Distribusi Posterior untuk Regresi Linier Bayesian

Saya telah meneliti penggunaan regresi linier Bayesian, tetapi saya telah sampai pada contoh yang saya bingung.

Diberikan model:

$${\bf y} = {\bf \beta}{\bf X} + \bf{\epsilon}$$

Anggap saja dan ,${\bf \epsilon} \sim N(0, \phi I)$$p(\beta, \phi) \propto \frac{1}{\phi}$

Bagaimana cara mencapai ?$p(\beta|\phi, {\bf y})$

Di mana: .$p(\beta|\phi, {\bf y}) \sim N({\bf X}^{\text{T}}{\bf X})^{-1}{\bf X}^{\text{T}}{\bf y}, \phi ({\bf X}^{\text{T}}{\bf X})^{-1})$

Formula akhir Anda tidak memiliki tanda kurung kiri.

Ini adalah masalah standar yang tidak membutuhkan pekerjaan yang sulit. Halaman wikipedia tentang regresi Bayesian memecahkan masalah yang lebih sulit; Anda harus dapat menggunakan trik yang sama (yang pada dasarnya hanya merupakan bentuk melengkapi kuadrat, karena Anda menginginkannya dalam hal untuk beberapa dan ), dengan persyaratan yang lebih sedikit untuk dikhawatirkan. Artinya, Anda mendapatkan sesuatu seperti ini:$(\beta - m)' V^{-1} (\beta - m)$$m$$V$

$$\begin{align}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \boldsymbol\beta)^{\rm T}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \boldsymbol\beta)&= (\boldsymbol\beta - \hat{\boldsymbol\beta})^{\rm T}(\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})(\boldsymbol\beta - \hat{\boldsymbol\beta}) + \mathbf{S} \end{align}$$

dimana

$$\begin{align}\mathbf{S} = (\mathbf{y}- \mathbf{X} \hat{\boldsymbol\beta})^{\rm T}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \hat{\boldsymbol\beta})\end{align}$$

dalam eksponen.

Lihat juga referensi di artikel wikipedia.

Jika ini untuk beberapa subjek, harap tandai sebagai pekerjaan rumah.