Jumlah variabel acak Binomial dan Poisson

Jika kita memiliki dua variabel acak independen dan , berapakah probabilitas fungsi massa ? $X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$ $X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$ $X_1 + X_2$

NB Ini bukan pekerjaan rumah bagi saya.

— Matteo Fasiolo
sumber

Saya kira Anda mencoba berbelit-belit? en.wikipedia.org/wiki/… Di mana Anda terjebak? Saya berasumsi tidak ada formulir tertutup, jika tidak solusinya mungkin ada di sini: en.wikipedia.org/wiki/…

— Stephan Kolassa

Ya itulah yang saya coba, tapi mungkin saya telah menemukan jawaban di sini: mathstatica.com/SumBinomialPoisson Kummer confluent function hypergeometric..hugh!

— Matteo Fasiolo

Saya telah membaca tag pekerjaan rumah sesuai dengan penggunaannya di situs ini . Bersulang. :-)

— kardinal

Novel berarti baru (tidak dikenal atau diterbitkan sebelumnya). Saya juga tidak setuju bahwa menggunakan metode yang diketahui untuk memecahkan masalah baru menjadikannya pekerjaan rumah - hal yang sama dapat dikatakan untuk sebagian besar artikel jurnal yang mempublikasikan hasil distribusi.

— serigala

Seperti dalam banyak kasus lain dalam statistik di mana fungsi hypergeometrik muncul dengan argumen integral, Anda dapat memahaminya sebagai notasi singkat untuk jumlah implisit (terbatas) dalam konvolusi jika Anda mau. Keuntungan dari ungkapan semacam itu adalah bahwa ada banyak cara untuk memanipulasinya menjadi bentuk yang lebih sederhana dan sering dapat dievaluasi tanpa benar-benar melakukan penjumlahan.

— whuber

Jawaban:

Anda akan berakhir dengan dua rumus berbeda untuk , satu untuk , dan satu untuk $p_{X_1+X_2}(k)$ $0 \leq k < n$ . Cara termudah untuk melakukan masalah ini adalah untuk menghitung produk dan . Kemudian, adalah koefisien $k \geq n$ $\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$ $\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$ $p_{X_1+X_2}(k)$ dalam produk. Tidak ada penyederhanaan jumlah. $z^k$

— Dilip Sarwate
sumber

P (X_{1} + X_{2} = k) = \sum_{x_{1} = 0}^{min (n, k)} (\binom{n}{x_{1}}) p^{x_{1}} (1 - p)^{n - x_{1}} e^{- λ} \frac{λ^{k - x_{1}}}{(k - x_{1})!} = \frac{{(1 - p)}^{n} e^{- λ} λ^{k}}{Γ (k + 1)}_{2} F_{0} (- k, - n;; - \frac{p}{(p - 1) λ})

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$

— kjetil b halvorsen
sumber

Dilip Sarwate menyatakan 7 tahun lalu bahwa tidak ada penyederhanaan yang mungkin, meskipun ini telah ditantang dalam komentar. Namun, saya pikir penting untuk dicatat bahwa meskipun tanpa penyederhanaan apapun perhitungannya cukup mudah dalam spreadsheet atau bahasa pemrograman apa pun.

Berikut ini adalah implementasi dalam R:

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]

— Pere
sumber

Dilip tidak menunjukkan bahwa tidak ada penyederhanaan jumlah itu mungkin: ia menyatakan pernyataan seperti itu (dan pernyataan itu tampaknya tidak benar). Jika Anda mengikuti tautan yang disediakan oleh OP, solusinya disediakan dalam hal fungsi hypergeometrik konfluen Kummer.

— serigala

@ serigala - Itu akan menjadi poin yang sangat menarik dalam jawaban baru untuk pertanyaan lama ini. Mungkin lebih menarik dari milikku.

— Pere

Pendekatan yang berpotensi lebih cepat untuk n besar dalam binomial, dan lambda besar akan melibatkan transformasi Fourier cepat (atau serupa). Saya telah berhasil menggunakannya pada sejumlah masalah dunia nyata di mana konvolusi tidak nyaman secara aljabar, tetapi jawaban numerik cukup, dan di mana banyak variasi independen ditambahkan.

— Glen_b -Reinstate Monica

n

$n$

λ

$\lambda$ dpoisxxx<-qpois(0:1+c(1,-1)*1e-6, lambda)dpoisxzapsmalln

Memang. Saya melakukan sesuatu yang mirip dengan aplikasi saya sendiri - keluar cukup jauh memberikan kuantil yang diperlukan seakurat yang diperlukan.

— Glen_b -Reinstate Monica