Rata-rata batting Bayesian sebelumnya

Saya ingin mengajukan pertanyaan yang terinspirasi oleh jawaban yang sangat baik untuk pertanyaan tentang intuisi untuk distribusi beta. Saya ingin mendapatkan pemahaman yang lebih baik tentang derivasi untuk distribusi sebelumnya untuk rata-rata pukulan. Sepertinya David mendukung parameter dari mean dan kisaran.

Dengan asumsi bahwa rata-rata adalah dan standar deviasi adalah , dapatkah Anda mundur dan dengan menyelesaikan dua persamaan ini: $0.27$ $0.18$ $\alpha$ $\beta$

\frac{α}{α + β} = 0,27 \frac{α \cdot β}{(α + β)^{2} \cdot (α + β + 1)} = {0,18}^{2}

$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$

bayesian prior

— Dimitriy V. Masterov
sumber

Jujur, saya hanya menyimpan nilai grafik di R sampai terlihat benar.

— David Robinson

di mana Anda mendapatkan standar deviasi menjadi 0,18?

— appleLover

Bagaimana Anda menemukan standar deviasi ini? Tahukah Anda sebelumnya?

— Maria Lavrovskaya

Jawaban:

Perhatikan itu:

\frac{α \cdot β}{(α + β)^{2}} = (\frac{α}{α + β}) \cdot (1 - \frac{α}{α + β})

$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$

Ini berarti varians karena itu dapat dinyatakan dalam arti sebagai

σ^{2} = \frac{μ \cdot (1 - μ)}{α + β + 1}

$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$

Jika Anda ingin rata-rata $.27$ dan standar deviasi $.18$ (varians $.0324$ ), hitung saja:

α + β = \frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} - 1 = \frac{.27 \cdot (1 - .27)}{0,032} - 1 = 5.083333

$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$

Sekarang Anda sudah tahu total, dan mudah: $\alpha$ $\beta$

α = μ (α + β) = .27 \cdot 5.083333 = 1.372499 β = (1 - μ) (α + β) = (1 - .27) \cdot 5.083333 = 3.710831

$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$

Anda dapat memeriksa jawaban ini di R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

— David Robinson
sumber

David, apakah Anda kebetulan mengikuti penelitian bisbol? Ada beberapa teknik yang bersaing di luar sana untuk menemukan dan , jadi saya bertanya-tanya apakah Anda memiliki pendapat tentang masalah ini jika Anda melakukan sesuatu selain hanya mencoba menemukan grafik yang terlihat masuk akal.

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Michael McGowan

Saya tidak terlalu mengikuti sabermetrics- dalam jawaban lain itu kebetulan memberikan contoh yang sangat nyaman memperkirakan p dari binomial dengan yang sebelumnya. Saya bahkan tidak tahu apakah ini yang dilakukan dalam sabermetrics, dan jika ya, saya tahu ada banyak komponen yang saya tinggalkan (pemain memiliki prior yang berbeda, penyesuaian stadion, menimbang hit baru-baru ini dibandingkan yang lama ...)

— David Robinson

Saya terkesan bahwa bola mata Anda seakurat ini.

— Dimitriy V. Masterov

Hai David, bagaimana Anda dapatkan dari nilai-nilai ini dari dan untuk nilai-nilai Anda yang terbelalak di pos tertaut masing-masing 81 dan 219?

α = 1.37

$\alpha = 1.37$

β = 3.71

$\beta = 3.71$

— Alex

@Alex Varian yang diminta dan standar deviasi berasal dari pertanyaan di atas, yang meminta SD sebesar 0,18, bukan pos distribusi beta. Jika saya menghitung alih-alih melihat bola mata, saya mungkin sudah menebak SD dari sesuatu seperti 0,03, yang akan memberi nilai 59 dan 160.

— David Robinson

Saya ingin menambahkan ini sebagai komentar pada jawaban yang sangat bagus tetapi berjalan lama dan akan terlihat lebih baik dengan format jawaban.

Yang perlu diingat adalah bahwa tidak semua adalah mungkin. Jelas , tetapi tidak begitu jelas batasan untuk . $(\mu, \sigma^2)$ $\mu \in [0,1]$ $\sigma^2$

Dengan menggunakan alasan yang sama seperti David, kita dapat mengekspresikannya

σ^{2} (α, μ) = \frac{μ^{2} (1 - μ)}{α + μ}

$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$

Ini menurun sehubungan dengan , jadi dapat diberikan untuk adalah: $\alpha$ $\sigma^2$ $\mu$

lim_{α \to 0} σ^{2} (α, μ) = μ (1 - μ)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$

Ini hanya supremum karena set valid terbuka (yaitu, untuk Beta, kita harus memiliki ); batas ini dimaksimalkan sendiri pada . $\alpha$ $\alpha > 0$ $\mu = \frac12$

Perhatikan hubungannya dengan RV Bernoulli yang sesuai. Distribusi Beta dengan mean , karena dipaksa untuk mengambil semua nilai antara 0 dan 1, harus kurang terdispersi (yaitu, memiliki varian lebih rendah) daripada Bernoulli RV dengan rata-rata yang sama (yang memiliki semua massanya di ujungnya) dari interval). Faktanya, mengirimkan ke 0 dan memperbaiki berarti menempatkan semakin banyak massa PDF mendekati 0 dan 1, yaitu semakin mendekati distribusi Bernoulli, itulah sebabnya supremum varians persis varian Bernoulli yang sesuai. $\mu$ $\alpha$ $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$

Secara keseluruhan, berikut adalah serangkaian cara dan varian yang valid untuk Beta:

(Memang ini dicatat di halaman Wikipedia untuk Beta )

— MichaelChirico
sumber