Apakah nilai fungsi kerapatan probabilitas untuk input yang diberikan adalah titik, rentang, atau keduanya?

Posting ini mengatakan

PDF digunakan untuk menentukan probabilitas dari variabel acak yang berada dalam rentang nilai tertentu, sebagai lawan dari mengambil satu nilai.

Apakah itu benar

ini adalah PDF dari distribusi normal standar.

φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

tancapkan x = 0 ke rumus di atas, saya bisa mendapatkan probabilitas mengambil satu nilai.

Apakah posting itu berarti PDF dapat digunakan untuk titik dan interval?

distributions terminology

— yaojp
sumber

Jawaban ini oleh whuber masuk ke lebih detail tentang bagaimana menafsirkan nilai PDF pada titik tertentu.

— COOLSerdash

Selamat Datang di CV yaojp. Saya menduga notasi mungkin memainkan peran dalam kebingungan Anda: fungsi adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standar yang secara eksplisit merupakan integral dari to sehingga probabilitas bukan nolnya harus berasal dari interval. .

φ (x)

$\varphi(x)$

- \infty

$-\infty$

x

$x$

— Alexis

Anda juga dapat menafsirkan kerapatan dengan cara berikut: untuk interval yang sangat kecil berlaku:

[x - ϵ, x + ϵ]

$[x-\epsilon, x+\epsilon]$

P (X \in [x - ϵ, x + ϵ]) \approx 2 ϵ f (x)

$P(X \in [x-\epsilon,x+\epsilon]) \approx 2\epsilon f(x)$

— Sebastian

Jawaban:

Kutipan itu benar. Ketika Anda memasukkan ke fungsi PDF, Anda TIDAK mendapatkan probabilitas untuk mengambil nilai khusus ini. Angka yang dihasilkan adalah densitas probabilitas yang bukan probabilitas. Probabilitas mengambil tepat adalah nol (pertimbangkan jumlah tak terhingga dari nilai yang kemungkinan sama dalam interval kecil ). $x=0$ $x=0$ $x\in[0,10^{-100}]$

Untuk lebih meyakinkan diri Anda bahwa ini tidak bisa menjadi probabilitas, pertimbangkan untuk mengurangi deviasi standar distribusi normal Anda dari ke . Sekarang, - lebih dari satu. Bukan probabilitas. $\varphi(x)$ $\sigma = 1$ $\sigma = \frac{1}{100}$ $\varphi(0)=\frac{100}{\sqrt{2\pi}}$

— Trisoloriansunscreen
sumber

Terima kasih atas jawaban anda. Untuk apa untuk? Apakah ini diskrit? Tolong beri notasi, kira-kira seperti ?

x \in [{0..10}^{- 100}]

$x\in[0..10^{-100}]$

{0, . . ., 10^{- 99}, 10^{- 100}}

$\{0, ..., 10^{-99}, 10^{-100}\}$

— yaojp

Maaf tentang notasi yang ceroboh. Terus menerus, tidak terpisah - semua angka antara 0 dan . Intinya adalah bahwa jika adalah probabilitas untuk mengambil satu nilai tertentu, probabilitas total untuk interval kecil ini adalah tak terhingga.

10^{- 100}

$10^{-100}$

φ (x)

$\varphi(x)$

— Trisoloriansunscreen

+1 Selamat datang di CV, @Trisoloriansunscreen. Saya terhibur dengan nama Anda, dengan asumsi seperti saya, bahwa itu merujuk trilogi Cixin Liu?

— Alexis

@Alexis, benar :)

— Trisoloriansunscreen

Menguraikan sedikit tentang jawaban Trisoloriansunscreen : sangat benar bahwa Anda hanya mendapatkan fungsi kepadatan probabilitas . Saya ingin menggambar analogi untuk Anda. Bayangkan Anda memiliki objek 3D, katakan beberapa pesawat ruang angkasa yang kompleks, dan Anda tahu kepadatan massa di setiap titik.

Sebagai contoh, beberapa bagian dari pesawat ruang angkasa mungkin mengandung air, yang memiliki massa massa . Apakah ini sudah memberi tahu Anda tentang massa seluruh pesawat ruang angkasa? Tidak! Justru karena Anda hanya mengetahui nilai ini pada titik tertentu. Anda tidak mendapat informasi tentang seberapa banyak air sebenarnya. Mungkin atau . $997 \frac{\text{g}}{\text{l}}$ $1\ \text{ml}$ $1\ \text{l}$

Sekarang anggaplah Anda tahu jumlah air, katakanlah . Dengan perkalian sederhana , Anda mendapatkan kira-kira . Saya ingin menegaskan bahwa Anda baru saja melakukan integrasi secara tersamar! Perhatikan gambar berikut: $2\ \text{l}$ $997 \frac{\text{g}}{\text{l}} \cdot 2\ \text{l}$ $1994\ \text{g}$

Massa yang Anda hitung hanyalah area persegi panjang berarsir hijau. Ini hanya bisa dilakukan sebagai perkalian sederhana karena kerapatan massa konstan untuk jumlah air yang dipertimbangkan dan dengan demikian menghasilkan area persegi panjang.

Bagaimana jika Anda memiliki bentuk campuran air, misalnya beberapa gas, beberapa cairan, beberapa di berbagai suhu dan sebagainya? Itu bisa terlihat seperti ini:

Sekarang untuk menghitung massa, Anda perlu mengintegrasikan fungsi kepadatan massa di atas jumlah air. Apakah Anda melihat fungsi kepadatan paralel dengan probabilitas sekarang? Untuk mendapatkan probabilitas aktual (lih. Massa) Anda perlu mengintegrasikan densitas probabilitas (lih. Massa) di beberapa domain.

— ComFreek
sumber

@Downvoter: Bisakah Anda memasukkan umpan balik yang membangun dalam komentar? :)

— ComFreek