Apakah perbedaan antara nomor yang terdistribusi secara merata terdistribusi secara merata?

Kami menggulung dadu 6 sisi beberapa kali.

Menghitung selisih (nilai absolut) antara roll dan roll sebelumnya, apakah perbedaan diharapkan didistribusikan secara merata?

Untuk menggambarkan dengan 10 gulungan:

roll num  result diff
1           1     0
2           2     1
3           1     1
4           3     2
5           3     0
6           5     2
7           1     4
8           6     5
9           4     2
10          4     0

Apakah diffnilai - nilai akan terdistribusi secara seragam?

Tidak, itu tidak seragam

Anda dapat menghitung $36$ kemungkinan yang kemungkinan sama untuk perbedaan absolut

     second 1   2   3   4   5   6
first                           
1           0   1   2   3   4   5
2           1   0   1   2   3   4
3           2   1   0   1   2   3
4           3   2   1   0   1   2
5           4   3   2   1   0   1
6           5   4   3   2   1   0

yang memberikan distribusi probabilitas untuk perbedaan absolut

0    6/36  1/6
1   10/36  5/18
2    8/36  2/9
3    6/36  1/6
4    4/36  1/9
5    2/36  1/18

Dengan hanya menggunakan aksioma paling mendasar tentang probabilitas dan bilangan real, orang dapat membuktikan pernyataan yang jauh lebih kuat:

Perbedaan dari dua nilai acak independen dan terdistribusi secara identik $X-Y$ tidak pernahmemiliki distribusi seragam diskrit.

(Pernyataan analog untuk variabel kontinu dibuktikan pada Uniform PDF dari perbedaan dua rv .)

Idenya adalah bahwa peluang $X-Y$ adalah nilai ekstrim harus lebih kecil daripada peluang bahwa $X-Y$ adalah nol, karena hanya ada satu cara untuk (katakanlah) memaksimalkan $X-Y$ sedangkan ada banyak cara untuk membuat perbedaan nol , karena $X$ dan $Y$ memiliki distribusi yang sama dan oleh karena itu dapat sama satu sama lain. Berikut detailnya.

Pertama amati bahwa dua variabel hipotetis $X$ dan $Y$ dalam pertanyaan masing-masing dapat mencapai hanya sejumlah $n$ nilai dengan probabilitas positif, karena akan ada setidaknya $n$ perbedaan yang berbeda dan distribusi yang seragam memberikan mereka semua probabilitas yang sama. Jika $n$ tidak terbatas, maka akan menjadi jumlah perbedaan yang mungkin memiliki positif, probabilitas yang sama, di mana jumlah peluang mereka akan tak terbatas, yang tidak mungkin.

Selanjutnya , karena jumlah perbedaannya terbatas, akan ada yang terbesar di antara mereka. Perbedaan terbesar hanya dapat dicapai ketika mengurangi nilai terkecil dari $Y$ sebut saja $m$ dan anggap memiliki probabilitas $q = \Pr(Y=m)$ --dari nilai terbesar panggilan $X$ biarkan bahwa satu $M$ dengan $p = \Pr(X=M).$ Karena $X$ dan $Y$ bersifat independen, peluang perbedaan ini adalah produk dari peluang ini,

Akhirnya , karena $X$ dan $Y$ memiliki distribusi yang sama, ada banyak cara perbedaan mereka dapat menghasilkan nilai $0.$ Di antara cara ini kasus-kasus di mana $X=Y=m$ dan $X=Y=M.$ Karena distribusi ini nonconstant, $m$ berbeda dari $M.$Itu menunjukkan kedua kasus tersebut merupakan peristiwa terpisah dan oleh karena itu mereka harus berkontribusi setidaknya sejumlah $p^2 + q^2$ untuk kemungkinan bahwa $X-Y$adalah nol; itu adalah,

Karena kuadrat angka tidak negatif, $0 \le (p-q)^2,$ dari mana kita simpulkan dari $(*)$ yang

menunjukkan distribusi $X-Y$ tidak seragam, QED.

Edit dalam menanggapi komentar

Analisis serupa dari perbedaan absolut $|X-Y|$mengamati bahwa karena $X$ dan $Y$ memiliki distribusi yang sama, $m=-M.$Ini mengharuskan kita untuk mempelajari $\Pr(X-Y=|M-m|) = 2pq.$Teknik aljabar yang sama menghasilkan hasil yang hampir sama, tetapi ada kemungkinan bahwa $2pq=2pq+(p-q)^2$ dan$2pq+p^2+q^2=1.$ Bahwa sistem persamaan memiliki unik solusi$p=q=1/2$ sesuai dengan koin yang adil (a "dua sisi die"). Terlepas dari pengecualian ini, hasil untuk perbedaan absolut adalah sama dengan perbedaan, dan untuk alasan mendasar yang sama yang telah diberikan: yaitu, perbedaan absolut dari dua variabel acak iid tidak dapat didistribusikan secara seragam setiap kali ada lebih dari dua perbedaan perbedaan dengan probabilitas positif.

(akhir suntingan)

Mari kita terapkan hasil ini pada pertanyaan, yang menanyakan tentang sesuatu yang sedikit lebih rumit.

Model setiap roll independen dari die (yang mungkin mati tidak adil ) dengan variabel acak $X_i,$ $i=1, 2, \ldots, n.$ Perbedaan yang diamati dalam $n$ roll ini adalah angka $\Delta X_i = X_{i+1}-X_i.$ Kita mungkin bertanya-tanya seberapa merata angka-angka $n-1$ ini. Itu benar-benar pertanyaan tentang ekspektasi statistik: berapa jumlah yang diharapkan dari $\Delta X_i$ that are equal to zero, for instance? What is the expected number of $\Delta X_i$ equal to $-1$? Etc., etc.

The problematic aspect of this question is that the $\Delta X_i$ are not independent: for instance, $\Delta X_1 = X_2-X_1$ and $\Delta X_2 = X_3 - X_2$ involve the same roll $X_2.$

However, this isn't really a difficulty. Since statistical expectation is additive and all differences have the same distribution, if we pick any possible value $k$ of the differences, the expected number of times the difference equals $k$ in the entire sequence of $n$ rolls is just $n-1$ times the expected number of times the difference equals $k$ in a single step of the process. That single-step expectation is $\Pr(\Delta X_i = k)$ (for any $i$). These expectations will be the same for all $k$ (that is, uniform) if and only if they are the same for a single $\Delta X_i.$$\Delta X_i$ has a uniform distribution, even when the die might be biased. Thus, even in this weaker sense of expected frequencies, the differences of the rolls are not uniform.

On an intuitive level, a random event can only be uniformly distributed if all of its outcomes are equally likely.

Is that so for the random event in question -- absolute difference between two dice rolls?

It suffices in this case to look at the extremes -- what are the biggest and smallest values this difference could take?

Obviously 0 is the smallest (we're looking at absolute differences and the rolls can be the same), and 5 is the biggest (6 vs 1).

We can show the event is non-uniform by showing that 0 is more (or less) likely to occur than 5.

At a glance, there are only two ways for 5 to occur -- if the first dice is 6 and the second 1, or vice versa. How many ways can 0 occur?

As presented by Henry, differences of uniformly distributed distributions are not uniformly distributed.

To illustrate this with simulated data, we can use a very simple R script:

barplot(table(sample(x=1:6, size=10000, replace=T)))

We see that this produces indeed a uniform distribution. Let's now have a look at the distribution of the absolute differences of two random samples from this distribution.

barplot(table(abs(sample(x=1:6, size=10000, replace=T) - sample(x=1:6, size=10000, replace=T))))

Others have worked the calculations, I will give you an answer that seems more intuitive to me. You want to study the sum of two unifrom r.v. (Z = X + (-Y)), the overall distribution is the (discrete) convolution product :

This sum is rather intuitive : the probability to get $z$, is the sum of the probabilities to get something with X (noted $k$ here) and the complement to $z$ with -Y.

From signal processing, we know how the convolution product behave:

• The convolution product of two uniform function (two rectangles) will give a triangle. This is illustrated by wikipedia for continuous functions:

• You can understand what happen here : as $z$ move up (the vertical dotted line) the common domain of both rectangle move up then down, which correspond to the probability to get $z$.

• More generally we know that the only functions that are stable by convolution are those of the gaussian familly. i.e. Only gaussian distribution are stable by addition (or more generally, linear combination). This is also meaning that you don't get a uniform distribution when combining uniform distributions.

As to why we get those results, the answer lies in the Fourrier decomposition of those functions. The Fourrier transformation of a convolution product being the simple product of the Fourrier transformations of each function. This give direct links between the fourrier coefficients of the rectangle and triangle functions.

If $x$ and $y$ are two consecutive dice rolls, you can visualize $|x-y| = k$ (for $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$) as follows where each color corresponds to a different value of $k$:

As you can easily see, the number of points for each color is not the same; therefore, the differences are not uniformly distributed.

Let $D_t$ denote the difference and $X$ the value of the roll, then $P(D_t = 5) = P(X_t = 6, X_{t-1} = 1) < P((X_t, X_{t-1}) \in \{(6, 3), (5, 2)\}) < P(D_t = 3)$

So the function $P(D_t = d)$ is not constant in $d$. This means that the distribution is not uniform.