tergantung pada total, apa distribusi binomial negatif

Jika adalah binomial negatif iid, lalu apa distribusi diberikan ( x 1 , x 2 , ... , x n$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = N\quad$ ?

$N$ sudah diperbaiki.

Jika adalah Poisson, tergantung pada total, adalah multinomial. Saya tidak yakin apakah itu benar untuk binomial negatif, karena itu adalah campuran Poisson. ( x 1 , x 2 , ... , x n$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

Jika Anda ingin tahu, ini bukan masalah pekerjaan rumah.

Maaf untuk jawaban yang terlambat, tetapi ini menyadap saya dan saya menemukan jawabannya. Distribusi memang Dirichlet-Multinomial dan neg individu. distribusi binomial bahkan tidak perlu identik, selama faktor Fano mereka (rasio varian terhadap rata-rata) identik.

Jawaban panjang:

Jika Anda parameterkan NB sebagai:

$p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda}$

Kemudian dan dan$E(X) = \lambda$$Var(X) = \lambda (1 + \theta)$

$\forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta)$ menyiratkan

$\sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta)$

Kemudian mengambil probabilitas dengan memberi jumlah:

$\frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \\ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \\ =DM(x_1, ..., x_n| \theta^{-1}\lambda_1, ... , \theta^{-1} \lambda_n)$

di mana adalah kemungkinan Dirichlet-Multinomial. Ini hanya dihasilkan dari fakta bahwa kecuali untuk koefisien multinomial, banyak istilah dalam fraksi di sisi kiri dibatalkan, sehingga Anda hanya dengan istilah fungsi gamma yang kebetulan sama dengan kemungkinan DM.$DM$

Perhatikan juga bahwa parameter model ini tidak dapat diidentifikasi sebagai peningkatan dengan penurunan simultan di semua menghasilkan kemungkinan yang persis sama.$\theta$$\lambda_i$

Referensi terbaik yang saya miliki untuk bagian ini adalah bagian 2 hingga 3.1 dari Guimarães & Lindrooth (2007): Mengontrol penyebaran berlebih dalam model logit bersyarat bersyarat: Aplikasi sederhana untuk regresi Dirichlet-multinomial - sayangnya paywall, tetapi saya tidak dapat menemukan referensi yang tidak dibayar di dinding.