Korelasi yang diperoleh untuk variabel acak lognormal

Pertimbangkan variabel acak lognormal dan dengan , dan .$X_1$$X_2$$\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$$\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

Saya mencoba menghitung dan untuk \ rho (X_1, X_2) . Satu langkah dalam solusi yang saya miliki adalah:$\rho_{\max}$$\rho_{\min}$$\rho (X_1,X_2)$

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ dan $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ ,

tetapi mereka telah membuat beberapa referensi untuk comonotonicity dan countercomonotonicity. Saya berharap seseorang membantu saya memahami bagaimana mereka relevan. (Saya tahu cara mendapatkan ini dari ekspresi umum tetapi ingin tahu secara khusus apa yang dikatakan bagian-bagian comonotonicity.)

Saya akan mulai dengan memberikan definisi comonotonicity dan countermonotonicity . Kemudian, saya akan menyebutkan mengapa ini relevan untuk menghitung koefisien korelasi minimum dan maksimum yang mungkin antara dua variabel acak. Dan akhirnya, saya akan menghitung batas-batas ini untuk variabel acak lognormal $X_1$ dan $X_2$ .

Comonotonicity dan countermonotonicity
Variabel acak $X_1, \ldots, X_d$ dikatakan comonotonic jika kopula mereka adalah Fréchet batas atas $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$ , yang merupakan yang terkuat jenis ketergantungan "positif".
Dapat ditunjukkan bahwa $X_1, \ldots, X_d$ adalah comonotonic jika dan hanya jika

$$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$$ mana $Z$ adalah beberapa variabel acak, $h_1, \ldots, h_d$ meningkatkan fungsi, dan $\stackrel{\mathrm{d}}{=}$menunjukkan kesetaraan dalam distribusi. Jadi, variabel acak komonotonik hanya fungsi dari variabel acak tunggal.

Variabel acak dikatakan countermonotonic jika kopula mereka adalah Fréchet lower bound , yang merupakan tipe terkuat dari ketergantungan "negatif" di kasus bivariat. Countermonotonocity tidak menggeneralisasi ke dimensi yang lebih tinggi. Dapat ditunjukkan bahwa adalah countermonotonic jika dan hanya jika mana adalah beberapa variabel acak, dan dan masing-masing merupakan fungsi yang meningkat dan menurun, atau sebaliknya.$X_1, X_2$ X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z h 1 h $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$

$$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$$ $Z$$h_1$$h_2$

Korelasi yang dapat
Biarkan dan menjadi dua variabel acak dengan varians yang benar-benar positif dan terbatas, dan biarkan dan menunjukkan koefisien korelasi minimum dan maksimum yang mungkin antara dan . Maka, bisa ditunjukkan ituX 2 ρ min ρ maks X 1 X $X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

• X 1 X ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$ jika dan hanya jika dan adalah countermonotonic;$X_1$$X_2$
• X 1 X ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$ jika dan hanya jika dan comonotonic.$X_1$$X_2$

Korelasi yang dapat diperoleh untuk variabel acak lognormal
Untuk mendapatkan kita menggunakan fakta bahwa korelasi maksimum diperoleh jika dan hanya jika dan adalah comonotonic. Variabel acak dan mana adalah comonotonic karena fungsi eksponensial adalah fungsi (ketat) yang meningkat, dan karenanya . X 1 X 2 X 1 = e Z X 2 = e σ Z Z ∼ N ( 0 , 1 ) ρ maks = c o r r ( e Z , e σ Z$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$X_1 = e^{Z}$$X_2 = e^{\sigma Z}$$Z \sim {\rm N} (0, 1)$$\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$

Menggunakan properti variabel acak lognormal , kami memiliki , , , , dan kovariansnya adalah Jadi, E ( e σ Z ) = e σ 2 / 2 v a r ( e Z ) = e ( e - 1 ) v a r ( e σ Z ) = e σ 2 ( e σ 2 - 1 ) c o v ( e ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$ρ

$$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Perhitungan serupa dengan menghasilkan ρ $X_2 = e^{-\sigma Z}$

$$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Komentar
Contoh ini menunjukkan bahwa ada kemungkinan untuk memiliki sepasang variabel acak yang sangat tergantung - comonotonicity dan countermonotonicity adalah jenis ketergantungan terkuat - tetapi yang memiliki korelasi yang sangat rendah. Bagan berikut menunjukkan batas-batas ini sebagai fungsi dari .$\sigma$

Ini adalah kode R yang saya gunakan untuk menghasilkan grafik di atas.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)