Dapatkah distribusi probabilitas memiliki standar deviasi tak terbatas?

aku percaya $p[x]$ adalah distribusi probabilitas, di mana

hal [x] = \frac{1}{π (1 + x^{2})}

$\begin{equation} p[x] = \frac{1}{\pi (1+x^2)} \end{equation}$

karena positif di mana-mana dan terintegrasi ke 1 $-\infty, \infty$ .

Mean adalah 0 oleh simetri, meskipun berintegrasi $xp[x]$ di $-\infty, \infty$ tidak bertemu. Ini "mencurigakan" sejak itu $p[x]$ seharusnya menjadi distribusi probabilitas, tetapi masuk akal karena $xp[x]$ adalah $O(1/x)$ yang dikenal menyimpang.

Masalah yang lebih besar adalah dalam menghitung standar deviasi. Sejak $x^2 p[x]$ juga menyimpang, sejak $x^2 p[x]$ adalah $O(1)$ .

Jika ini bukan distribusi probabilitas, mengapa tidak? Jika ya, apakah deviasi standarnya tidak terbatas?

Fungsi distribusi kumulatif adalah $\arctan[x]/\pi$ jika itu membantu.

Seseorang menyebutkan ini mungkin distribusi gamma, tetapi itu tidak jelas bagi saya.

distributions standard-deviation

— barrycarter
sumber

@ user1566: Saya memformat persamaan Anda menggunakan LaTex. Apakah Anda memeriksa ulang bahwa saya tidak membuat kesalahan?

— csgillespie

Terima kasih, masalahnya selesai, jadi bukan masalah besar lagi, tapi, ya, semuanya terlihat OK.

— barrycarter

Rata-rata seorang Cauchy bukanlah nol. Sebenarnya, itu tidak ada. Jadi, tidak ada momen sentralnya.

— kardinal

jawaban saya untuk pertanyaan terkait dapat ditemukan di sini. stats.stackexchange.com/questions/232967/…

— Haitao Du

Untuk menjawab judul pertanyaan Anda: Ya, distribusi probabilitas dapat memiliki standar deviasi tak terbatas (lihat di bawah).

Contoh Anda adalah kasus khusus dari distribusi Cauchy yang mean atau variansnya tidak ada. Atur parameter lokasi ke 0 dan skala ke 1 untuk Cauchy untuk sampai ke pdf Anda.

Ada perbedaan antara mean dan varians yang tidak ada dan mereka tidak terbatas.

— kardinal

Distribusi Cauchy tidak memiliki mean atau varian, di mana integral tidak bertemu dengan apa pun di $[-\infty,\infty]$ . Namun, distribusi suka $f(x)=\frac{2}{x^3}$ di $[1,\infty)$ memiliki mean, tetapi standar deviasi tidak terbatas.

— Alex R.
sumber