Perbedaan variabel acak Gamma

Diberikan dua variabel acak independen dan , apa distribusi perbedaannya, yaitu ? $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

Jika hasilnya tidak diketahui, bagaimana saya akan mendapatkan hasilnya?

distributions gamma-distribution

— FBC
sumber

Saya pikir mungkin relevan: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Dimitriy V. Masterov

Sayangnya tidak relevan, posting itu mempertimbangkan jumlah tertimbang variabel acak Gamma di mana bobotnya benar-benar positif. Dalam kasus saya bobotnya masing-masing +1 dan -1.

— FBC

Makalah Moschopoulos mengklaim bahwa metode ini dapat diperluas ke kombinasi linier, tetapi Anda benar bahwa pengubahan ukuran tampaknya terbatas pada bobot lebih besar dari 0. Saya tetap dikoreksi.

— Dimitriy V. Masterov

Ada sedikit harapan untuk mendapatkan sesuatu yang sederhana atau tertutup kecuali dua faktor skala itu sama.

— Whuber

Hanya sebuah komentar kecil: untuk kasus khusus rv yang didistribusikan secara eksponensial dengan parameter yang sama hasilnya adalah Laplace ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ).

— Ric

Saya akan menguraikan bagaimana masalahnya dapat didekati dan menyatakan apa yang saya pikir hasil akhirnya akan untuk kasus khusus ketika parameter bentuk adalah bilangan bulat, tetapi tidak mengisi rinciannya.

Pertama, perhatikan bahwa mengambil nilai dalam dan memiliki dukungan . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
Kedua, dari hasil standar bahwa kepadatan jumlah dua variabel acak kontinu independen adalah konvolusi kepadatannya, yaitu, dan bahwa kepadatan variabel acak adalah , simpulkan bahwa
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
Ketiga, untuk variabel acak non-negatif dan , perhatikan bahwa ungkapan di atas menyederhanakan untuk $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
Akhirnya, menggunakan parametrization untuk mengartikan variabel acak dengan densitas , dan dengan dan variabel acak , kita memiliki yang Demikian pula, untuk , $\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

Integral ini tidak mudah untuk dievaluasi tetapi untuk kasus khusus , Gradshteyn dan Ryzhik, Tabel Integral, Seri, dan Produk, Bagian 3.383, mencantumkan nilai dalam hal fungsi polinomial, eksponensial, dan Bessel dari dan ini dapat digunakan untuk menuliskan ekspresi eksplisit untuk . $s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

Dari sini, kita mengasumsikan bahwa dan adalah bilangan bulat $s$ $t$ sehingga adalah polinomial dalam dan derajat dan adalah polinomial dalam dan derajat . $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

Untuk , integral adalah jumlah integral Gamma sehubungan dengan dengan koefisien . Oleh karena itu, kerapatan sebanding dengan kerapatan campuran variabel acak untuk . Perhatikan bahwa hasil ini akan bertahan meskipun bukan bilangan bulat. $z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
Demikian pula, untuk , kerapatan sebanding dengan kerapatan campuran variabel acak dibalik selesai , yaitu, ia akan memiliki istilah seperti alih-alih yang biasa . Selain itu, hasil ini akan bertahan meskipun bukan bilangan bulat. $z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— Dilip Sarwate
sumber

+1: Setelah melihat masalah ini sebelumnya, saya menemukan jawaban ini menarik.

— Neil G

Saya akan menerima jawaban ini meskipun tampaknya tidak ada solusi bentuk tertutup. Sedekat mungkin, terima kasih!

— FBC

Saya suka alasan di sini, tapi saya bertanya-tanya apakah ada ukuran di mana langkah kedua istirahat, yaitu, ?

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

— mpacer

@mpacer Tidak, selalu berlaku. Ini adalah hasil umum yang tidak memerlukan asumsi (normalitas, Gamma-eity, RV positif dll). Untuk kasus khusus dari variabel acak positif (yaitu, ), adalah variabel acak negatif yang mengambil nilai kurang dari dengan probabilitas .

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

— Dilip Sarwate

@mpacer Jika adalah variabel acak positif dengan kerapatan , maka tidak benar bahwa tidak terdefinisi untuk . Bahkan, yang didefinisikan sebagai memiliki nilai untuk . Dengan demikian, untuk semua angka positif , dan kepadatan adalah kepadatan "terbalik" sehubungan dengan titik asal (atau sumbu vertikal jika Anda lebih suka.) Saya tidak "menafsirkan"

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$ operator berbeda, yang menuntut gagasan "tepat" yang akan mendukung gagasan Anda bahwa domain adalah saja

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

— Dilip Sarwate

Setahu saya, distribusi perbedaan dua gamma rv independen pertama kali dipelajari oleh Mathai pada tahun 1993. Dia mendapatkan solusi bentuk tertutup. Saya tidak akan mereproduksi karyanya di sini. Sebaliknya saya akan mengarahkan Anda ke sumber aslinya. Solusi bentuk tertutup dapat ditemukan pada halaman 241 sebagai teorema 2.1 dalam makalahnya Pada Laplacianness umum non-sentral dari bentuk kuadrat dalam variabel normal .

— Nathan Crock
sumber