Distribusi dengan

Apakah ada informasi di luar sana tentang distribusi yang $n$ cumulant th diberikan oleh $\frac 1 n$ ? Fungsi penghasil kumulant adalah dalam bentuk

κ (t) = \int_{0}^{1} \frac{e^{t x} - 1}{x} d x .

$\kappa(t) = \int_0 ^ 1 \frac{e^{tx} - 1}{x} \ dx.$ Saya telah menjalankannya sebagai distribusi terbatas dari beberapa variabel acak tetapi saya belum dapat menemukan informasi tentang itu.

distributions mgf cumulants

— orang
sumber

Saya tidak dapat melihat bahwa fungsi ini

Anda berikan memiliki properti yang diklaim! Anda harus merevisi pekerjaan Anda. Mendekati eksponensial n integran mendekati nol dengan

, integran mendekati nol menjadi

, begitu juga divergen. Sehingga integral itu tidak bisa mewakili fungsi pembangkit kumulant.

κ (t)

$\kappa(t)$

1 + t x

$1+tx$

t / x

$t/x$

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen tidak yakin saya ikuti. Mendekati

dengan

memberikan

e^{t x}

$e^{tx}$

1 + t x

$1 + tx$

untuk integrand. Juga, menurutinifungsi yang saya berikan memiliki integral yang diketahui dalam hal hiperbolik cosinus dan integral sinus. Untuk menunjukkan bahwa

memiliki properti mengaku hanya melakukan serangkaian Taylor penuh sekitar

untuk

dan mendorong terpisahkan melalui penjumlahan untuk mendapatkan seri Taylor untuk

sekitar

\frac{t x}{x} = t

$\frac{tx}{x} = t$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

e^{t x}

$e^{tx}$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

— pria

sympy mengatakan integralnya berbeda (dengan cara eksentriknya sendiri!). Tapi sympy pasti salah, saya mengerti sekarang, bereksperimen dengan beberapa integrasi numerik, dan berfungsi dengan baik. Akan coba lagi.

— kjetil b halvorsen

Melihat hasil alfabet Wolphram, itu juga tidak bisa benar, ia memiliki batas non-nol ketika t mendekati nol, sementara

jelas.

κ (0) = 0

$\kappa(0)=0$

— kjetil b halvorsen

Saya percaya ini benar-benar berkelanjutan pada

. Ini direalisasikan sebagai batas variabel acak Poisson kompoud; sebagai

Poisson majemuk dengan nilai

(0, \infty)

$(0, \infty)$

n \to \infty

$n \to \infty$

dan kepadatan distribusi lompat

\int_{1 / n}^{1} \frac{1}{x} d x

$\int_{1/n}^1 \frac 1 x \ dx$

konvergen lemah untuk distribusi ini.

f_{n} (x) \propto \frac{1}{x} I (1 / n < x < 1)

$f_n(x) \propto \frac 1 x I(1/n < x < 1)$

— pria

Mengetahui nilai-nilai kumulans memungkinkan kita untuk mendapatkan gambaran tentang bagaimana grafik distribusi probabilitas ini akan terlihat. Mean dan varians dari distribusi adalah

E [Y] = κ_{1} = 1, Var [Y] = κ_{2} = \frac{1}{2}

$E[Y] = \kappa_1 =1, \;\; \text{Var}[Y] = \kappa_2 = \frac 12$

sedangkan koefisien miring dan kelebihan kurtosis adalah

γ_{1} = \frac{κ_{3}}{(κ_{2})^{3 / 2}} = \frac{(1 / 3)}{(1 / 2)^{3 / 2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

$\gamma_1 = \frac{\kappa_3}{(\kappa_2)^{3/2}} = \frac{(1/3)}{(1/2)^{3/2}} = \frac{2\sqrt 2}{3}$

γ_{2} = \frac{κ_{4}}{(κ_{2})^{2}} = \frac{(1 / 4)}{(1 / 2)^{2}} = 1

$\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{(\kappa_2)^{2}} = \frac{(1/4)}{(1/2)^{2}} = 1$

Jadi ini bisa menjadi grafik yang tampak akrab dari variabel acak positif yang menunjukkan kemiringan positif. Adapun menemukan distribusi probabilitas, pendekatan pengrajin ini bisa untuk menentukan distribusi probabilitas diskrit generik, mengambil nilai-nilai dalam , dengan probabilitas yang sesuai $\{0,1,...,m\}$ , dan kemudian menggunakan kumulans untuk menghitung momen mentah, dengan tujuan membentuk sistem persamaan linear dengan probabilitas yang tidak diketahui. Cumulants terkait dengan momen mentah oleh $\{p_0,p_1,...,p_m\},\; \sum_{k=0}^mp_k =1$ Dipecahkan untuk lima momen mentah pertama yang diberikan (nilai numerik pada akhir khusus untuk kumulans dalam kasus kami)

κ_{n} = μ_{n}^{'} - \sum_{i = 1}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) κ_{i} μ_{n - i}^{'}

$\kappa_n=\mu'_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n-1 \choose i-1}\kappa_i \mu_{n-i}'$

\begin{aligned} μ_{1}^{'} = & κ_{1} = 1 \\ μ_{2}^{'} = & κ_{2} + κ_{1}^{2} = 3 / 2 \\ μ_{3}^{'} = & κ_{3} + 3 κ_{2} κ_{1} + κ_{1}^{3} = 17 / 6 \\ μ_{4}^{'} = & κ_{4} + 4 κ_{3} κ_{1} + 3 κ_{2}^{2} + 6 κ_{2} κ_{1}^{2} + κ_{1}^{4} = 19 / 3 \\ μ_{5}^{'} = & κ_{5} + 5 κ_{4} κ_{1} + 10 κ_{3} κ_{2} + 10 κ_{3} κ_{1}^{2} + 15 κ_{2}^{2} κ_{1} + 10 κ_{2} κ_{1}^{3} + κ_{1}^{5} = 243 / 15 \end{aligned}

$\begin{align} \mu'_1=&\kappa_1 =1\\ \mu'_2=&\kappa_2+\kappa_1^2=3/2\\ \mu'_3=&\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3=17/6\\ \mu'_4=&\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4=19/3\\ \mu'_5=&\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2+10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1+10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5=243/15\\ \end{align}$ If we (momentarily) set

m = 5

$m=5$ we have the system of equations

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{5} p_{k} = & 1, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k = 1 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{2} = & 3 / 2, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{3} = 17 / 6 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{4} = & 19 / 3, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{5} = 243 / 15 \\ s . t . p_{k} \geq 0 \forall k \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^5p_k=&1,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk=1\\ \sum_{k=0}^5p_kk^2=&3/2,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^3=17/6\\ \sum_{k=0}^5p_kk^4=& 19/3 ,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^5= 243/15\\ &s.t. p_k\ge 0 \;\;\forall k\\ \end{align}$

Of course we do not want $m$ to be equal to $5$ . But increasing gradually $m$ (and obtaining the value of the subsequent moments), we should eventually reach a point where the solution for the probabilities stabilizes. Such an approach cannot be done by hand -but I have neither the software access, nor the programming skills necessary to perform such a task.

— Alecos Papadopoulos
sumber

This is cool. Maybe I could do some kind of Edgeworth expansion as well? Actually, I have an idea of what the density looks like already (assuming it exists) since I can simulate directly from it. It is very strange - it looks uniform over some range

(0, a)

$(0, a)$ and then on

(a, \infty)

$(a, \infty)$ it decays with something like an exponential tail (it's been a long time since I did the simulation).

— guy

Thanks. Of course you can always perform an Edgworth expansion based on the cumulants, but I wonder how well it will perform, given the strange shape you describe. It would be interesting to contrast the two.Can you tell me the value for

a

$a$ ?

— Alecos Papadopoulos

Dug up my old code and found

a \approx 1

$a \approx 1$ . If

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ then

[Y ∣ Y < 1]

$[Y \mid Y < 1]$ is approximatey

U (0, 1)

$\mathcal U(0, 1)$ and

[Y - 1 ∣ Y > 1]

$[Y - 1\mid Y > 1]$ is approximately gamma distributed with shape

1.4

$1.4$ and mean

0.64

$0.64$ .

— guy

What do you mean by

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ ?

— Alecos Papadopoulos

So what does the pdf look like then? As for fitting by moments, is the fit 'robust' and 'stable' as one increases the number of moments used (4, 5, 6, 7 or 8 etc), or is it all over the place?

— wolfies