itu, jelas hanya sepertiga dari pencerahan disebabkan oleh seorang Kepala, jadi jawaban yang paling mungkin adalah "Buntut".

Ini pertanyaan yang sangat menarik. Saya akan memberikan jawaban saya seakan-akan kecantikan saya sedang tidur. Saya merasakan poin penting untuk dipahami adalah bahwa kami 100% mempercayai eksperimen.

1) Pada hari Minggu malam, jika Anda bertanya kepada saya seberapa besar kemungkinan koin itu berada, saya akan memberi tahu Anda .$\frac{1}{2}$

2) Setiap kali Anda membangunkan saya dan bertanya kepada saya, saya akan memberi tahu Anda .$\frac{1}{3}$

3) Ketika Anda memberi tahu saya bahwa ini adalah terakhir kali Anda membangunkan saya, saya akan segera beralih untuk memberi tahu Anda bahwa probabilitasnya adalah .$\frac{1}{2}$

Jelas (1) mengikuti dari fakta bahwa koin itu adil. (2) mengikuti dari fakta bahwa ketika Anda dibangunkan, Anda berada dalam salah satu dari 3 situasi yang kemungkinannya sama dari sudut pandang Anda. Masing-masing dapat terjadi dengan probabilitas .$\frac{1}{2}$

Kemudian (3) mengikuti dengan cara yang sama kecuali bahwa segera setelah Anda diberitahu ini adalah terakhir kali Anda terbangun, jumlah situasi Anda dapat runtuh menjadi 2 (seperti sekarang berekor dan ini menjadi pertama kalinya Anda berada bangun tidak mungkin).

Saya akan menyelesaikan masalah ini untuk kasus umum di mana SB dibangunkan ' ' kali setelah 'Kepala' dan ' ' kali setelah 'Ekor' dengan .n m ≤ $m$$n$$m≤n$

Khususnya, jika koin adalah 'Kepala', ia akan dibangunkan pada ...

hari 1
hari 2 hari
⋯ $\cdots$
$\cdots$
$m$

... dan jika koin adalah 'Ekor', dia akan dibangunkan pada ...

hari 1
hari 2 hari
⋯ $\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

Maka untuk pertanyaan khusus ini, akan menjadi dan . Saya tidak akan membuat asumsi, hanya akan menggunakan info yang diberikan bahwa koin itu adil, jadi sebelum bangun itu adalah Setelah SB bangun dia tidak tahu hari apa itu atau apakah dia terbangun sebelumnya. Dia hanya tahu koin yang adil dilemparkan dengan hasil yang mungkin 'Kepala' dan 'Ekor'. Dia juga tahu kebangkitan terjadi pada 'hari 1' atau 'hari 2' atau , atau 'hari '. Untuk kemungkinan hasil 'Head', ada ' ' kemungkinan hasil yang akan saya nama , , , .$m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$D_1$ : Kebangkitan ini terjadi pada 'hari 1' : Kebangkitan ini terjadi pada 'hari 2' : Kebangkitan ini terjadi pada 'hari 3' : Kebangkitan ini terjadi pada 'hari '
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

Untuk kemungkinan hasil 'Ekor', ada ' ' hasil yang mungkin termasuk ' ' hasil yang mungkin disebutkan di atas.$n$$m$

$D_1$ : Kebangkitan ini terjadi pada 'hari 1' : Kebangkitan ini terjadi pada 'hari ke-2' : Kebangkitan ini terjadi pada 'hari ke-3' : Kebangkitan ini terjadi pada 'hari ke- '
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

Jadi ada kemungkinan hasil . Sekarang mengingat koin telah mendarat 'Kepala', peristiwa , , , sama-sama mungkin. Karena itu ... Juga, mengingat koin telah mendarat 'Ekor', peristiwa , , , juga memiliki kemungkinan yang sama. Karenanya ... Sekarang, untuk setiap kejadian yang mungkin mana adalah bilangan bulat dan$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ untuk , itu jelas ... $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

Sekarang mari kita menghitung probabilitas dari kemungkinan peristiwa , , ,$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

untuk untuk$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

Sekarang kita bisa menghitung probabilitas 'Kepala' mengingat SB sudah bangun. Seperti yang dikatakan di atas, kemungkinan kejadian saat bangun adalah , , , . Oleh karena itu kemungkinannya adalah ...$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

Kami sudah memiliki jawabannya, tetapi mari kita juga menghitung probabilitas 'Kepala' atau 'Ekor' mengingat kebangkitan terjadi pada hari tertentu

untuk$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

untuk$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

Saya sadar ini bukan jawaban untuk mereka yang percaya dengan jawaban "1/3". Ini hanya penggunaan sederhana probabilitas kondisional. Jadi, saya tidak percaya masalah ini ambigu dan karena itu merupakan paradoks. Meskipun membingungkan bagi pembaca dengan membuat tidak jelas yang merupakan percobaan acak dan yang kemungkinan peristiwa percobaan tersebut.

Karena kecantikan yang tertidur tidak dapat mengingat berapa kali dia terbangun sebelumnya, kita tidak melihat probabilitas Kepala mengingat bahwa dia telah terbangun hanya sekali ini, tetapi probabilitas Kepala mengingat bahwa dia telah terbangun setidaknya sekali:

Jadi kita memiliki: dan bukan$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

Jadi jawabannya adalah 50% (setengah benar), dan tidak ada paradoks.

Orang-orang tampaknya membuat sejauh ini, jauh lebih kompleks daripada yang sebenarnya!

Non-statistik

Dalam semua kejujurannya yang menyenangkan, Sleeping Beauty dapat melakukan eksperimen hipotetis dalam tidurnya, yang akan membentuk keyakinannya:

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

Keluaran:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

Jadi Sleeping Beauty kita akan percaya bahwa lebih baik menebak-nebak.

Dan secara statistik?

Algoritma di atas bukan a statistically rigorous wayuntuk menentukan apa yang harus ditebak. Namun, itu membuat jelas sekali bahwa dalam kasus ekor, dia dapat menebak dua kali , sehingga menebak ekor dua kali lebih mungkin menjadi tebakan yang tepat. Ini mengikuti dari prosedur operasional percobaan.

Probabilitas Frequentist

Frequentist Probability adalah konsep statistik berdasarkan pada teori Fisher, Neyman dan (Egon) Pearson.

Gagasan dasar dalam Frequentist Probability adalah bahwa operasi dalam eksperimen dapat diulang, setidaknya secara hipotesis, dalam jumlah tak terbatas. Setiap operasi seperti mengarah ke hasil .$n$$E_{n}$

Probabilitas Frequentist dari hasil didefinisikan sebagai:$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

Inilah yang dilakukan Sleeping Beauty di kepalanya di atas: jika adalah kejadian yang tepat ketika menebak HEADS, maka konvergen ke .$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

Dan dia percaya?

Jadi ketika dia akhirnya tiba di sini dengan alasannya, dia memiliki alasan yang kuat secara statistik untuk dijadikan dasar kepercayaannya. Tapi bagaimana dia akhirnya akan membentuk mereka, sangat tergantung pada kejiwaannya.

Saya hanya memikirkan cara baru untuk menjelaskan poin saya, dan apa yang salah dengan jawaban 1/2. Jalankan dua versi percobaan secara bersamaan, menggunakan flip koin yang sama. Satu versi persis seperti aslinya. Di sisi lain, tiga (atau empat - tidak masalah) relawan dibutuhkan; masing-masing diberi kombinasi Kepala-atau-Ekor dan Senin-atau-Selasa yang berbeda (kombinasi Kepala + Selasa dihilangkan jika Anda hanya menggunakan tiga sukarelawan). Beri label masing-masing HM, HT, TM, dan TT (kemungkinan menghilangkan HT).

Jika seorang sukarelawan di versi kedua dibangunkan dengan cara ini, dia tahu dia kemungkinan besar telah diberi label HM, TM, atau TT. Dengan kata lain, probabilitas dia diberi label HM, mengingat dia sudah bangun, adalah 1/3. Karena flip koin dan hari sesuai dengan penugasan ini, ia dapat dengan mudah menyimpulkan bahwa P (Heads | Sedarlah) = 1/3.

Relawan di versi pertama bisa dibangunkan lebih dari sekali. Tetapi karena "hari ini" hanyalah salah satu dari dua hari yang memungkinkan, ketika dia bangun dia memiliki informasi yang persis sama dengan sukarelawan yang bangun di versi kedua. Dia tahu bahwa keadaannya saat ini dapat sesuai dengan label yang berlaku untuk satu, DAN SATU-SATUNYA , dari sukarelawan lainnya. Artinya, dia bisa mengatakan pada dirinya sendiri "baik sukarelawan berlabel HM, atau HT, atau TT juga terjaga. Karena masing-masing sama-sama mungkin, ada kemungkinan 1/3 itu adalah HM dan jadi 1/3 peluang koin mendarat ekor. "

Alasan orang membuat kesalahan adalah karena mereka bingung "kadang-kadang terjaga selama percobaan" dengan "sudah bangun sekarang." Jawaban 1/2 datang dari SB yang asli berkata pada dirinya sendiri "baik HM adalah satu-satunya sukarelawan yang terjaga SEKARANG , atau TM dan TT KEDUA terjaga SESUATU SELAMA PERCOBAAN . Karena setiap situasi sama-sama mungkin, ada peluang 1/2 itu adalah HM dan jadi peluang koin itu mendarat. " Ini adalah kesalahan karena hanya satu sukarelawan lain yang terjaga sekarang.

Daripada memberikan jawaban yang ketat secara statistik, saya ingin memodifikasi pertanyaan sedikit dengan cara yang dapat meyakinkan orang yang intuisi membuat mereka menjadi setengah.

Beberapa peneliti ingin membuat Anda tertidur. Bergantung pada lemparan rahasia koin yang adil, mereka akan membangunkan Anda sekali (Kepala) atau sembilan ratus sembilan puluh sembilan kali (Ekor). Setelah setiap kebangkitan mereka akan membuat Anda kembali tidur dengan obat yang membuat Anda melupakan kebangkitan itu.

Ketika Anda terbangun, keyakinan seperti apa yang harus Anda miliki bahwa hasil lemparan koin adalah Kepala?

Mengikuti logika yang sama seperti sebelumnya, mungkin ada dua kubu -

• Halfers - lemparan koin itu adil, dan SB tahu ini, jadi dia harus percaya bahwa ada kemungkinan setengah kepala.
• Seribu - jika percobaan diulang berkali-kali, lemparan koin akan menjadi kepala hanya satu dalam seribu kali, jadi dia harus percaya bahwa peluang kepala adalah satu dalam seribu.

Saya percaya bahwa beberapa kebingungan dari pertanyaan yang semula worded muncul hanya karena tidak ada banyak perbedaan antara setengah dan sepertiga. Orang-orang secara alami menganggap probabilitas sebagai konsep yang agak kabur (terutama ketika probabilitasnya adalah tingkat kepercayaan daripada frekuensi) dan sulit untuk membedakan antara tingkat keyakinan setengah dan sepertiga.

Namun, perbedaan antara setengah dan satu dalam seribu jauh lebih mendalam. Saya mengklaim bahwa secara intuitif akan lebih jelas bagi lebih banyak orang bahwa jawaban untuk masalah ini adalah satu dalam seribu, bukan setengah. Saya akan tertarik untuk melihat "halfer" membela argumen mereka menggunakan versi masalah ini sebagai gantinya.

Jika kecantikan tidur harus mengatakan kepala atau ekor - ia akan meminimalkan fungsi kehilangan 0-1 yang diharapkan (dievaluasi setiap hari) dengan memetik ekor. Namun, jika fungsi kerugian 0-1 hanya dievaluasi setiap percobaan maka kepala atau ekor akan sama baiknya.

Yang ketiga menang

Alih-alih koin, mari kita asumsikan dadu yang adil:

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

Setiap kali mereka bertanya padanya 'sampai sejauh mana Anda harus percaya bahwa hasil dari dadu adalah 1?'

Yang setengah akan mengatakan probabilitas dadu = 1 adalah 1/6 Yang ketiga akan mengatakan probabilitas dadu = 1 adalah 1/21

Tapi simulasi jelas memecahkan masalah:

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

Kami juga dapat mensimulasikan masalah lemparan

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

Paradoks yang tampak berasal dari premis yang salah bahwa probabilitas itu absolut. Bahkan, probabilitas relatif terhadap definisi peristiwa yang sedang dihitung.

Ini adalah poin penting untuk dipahami dalam pembelajaran mesin. Kita mungkin ingin menghitung probabilitas sesuatu (misalnya, transkripsi menjadi benar diberikan sepotong audio) melalui penguraiannya menjadi faktor (probabilitas surat pada berbagai waktu, ) dimodelkan oleh model yang terlihat tidak pada keseluruhan audio tetapi pada saat itu (menghitung ). dapat sama dengan karena P's didefinisikan secara berbeda . Perbedaan P tidak dapat dimasukkan ke dalam persamaan yang sama, tetapi analisis yang cermat dapat memungkinkan kita untuk mengkonversi antara dua domain.$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

Kedua P (Kepala) = 1/2 dunia wrt (atau kelahiran), dan P (Kepala) = 1/3 contoh wrt (atau terbangun) adalah benar, tetapi setelah ditidurkan Tidur Kecantikan hanya dapat menghitung probabilitas sehubungan dengan instans karena dia tahu ingatannya terhapus. (Sebelum tidur, dia akan menghitungnya sehubungan dengan dunia.)

Saya pikir kesalahannya adalah dari "pihak ketiga" dan alasan saya untuk ini adalah bahwa "kebangkitan" tidak mungkin sama - jika Anda bangun maka lebih mungkin menjadi "pertama kali" Anda terbangun - 75 % peluang sebenarnya.

Ini berarti Anda tidak dapat menghitung "3 hasil" (kepala1, ekor1, ekor2) secara merata.

Saya pikir ini juga tampaknya menjadi kasus mana adalah proposisi bahwa SB dibangunkan. Mengatakan sesuatu itu benar dua kali sama dengan mengatakannya sekali. SB belum diberi data baru, karena prediksi dari sebelumnya adalah . Cara lain untuk menempatkan itu adalah dan . Ini berarti$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

Matematika jelas ditunjukkan dalam jawaban yang diberikan oleh @ pit847, jadi saya tidak akan mengulanginya di milik saya.

tetapi, dalam hal bertaruh dolar untuk menebak hasilnya pada setiap kebangkitan dan Anda diberikan dolar jika Anda benar. Dalam hal ini, Anda harus selalu menebak ekor karena hasil ini "berbobot". Jika koin itu berekor, maka Anda akan bertaruh dua kali. jadi, laba yang Anda harapkan (sebut ini ) jika Anda menebak kepala adalah dan demikian pula untuk menebak ekor $1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

sehingga Anda mendapatkan rata-rata dari menebak. jumlah "taruhan adil" adalah$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

Sekarang jika kita mengulangi di atas tetapi menggunakan sepertiga alih-alih setengah, kita mendapatkan dan . jadi kita masih memiliki tebakan itu strategi yang lebih baik. Juga, jumlah "taruhan wajar" adalah$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

Sekarang kita dapat mengatakan bahwa "pihak ketiga" harus bertaruh dengan . Tetapi "setengah" tidak akan mengambil taruhan ini. @ Ytsen de Boer memiliki simulasi yang dapat kami uji. Kami memiliki kepala dan ekor, jadi ekor taruhan akan memberi Anda dalam taruhan yang dimenangkan. Tapi ... Anda harus bermain kali untuk mendapatkan ini - yang merupakan kerugian bersih - sehingga "pihak ketiga" kalah! juga perhatikan ini sebenarnya hasil yang sedikit menguntungkan untuk taruhan ekor.$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

Ketika Sleeping Beauty terbangun, dia tahu:

Sebuah koin yang adil dilemparkan untuk memberikan hasil ; jika maka ini adalah satu-satunya kebangkitan berikutnya; dan jika maka ini adalah salah satu dari dua kebangkitan berikutnya.$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

Panggil informasi ini . Tidak ada hal lain yang relevan dengan pertanyaannya, yaitu:$\mathcal{I}$

Apa itu$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

Ini adalah pertanyaan tentang menetapkan probabilitas, sebagai lawan untuk menyimpulkannya. Jika adalah jumlah kebangkitan, maka setara dengan $w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

yang secara logis setara dengan

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

Sleeping Beauty tidak memiliki informasi lebih lanjut. Dengan prinsip alasan yang tidak mencukupi, ia berkewajiban untuk menetapkan probabilitas untuk masing-masing yang terpisah. Karenanya, .$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

PS

Pada pemikiran detik, jawaban sebelumnya berlaku ketika "koin yang adil" ditafsirkan hanya berarti bahwa ada dua kemungkinan untuk hasil flip koin, atau . Tetapi mungkin interpretasi yang lebih setia dari frasa "koin yang adil" adalah bahwa ia menentukan secara langsung bahwa , dimana jawabannya diberikan dalam pernyataan masalah.$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

Dalam pandangan saya, bagaimanapun, pernyataan semacam ini secara teknis tidak dapat diterima, karena probabilitas adalah sesuatu yang harus dikerjakan dari proposisi sebelumnya dan konsekuen. Ungkapan "lemparan rahasia koin yang adil" menimbulkan pertanyaan: bagaimana Sleeping Beauty tahu itu adil? Informasi apa yang dimilikinya yang menetapkan hal itu? Biasanya keadilan dari koin ideal dihitung dari fakta bahwa ada dua kemungkinan yang setara secara informasi. Ketika flip koin dicampur dengan faktor wakening, kita mendapatkan tiga kemungkinan yang setara secara informasi. Ini pada dasarnya adalah koin ideal tiga sisi, jadi kami sampai pada solusi di atas.

Terlambat ke pesta, aku tahu.

Pertanyaan ini sangat mirip dengan masalah Monty Hall, di mana Anda diminta menebak di balik mana dari 3 pintu hadiahnya. Katakanlah Anda memilih Pintu No.1. Kemudian presenter (yang tahu di mana hadiahnya berada) menghilangkan Door No.3 dari game, dan menanyakan apakah Anda ingin mengubah tebakan Anda dari Door No1 ke Door No2, atau tetap dengan tebakan awal Anda. Ceritanya, Anda harus selalu beralih, karena ada kemungkinan lebih tinggi untuk hadiah berada di Pintu No2. Orang-orang biasanya bingung pada titik ini dan menunjukkan bahwa kemungkinan hadiah berada di salah satu pintu masih 1/3. Tapi bukan itu intinya. Pertanyaannya bukan berapa probabilitas awalnya, pertanyaan sebenarnya adalah berapa peluang tebakan pertama Anda benar, vs peluang apa yang salah. Dalam hal ini, Anda harus beralih, karena kemungkinan Anda salah melakukannya 2/3.

Seperti masalah Monty Hall, banyak hal menjadi lebih jelas jika kita membuat 3 pintu menjadi sejuta pintu. Jika ada satu juta pintu, dan Anda memilih Pintu No1, dan presenter menutup pintu dari 3 menjadi satu juta, hanya menyisakan Doors No1 dan Doors No2 dalam permainan, maukah Anda beralih? Tentu saja Anda akan! Kemungkinan Anda telah memilih Door No1 dengan benar di tempat pertama adalah 1 dalam sejuta. Kemungkinannya adalah Anda tidak.

Dengan kata lain, kesalahan dalam penalaran berasal dari keyakinan bahwa probabilitas melakukan suatu tindakan sama dengan probabilitas suatu tindakan yang telah dilakukan, ketika konteks antara keduanya tidak menjadikannya pernyataan yang setara. Frasa yang berbeda, tergantung pada konteks dan keadaan masalah, probabilitas 'memilih dengan benar' mungkin tidak sama dengan probabilitas 'telah memilih dengan benar'.

Begitu pula dengan masalah kecantikan tidur. Jika Anda tidak terbangun 2 kali dalam hal ekor, tetapi 1 juta kali, lebih masuk akal bagi Anda untuk mengatakan "kebangkitan saat ini yang saya alami sekarang jauh lebih mungkin menjadi salah satu dari mereka yang berada di tengah-tengah seberkas juta kebangkitan dari lemparan Tails, daripada saya yang kebetulan menabrak kebangkitan tunggal yang dihasilkan dari Kepala ". Argumen bahwa itu adalah koin yang adil tidak ada hubungannya dengan apa pun di sini. Koin yang adil hanya memberi tahu Anda apa peluang 'melempar' Kepala, yaitu kemungkinan harus bangun sekali dibandingkan satu juta kali, ketika Anda pertama kali melempar koin itu. Jadi, jika Anda bertanya pada SB sebelum percobaan untuk memilih apakah dia akan tidur sekali atau sejuta kali sebelum setiap lemparan, kemungkinannya untuk 'memilih dengan benar' memang 50%.

Tetapi sejak saat itu, dengan asumsi percobaan berurutan, dan fakta bahwa SB tidak diberi tahu eksperimen mana yang saat ini dia jalani, pada titik mana pun dia bangun, kemungkinan memiliki 'lempar' Kepala jauh lebih kecil, karena dia lebih mungkin menjadi terbangun dari salah satu dari jutaan pencerahan daripada dari satu.

Perhatikan bahwa ini menyiratkan percobaan berurutan, sesuai dengan ungkapan masalah. Jika SB diyakinkan dari awal percobaan bahwa hanya akan ada satu percobaan (yaitu hanya satu toin coss), maka kepercayaannya kembali ke 50%, karena pada titik waktu tertentu, fakta bahwa ia mungkin terbangun berkali-kali sebelum sekarang menjadi tidak relevan. Dengan kata lain, dalam konteks ini, probabilitas 'memilih dengan benar' dan 'telah memilih dengan benar' kembali menjadi setara.

Perhatikan juga, bahwa setiap pengulangan menggunakan 'taruhan', juga merupakan pertanyaan berbeda yang mengubah konteks sepenuhnya. Misalnya, bahkan dalam satu percobaan, jika Anda mendapatkan uang setiap kali Anda menebak dengan benar, Anda pasti akan mengejar; tetapi ini karena hadiah yang diharapkan lebih tinggi, bukan karena probabilitas ekor berbeda dari kepala. Oleh karena itu, setiap 'solusi' yang memperkenalkan taruhan hanya valid sejauh mereka meruntuhkan masalah menjadi interpretasi yang sangat khusus.

Sebelum SB tidur, dia percaya bahwa peluang koin balik berikutnya adalah 1/2. Setelah dia bangun, dia percaya bahwa peluang koin flip terakhir adalah 1/3. Peristiwa itu bukan hal yang sama karena tidak ada korespondensi satu ke satu antara kebangkitan dan membalik koin.

Bagaimana dengan solusi berikut:

Pertanyaannya adalah untuk menilai kemungkinan koin muncul "kepala". Jadi, jika Sleeping Beauty terbangun pada hari Senin dan tahu hari apa itu, dia memang harus percaya bahwa probabilitas "kepala" adalah 50%.

Namun, seandainya dia dibangunkan pada hari Selasa dan tahu pada hari itu, probabilitas koin yang muncul adalah nol.

Dengan demikian, pengetahuan tentang hari apa itu menambah informasi penting yang mengubah probabilitas "kepala".

The Sleeping Beauty, bagaimanapun, tidak tahu hari apa itu ketika dia bangun. Karena itu, kita perlu menentukan probabilitas untuk bangun pada hari Senin atau Selasa.

Pertama, mari kita pertimbangkan kemungkinan itu hari Selasa. Ketika eksperimen membalik koin, hasilnya memutuskan skenario percobaan yang akan ia ikuti. Jika itu kepala, SB terbangun hanya pada hari Senin. Jika itu ekor, dia terbangun pada hari Senin dan Selasa. Probabilitas percobaan yang mengambil salah satu jalur ini adalah 50/50 jelas. Sekarang, jika kita berada di cabang "dua-kebangkitan", kemungkinan itu adalah hari Selasa atau Senin ketika SB bangun keduanya 50%. Dengan demikian kita dapat menghitung probabilitas totalnya pada hari Selasa ketika SB bangun sebagai 0,5 * 0,5 = 0,25. Jelas kemudian, probabilitasnya adalah hari Senin ketika dia bangun adalah 1-0,25 = 0,75

Jika SB tahu bahwa dia bangun pada hari Selasa, kemungkinan koin itu muncul "kepala" akan menjadi nol.

Namun, jika dia tahu bahwa dia bangun pada hari Senin, kemungkinan koin itu muncul "kepala" akan menjadi 50%. Tetapi kita tahu bahwa kemungkinan hari Senin adalah 0,75. Jadi, untuk mengetahui probabilitas total koin yang muncul "kepala" kita perlu melipatgandakan 0,75 * 0,5 = 0,375

Jawabannya adalah, probabilitas bahwa koin muncul "kepala" adalah 37,5%

Di atas hanyalah sebuah saran. Tolong, tunjukkan, jika Anda melihat kekurangan dalam alasan saya.