Bagaimana menemukan distribusi marjinal dari distribusi bersama dengan ketergantungan multi-variabel?

Salah satu masalah dalam buku teks saya diajukan sebagai berikut. Vektor kontinu stokastik dua dimensi memiliki fungsi kerapatan sebagai berikut:

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Tunjukkan bahwa fungsi kepadatan marginal dan adalah: $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Saya mengerti bagaimana fungsi kerapatan $f_X$ dihitung, dengan mengintegrasikan $f_{X,Y}$ dari $0$ ke $x$ sehubungan dengan $y$ . Namun saya benar-benar pada $f_Y$ , dari mana $(1-y^2)$ berasal? Jika saya mengintegrasikan dari $0$ ke $1$ sehubungan dengan $x$ maka saya hanya mendapatkan $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ , dan mengapa kisaran $0 < y < 1$ ?

Saya telah membuat grafik dukungan untuk $X,Y$ , semua nilai di mana $f_{X,Y}>0$ berwarna biru:

Dukungan untuk $ X, Y $

— soren.qvist
sumber

Mungkin membantu Anda untuk menggambar dukungan (yang merupakan himpunan untuk yang ). Itu harus segera menjawab beberapa pertanyaan Anda.

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

— whuber

@whuber Oke jadi saya sudah membuat grafik dukungan dan saya pikir saya mengerti mengapa itu 0 <y <1, itu karena x hanya didefinisikan dalam 0 <x <1 dan karena 0 <y <x kita kemudian secara alami memiliki y hanya didefinisikan dari 0 hingga 1, benar? Tapi saya masih tidak mengerti bagian (1-y ^ 2).

— soren.qvist

Petunjuk: Kepadatan marginal dari adalah integral dari yang, untuk nilai tetap , , bukan nol hanya untuk memuaskan . Yaitu, dan di situlah bagian berasal.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

— Dilip Sarwate

Terima kasih untuk petunjuk Dilip, aku takut aku tidak mengerti sepenuhnya. ".. untuk nilai tetap dari , , adalah nol hanya bagi mereka memuaskan ." Apakah Anda mengacu pada area biru pada grafik?

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

— soren.qvist

@ soren.qvist Ya. Saya mengacu pada area biru pada grafik. adalah integral (area di bawah kurva) dari fungsi dari yang memiliki nilai jika adalah antara dan (area biru) dan sebaliknya. Ulangi untuk nilai-nilai tetap , dan perhatikan bahwa setiap kali nilai numerik berhasil menjadi angka yang sama seperti yang diperoleh dengan "memasukkan" nilai ke dalam ekspresi

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ seperti yang diberikan dalam lembar jawaban Anda. Lalu, muncullah "Hei Bu, saya pikir saya melihat sebuah pola!" saat dan Anda menyadari bahwa sama dengan integral yang ditampilkan.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

— Dilip Sarwate

Seperti yang Anda tunjukkan dengan benar dalam pertanyaan Anda dihitung dengan mengintegrasikan kepadatan bersama, sehubungan dengan X. Bagian penting di sini adalah mengidentifikasi area di mana Anda mengintegrasikan. Anda telah menunjukkan dengan jelas dukungan grafis dari fungsi distribusi gabungan . Jadi, sekarang, Anda dapat mencatat bahwa kisaran di wilayah yang diarsir adalah dari ke (yaitu secara grafis, Anda dapat memvisualisasikan garis horizontal, sejajar dengan sumbu x, pergi dari garis diagonal ke garis vertikal pada ). $f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

Dengan demikian, batas bawah dan atas dari integrasi akan menjadi dan . Dengan demikian, solusi untuk masalah ini adalah sebagai berikut: $X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— pengguna3487564
sumber