Apa perbedaan antara distribusi "pembatas" dan "stasioner"?

Saya melakukan pertanyaan pada rantai Markov dan dua bagian terakhir mengatakan ini:

• Apakah rantai Markov ini memiliki distribusi terbatas. Jika jawaban Anda adalah "ya", cari distribusi terbatas. Jika jawaban Anda "tidak", jelaskan alasannya.
• Apakah rantai Markov ini memiliki distribusi stasioner. Jika jawaban Anda adalah "ya", cari distribusi stasioner. Jika jawaban Anda "tidak", jelaskan alasannya.

Apa bedanya? Sebelumnya, saya pikir distribusi pembatas adalah ketika Anda mengerjakannya menggunakan tapi ini adalah matriks transisi langkah ke - n . Mereka menghitung distribusi pembatas menggunakan \ Pi = \ Pi P , yang saya pikir adalah distribusi stasioner. n Π = Π $P = CA^n C^{-1}$$n$$\Pi = \Pi P$

Yang mana yang kemudian?

Dari An Introduction to Stochastic Modelling oleh Pinsky dan Karlin (2011):

Distribusi terbatas, ketika ada, selalu merupakan distribusi stasioner, tetapi sebaliknya tidak benar. Mungkin ada distribusi stasioner tetapi tidak ada distribusi terbatas. Misalnya, tidak ada distribusi terbatas untuk rantai Markov berkala yang matriks probabilitas transisinya adalah tetapi adalah distribusi stasioner, karena (hlm. 205).

$$\mathbf{P}=\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|$$ $\pi=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ $$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

Di bagian sebelumnya, mereka telah mendefinisikan " distribusi probabilitas membatasi " oleh$\pi$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}P_{ij}^{(n)}=\pi_j~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$$

dan setara

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{Pr}\{X_n=j|X_0=i\}=\pi_j>0~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$$ (hal. 165).

Contoh di atas berosilasi secara deterministik, sehingga gagal memiliki batas dengan cara yang sama dengan urutan gagal memiliki batas.$\{1,0,1,0,1,\dots\}$

---

Mereka menyatakan bahwa rantai Markov reguler (di mana semua probabilitas transisi n-langkah positif) selalu memiliki distribusi terbatas, dan membuktikan bahwa itu harus menjadi solusi non-negatif yang unik untuk

$$\pi_j=\sum_{k=0}^N\pi_kP_{kj},~~j=0,1,\dots,N,\\ \sum_{k=0}^N\pi_k=1$$ (hal. 168 )

Kemudian pada halaman yang sama dengan contoh, mereka menulis

Setiap set memuaskan (4,27) disebut distribusi probabilitas stasioner dari rantai Markov. Istilah "stasioner" berasal dari properti yang rantai Markov mulai menurut distribusi stasioner akan mengikuti distribusi ini di semua titik waktu. Secara formal, jika , maka untuk semua .$(\pi_i)_{i=0}^{\infty}$$\operatorname{Pr}\{X_0=i\}=\pi_i$$\operatorname{Pr}\{X_n=i\}=\pi_i$$n=1,2,\dots$

di mana (4,27) adalah himpunan persamaan

$$\pi_i \geq 0, \sum_{i=0}^{\infty} \pi_i=1,~\mathrm{and}~\pi_j = \sum_{i=0}^{\infty} \pi_iP_{ij}.$$

yang persis kondisi stasioneritas yang sama seperti di atas, kecuali sekarang dengan jumlah negara tak terbatas.

Dengan definisi stasioneritas ini, pernyataan di halaman 168 dapat dinyatakan kembali secara retroaktif sebagai:

1. Distribusi terbatas rantai Markov reguler adalah distribusi stasioner.
2. Jika distribusi pembatas rantai Markov adalah distribusi stasioner, maka distribusi stasioner itu unik.

Distribusi stasioner adalah distribusi sehingga jika distribusi atas status pada langkah adalah , maka juga distribusi atas status pada langkah adalah . Yaitu, Distribusi pembatas adalah distribusi sehingga tidak peduli apa distribusi awalnya, distribusi atas negara konvergen ke sebagai jumlah langkah-langkah menuju infinity: independen dari$\pi$$k$$\pi$$k+1$$\pi$

$$\begin{equation} \pi = \pi P. \end{equation}$$ $\pi$$\pi$ $$\begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty} \pi^{(0)} P^k = \pi, \end{equation}$$ $\pi^{(0)}$. Sebagai contoh, mari kita pertimbangkan rantai Markov yang dua negara bagiannya adalah sisi koin, . Setiap langkah terdiri dari membalikkan koin (dengan probabilitas 1). Perhatikan bahwa ketika kami menghitung distribusi keadaan, mereka tidak tergantung pada langkah sebelumnya, yaitu, orang yang menghitung probabilitas tidak melihat koin. Jadi, matriks transisi adalah Jika kita pertama kali menginisialisasi koin dengan membalik koin secara acak ( ), maka semua langkah waktu berikutnya juga mengikuti distribusi ini. (Jika Anda membalik koin yang adil, dan kemudian membalikkannya, kemungkinan kepala masih ). Jadi,$\{heads, tails\}$ $$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation}$$ $\pi^{(0)} = \begin{pmatrix}0.5 & 0.5\end{pmatrix}$$0.5$$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$ adalah distribusi stasioner untuk rantai Markov ini.

Namun, rantai ini tidak memiliki distribusi terbatas: misalkan kita menginisialisasi koin sehingga memiliki kepala . Kemudian, karena semua keadaan selanjutnya ditentukan oleh keadaan awal, setelah jumlah langkah genap, keadaan adalah kepala dengan probabilitas dan setelah jumlah langkah ganjil negara adalah kepala dengan probabilitas . Ini berlaku tidak peduli berapa banyak langkah yang diambil, sehingga distribusi atas negara tidak memiliki batas.$2/3$$2/3$$1/3$

Sekarang, mari kita modifikasi prosesnya sehingga pada setiap langkah, seseorang tidak perlu memutar koin. Sebagai gantinya, seseorang melempar dadu, dan jika hasilnya , koin dibiarkan apa adanya. Rantai Markov ini memiliki matriks transisi Tanpa membahas matematika, saya akan menunjukkan bahwa proses ini akan 'melupakan' keadaan awal karena secara acak menghilangkan belokan. Setelah sejumlah besar langkah, probabilitas kepala akan mendekati , bahkan jika kita tahu bagaimana koin diinisialisasi. Dengan demikian, rantai ini memiliki distribusi terbatas .$6$

$$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 1/6 & 5/6 \\ 5/6 & 1/6 \end{pmatrix}. \end{equation}$$ $0.5$$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

Mengesampingkan notasi, kata "stasioner" berarti "begitu Anda sampai di sana, Anda akan tinggal di sana"; sementara kata "membatasi" menyiratkan "Anda pada akhirnya akan sampai di sana jika Anda pergi cukup jauh". Hanya berpikir ini mungkin bisa membantu.