Pertanyaan Wawancara Amoeba

25

Saya ditanya pertanyaan ini selama wawancara untuk posisi perdagangan dengan perusahaan dagang berpemilik. Saya sangat ingin tahu jawaban untuk pertanyaan ini dan intuisi di baliknya.

Amuba Pertanyaan: Suatu populasi amuba dimulai dengan 1. Setelah 1 periode itu amuba dapat dibagi menjadi 1, 2, 3, atau 0 (bisa mati) dengan probabilitas yang sama. Berapa probabilitas bahwa seluruh populasi akhirnya mati?

probability

— AME
sumber

Apakah kita mengira masing-masing memiliki probabilitas ?

1 / 4

$1/4$

— shabbychef

16

dari sudut pandang biologis, peluang itu adalah 1. Lingkungan pasti akan berubah ke titik di mana tidak ada populasi yang dapat bertahan hidup, mengingat bahwa dalam x miliar tahun matahari akan meledak. Tapi saya kira itu bukan jawaban yang dia cari. ;-) Pertanyaannya juga tidak masuk akal. Amoebe hanya dapat dibagi menjadi 2 atau 0. Moral: pedagang seharusnya tidak bertanya tentang biologi.

— Joris Meys

7

Pertanyaan seperti pada wawancara untuk posisi seperti itu? Mungkin itu sesuatu seperti dilbert.com/strips/comic/2003-11-27 ?

1

Ini adalah pertanyaan lucu yang disebut Mike. Intuisi di sini adalah bahwa kemungkinan bertahan hidup / kepunahan pada akhirnya sama antara dua generasi. Versi yang lebih kreatif dapat dipikirkan ketika probabilitas kelangsungan hidup itu sendiri bervariasi sebagai fungsi dari jumlah amuba yang ada. Saya telah menambahkannya ke blog situs saya.

— brokoli

1

1) Amuba berkembang biak dengan mitosis biner. 2) Amuba tidak bereproduksi dalam angka mitosis abnormal, misalnya kali 3, jika terlihat akan mematikan. 4) Mengajukan pertanyaan selama wawancara yang menimbulkan bias konfirmasi umumnya dianggap berkualitas rendah. Nasihat; Anda mungkin tidak menginginkan pekerjaan itu.

— Carl

36

Masalah lucu. Ini adalah jenis hal yang dilakukan probabilis di kepala mereka untuk bersenang-senang.

Teknik ini untuk berasumsi bahwa ada kemungkinan seperti kepunahan, menyebutnya . Kemudian, sambil melihat pohon keputusan satu-dalam untuk hasil yang mungkin kita lihat - menggunakan Hukum Probabilitas Total - itu $P$

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

dengan asumsi bahwa, dalam kasus 2 atau 3 "keturunan" probabilitas kepunahannya adalah IID. Persamaan ini memiliki dua akar yang layak, dan $1$ . Seseorang yang lebih pintar dariku mungkin bisa menjelaskan mengapa angkaitu tidak masuk akal. $\sqrt{2}-1$ $1$

Pekerjaan harus semakin ketat - pewawancara seperti apa yang Anda harapkan untuk menyelesaikan persamaan kubik di kepala Anda?

— Mike Anderson
sumber

3

Alasan 1 bukan merupakan akar mudah dilihat dengan mempertimbangkan jumlah yang diharapkan dari Amoeba setelah

langkah, sebut saja

. Satu dapat dengan mudah menunjukkan bahwa

. Karena probabilitas setiap hasil adalah

kita memiliki

, dan

tumbuh tanpa terikat di

. Ini jelas tidak cocok dengan

.

k

$k$

E_{k}

$E_k$

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

1 / 4,

$1/4,$

E_{1} = 3 / 2

$E_1 = 3/2$

E_{k}

$E_k$

k

$k$

P = 1

$P = 1$

— shabbychef

9

@shabbychef Tidak begitu jelas bagi saya. Anda dapat memiliki harapan tumbuh secara eksponensial (atau bahkan lebih cepat) sementara kemungkinan mati masih mendekati kesatuan. (Misalnya, pertimbangkan proses stokastik di mana populasi dapat empat kali lipat dalam setiap generasi atau mati sepenuhnya, masing-masing dengan peluang yang sama. Harapan pada generasi n adalah 2 ^ n tetapi probabilitas kepunahan adalah 1.) Dengan demikian tidak ada inheren kontradiksi; argumen Anda membutuhkan sesuatu yang tambahan.

— whuber

1

@shabbychef - terima kasih untuk hasil editnya. Saya tidak menyadari bahwa kita dapat menggunakan TeX tertanam untuk matematika! @whuber - shabbychef ini pernyataan

hanya variasi pada pernyataan saya tentang kemungkinan kepunahan, hanya menambahkan harapan bukan mengalikan probabilitas. Kerja bagus, shab.

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

— Mike Anderson

1

Itu sudah jelas, Mike, tapi apa maksudmu? Bukankah kita sedang berbicara tentang cara mengesampingkan 1 sebagai solusi? Ngomong-ngomong, sudah jelas (dengan inspeksi dan / atau dengan memahami masalah) bahwa saya akan menjadi solusi. Ini menguranginya menjadi persamaan kuadrat yang dapat dengan mudah dipecahkan di tempat. Namun, itu biasanya bukan pertanyaan wawancara. Penanya mungkin sedang menyelidiki untuk melihat apa yang secara aktif diketahui oleh pemohon tentang proses stokastik, gerakan Brown, kalkulus Ito, dll., Dan bagaimana mereka menyelesaikan masalah, bukan apakah mereka dapat menyelesaikan pertanyaan khusus ini.

— whuber

3

@shabbychef: Salah satu cara untuk mengesampingkan P = 1 adalah mempelajari evolusi fungsi menghasilkan probabilitas. Pgf diperoleh dengan memulai dengan t (mewakili populasi awal 1) dan secara iteratif mengganti t dengan (1 + t + t ^ 2 + t ^ 3) / 4. Untuk setiap nilai awal t kurang dari 1, grafik dengan mudah menunjukkan iterate konvergen ke Sqrt (2) -1. Khususnya, pgf menjauh dari 1, menunjukkannya tidak dapat bertemu dengan 1 di mana-mana, yang akan mewakili kepunahan total. Inilah mengapa "1 tidak masuk akal."

— whuber

21

Beberapa bagian belakang perhitungan amplop (litterally - saya punya amplop tergeletak di meja saya) memberi saya kemungkinan 42/111 (38%) dari tidak pernah mencapai populasi 3.

Saya menjalankan simulasi Python cepat, melihat berapa banyak populasi telah mati oleh 20 generasi (pada titik mana mereka biasanya mati atau dalam ribuan), dan mendapatkan 4164 mati dari 10.000 berjalan.

Jadi jawabannya adalah 42%.

— Emile
sumber

9

adalah 0,4142, sehingga sesuai dengan hasil analitis Mike. Dan +1, karena saya suka simulasi ;-)

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2}-1$

2

Juga memberi +1 karena saya suka simulasi. Yang akan menjadi jawaban saya;).

— Fomite

7

Bunyi ini terkait dengan proses Galton Watson , yang awalnya diformulasikan untuk mempelajari kelangsungan nama keluarga. Probabilitas tergantung pada jumlah sub-amuba yang diharapkan setelah satu divisi. Dalam hal ini yang jumlah yang diharapkan adalah yang lebih besar dari nilai kritis dari , dan dengan demikian kemungkinan kepunahan kurang dari . $3/2,$ $1$ $1$

Dengan mempertimbangkan jumlah amuba yang diharapkan setelah divisi, orang dapat dengan mudah menunjukkan bahwa jika jumlah yang diharapkan setelah satu divisi kurang dari , probabilitas kepunahan adalah . Bagian lain dari masalah, saya tidak begitu yakin. $k$ $1$ $1$

— shabbychef
sumber

6

Seperti jawaban dari Mike Anderson mengatakan, Anda dapat menyamakan probabilitas garis silsilah amuba menjadi punah dengan sejumlah kemungkinan garis silsilah anak-anak menjadi punah.

p_{p a r e n t} = \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{3} + \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{2} + \frac{1}{4} p_{c h i l d} + \frac{1}{4}

$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$

Kemudian ketika Anda menetapkan sama dengan probabilitas orang tua dan anak-anak agar garis keturunan mereka punah, maka Anda mendapatkan persamaan:

p = \frac{1}{4} p^{3} + \frac{1}{4} p^{2} + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}

$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$

yang memiliki akar $p=1$ , $p=\sqrt{2}-1$ , dan $p=-\sqrt{2}-1$ .

Pertanyaan yang tersisa adalah mengapa jawabannya harus $p=\sqrt{2}-1$ dan bukan $p=1$ . Ini misalnya ditanyakan dalam duplikatAmuba Pertanyaan Wawancara: Apakah P (N = 0) 1 atau 1/2? . Dalamjawaban dari shabbychefdijelaskan bahwa salah satu dapat melihat, $E_k$ , nilai ekspektasi dari ukuran populasi setelah $k$ -th devision, dan melihat apakah itu baik menyusut atau tumbuh.

Bagi saya, ada beberapa ketidak-adilan dalam argumen di balik itu dan rasanya itu tidak sepenuhnya terbukti.

Misalnya dalam salah satu komentar Whuber mencatat bahwa Anda dapat memiliki nilai ekspektasi yang tumbuh $E_k$ dan juga memiliki kemungkinan kepunahan dalam pendekatan langkah $k$ 1. 1. Sebagai contoh, Anda dapat memperkenalkan peristiwa bencana yang menghapus seluruh amuba populasi dan itu terjadi dengan beberapa probabilitas $x$ di setiap langkah. Maka silsilah amuba hampir pasti akan mati. Namun, harapan ukuran populasi pada langkah $k$ tumbuh.
Selain itu, daun jawaban membuka apa yang kita harus memikirkan situasi ketika $E_k = 1$ (misalnya ketika sebuah perpecahan amuba atau tidak membagi dengan sama, 50%, probabilitas, maka garis keturunan dari amuba menjadi punah dengan probabilitas hampir $1$ walaupun $E_k= 1$ )

Derivasi alternatif.

Perhatikan bahwa solusi $p=1$ dapat menjadi kebenaran kosong . Kami menyamakan probabilitas garis silsilah orang tua menjadi punah dengan garis keturunan anak menjadi punah.

Jika 'probabilitas garis keturunan anak menjadi punah sama dengan $1$ '.
Maka 'probabilitas garis keturunan orang tua menjadi punah sama dengan $1$ '.

Tetapi ini tidak berarti bahwa memang benar bahwa 'kemungkinan garis keturunan anak menjadi punah adalah $1$ '. Ini sangat jelas ketika akan selalu ada jumlah anak yang bukan nol. Misalnya bayangkan persamaannya:

p = \frac{1}{3} p^{3} + \frac{1}{3} p^{2} + \frac{1}{3} p

$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$

Bisakah kita mencari solusi dengan cara yang sedikit berbeda?

Mari panggilan $p_k$ probabilitas untuk keturunan untuk mendapatkan punah sebelum $k$ -th devision. Maka kita memiliki:

p_{1} = \frac{1}{4}

$p_1 = \frac{1}{4}$

dan hubungan pengulangan

p_{k + 1} = \frac{1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1}{4} p_{k}^{2} + \frac{1}{4} p_{k} + p_{1}

$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$

atau

δ_{k} = p_{k + 1} - p_{k} = \frac{1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1}{4} p_{k}^{2} - \frac{3}{4} p_{k} + p_{1} = f (p_{k})

$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$

Jadi dimanapun $f(p_k)>1$ probabilitas untuk punah sebelum deviasi $k$ -th akan meningkat dengan meningkatnya $k$ .

Konvergensi dengan root dan hubungannya dengan nilai ekspektasi

Jika langkah lebih kecil dari jarak ke root $f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ $p_k$ $k$ $f(p_\infty) = 0$

Anda bisa memverifikasi bahwa ini (tidak melebihi akar) yang selalu terjadi ketika kemiringan / turunan dari $f(p_k)$ di atas atau sama dengan $-1$ , dan ini pada gilirannya itu selalu terjadi untuk $0\leq p \leq 1$ dan polinomial seperti $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ $a_k \geq 0$

f^{'} (p) = - 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} k p^{k - 1}

$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$

f^{'} (0) = - 1

$f^\prime(0) = -1$

f^{'} (1) = - 1 + E_{1}

$f^\prime(1) = -1 + E_1$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

E_{1} > 1

$E_1>1$

0

$0$

1

$1$

E_{1} \leq 1

$E_1 \leq 1$

0

$0$

1

$1$

f (p) = 0

$f(p) = 0$

a_{1} = 1

$a_1 = 1$

— Sextus Empiricus
sumber