Kovarian dari variabel acak yang diubah

Saya memiliki dua variabel acak dan . $X > 0$ $Y > 0$

Karena saya dapat memperkirakan bagaimana saya bisa memperkirakan

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— pengguna7064
sumber

Pertanyaan terakhir ini menanyakan tentang korelasi alih-alih kovarians, tetapi ini terkait: stats.stackexchange.com/questions/35941/…

— Douglas Zare

Orang bisa mengambil pendekatan ekspansi Taylor:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Edit:

Ambil , . $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

Gunakan ekspansi multivarian Taylor untuk menghitung perkiraan ke (dengan cara yang mirip dengan contoh di akhir "First Moment" di tautan yang melakukan kasus yang lebih sederhana dari , dan gunakan ekspansi univariat untuk menghitung perkiraan ke dan $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ (seperti yang diberikan di bagian pertama dari bagian yang sama) dengan akurasi yang sama. Dari hal-hal itu, hitung kovarians (diperkirakan). $\rm{E}(V)$

Memperluas ke tingkat perkiraan yang sama seperti contoh dalam tautan, saya pikir Anda berakhir dengan istilah dalam mean dan varians dari masing-masing variabel (tidak ditransformasi), dan kovariansnya.

Edit 2:

Tapi di sini ada sedikit trik yang dapat menghemat usaha:

Perhatikan bahwa dan dan . $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Sunting: Langkah terakhir itu mengikuti dari pendekatan Taylor , yang bagus untuk kecil (mengambil ). $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(perkiraan itu tepat untuk , normal: ) $U$ $V$ $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Misalkan $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

dan diberikan , lalu $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(Edit :)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

Karenanya . Ini harus tepat untuk bivariat gaussian. $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

Jika Anda menggunakan pendekatan pertama daripada yang kedua, Anda akan mendapatkan perkiraan yang berbeda di sini.

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Bisakah Anda memberikan sedikit detail lebih lanjut? Bagaimanapun,

— terima kasih

Diedit untuk detail.

— Glen_b -Reinstate Monica

Terima kasih @Glend_b. Saya akan menerima kapan detail akan ditambahkan. Sementara itu, +1 :-)

— user7064

Jangan khawatir; Saya sedang sibuk saat itu, kemudian benar-benar lupa. Sekarang sudah diperbaiki

— Glen_b -Reinstate Monica

Ini umumnya bekerja lebih baik untuk variabel non-Gaussian jika varian dan kecil (ekuivalen, jika koefisien variasi dan kecil).

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstate Monica

Tanpa asumsi tambahan pada dan , tidak mungkin untuk menyimpulkan kovarians dari log mengetahui kovarians awal. Di sisi lain, jika Anda dapat menghitung dari dan , apa yang mencegah Anda menghitung dari dan secara langsung? $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— ThePawn
sumber