Penjelasan intuitif untuk periodisitas dalam rantai Markov

Dapatkah seseorang menjelaskan kepada saya secara intuitif apa periodisitas rantai Markov?

Ini didefinisikan sebagai berikut:

Untuk semua status dalam$i$$S$

$d_i$ = gcd$\{n \in \mathbb{N} | p_{ii}^{(n)} > 0\} =1$

Terima kasih atas upaya Anda!

Pertama-tama, definisi Anda tidak sepenuhnya benar. Berikut adalah definisi yang benar dari wikipedia, seperti yang disarankan oleh Cyan.

Periodisitas (sumber: wikipedia )

Keadaan i memiliki periode k jika ada pengembalian ke keadaan saya harus terjadi dalam beberapa langkah waktu k. Secara formal, periode suatu negara didefinisikan sebagai

k = $gcd\{ n: \Pr(X_n = i | X_0 = i) > 0\}$

(di mana "gcd" adalah pembagi umum terbesar). Perhatikan bahwa meskipun suatu negara memiliki periode k, itu mungkin tidak mungkin untuk mencapai keadaan dalam langkah k. Misalnya, anggap dimungkinkan untuk kembali ke keadaan dalam langkah waktu {6, 8, 10, 12, ...}; k akan menjadi 2, meskipun 2 tidak muncul dalam daftar ini.

Jika k = 1, maka status dikatakan aperiodik: kembali ke keadaan saya dapat terjadi pada waktu yang tidak teratur. Dengan kata lain, keadaan i adalah aperiodik jika ada n sedemikian rupa sehingga untuk semua n '≥ n,

$Pr(X_{n'} = i | X_0 = i) > 0.$

Kalau tidak (k> 1), negara dikatakan periodik dengan periode k. Rantai Markov adalah aperiodik jika setiap negara aperiodik.

Penjelasan saya

Istilah periodisitas menggambarkan apakah sesuatu (suatu peristiwa, atau di sini: kunjungan negara tertentu) terjadi secara berkala. Di sini waktu diukur dalam jumlah negara bagian yang Anda kunjungi.

Contoh pertama:

Sekarang bayangkan jam menunjukkan rantai markov dan setiap jam menandai sebuah negara, jadi kami mendapat 12 negara. Setiap negara dikunjungi oleh jarum jam setiap 12 jam (negara) dengan probabilitas = 1, jadi pembagi umum terbesar juga 12.

Jadi setiap (jam-) negara adalah periodik dengan periode 12.

Contoh kedua:

$start$$heads$$tails$

$heads$$start$$tails$$start$

$heads$$heads$$heads$$heads$

$tails$$start$$start$

$n \gt 0$$P^n_{ii} = 0$$P_{ii}$$i$

$> 1$gcd$n$$P$$P^n_{ii}=0$gcd