Jumlah tertimbang dari dua variabel acak Poisson independen

Menggunakan wikipedia saya menemukan cara untuk menghitung probabilitas fungsi massa yang dihasilkan dari jumlah dua variabel acak Poisson. Namun, saya pikir pendekatan yang saya miliki salah.

Misalkan menjadi dua variabel acak Poisson independen dengan mean , dan , di mana dan adalah konstanta, maka fungsi penghasil probabilitas dari diberikan oleh Sekarang, dengan menggunakan fakta bahwa fungsi penghasil probabilitas untuk variabel acak Poisson adalah , kita dapat menulis fungsi penghasil probabilitas dari jumlah dari dua variabel acak Poisson independen sebagai $X_1, X_2$ $\lambda_1, \lambda_2$ $S_2 = a_1 X_1+a_2 X_2$ $a_1$ $a_2$ $S_2$

G_{S_{2}} (z) = E (z^{S_{2}}) = E (z^{{Sebuah}_{1} X_{1} + {Sebuah}_{2} X_{2}}) G_{X_{1}} (z^{{Sebuah}_{1}}) G_{X_{2}} (z^{{Sebuah}_{2}}) .

$G_{S_2}(z) = \operatorname{E}(z^{S_2})= \operatorname{E}(z^{a_1 X_1+a_2 X_2}) G_{X_1}(z^{a_1})G_{X_2}(z^{a_2}).$

G_{X_{i}} (z) = e^{λ_{i} (z - 1)}

$G_{X_i}(z) = \textrm{e}^{\lambda_i(z - 1)}$

\begin{aligned} G_{S_{2}} (z) & = e^{λ_{1} (z^{{Sebuah}_{1}} - 1)} e^{λ_{2} (z^{{Sebuah}_{2}} - 1)} \\ = e^{λ_{1} (z^{{Sebuah}_{1}} - 1) + λ_{2} (z^{{Sebuah}_{2}} - 1)} . \end{aligned}

$\begin{aligned} G_{S_2}(z) &= \textrm{e}^{\lambda_1(z^{a_1} - 1)}\textrm{e}^{\lambda_2(z^{a_2} - 1)} \\ &= \textrm{e}^{\lambda_1(z^{a_1} - 1)+\lambda_2(z^{a_2} - 1)}. \end{aligned}$ Tampaknya fungsi massa probabilitas

S_{2}

$S_2$ pulih dengan mengambil turunan dari

G_{S_{2}} (z)

$G_{S_2}(z)$

\Pr (S_{2} = k) = \frac{G_{S_{2}}^{(k)} (0)}{k!}

$\operatorname{Pr}(S_2 = k) = \frac{G_{S_2}^{(k)}(0)}{k!}$ , Di mana

G_{S_{2}}^{(k)} = \frac{d^{k} G_{S_{2}} (z)}{d z^{k}}

$G_{S_2}^{(k)} = \frac{d^k G_{S_2}(z)}{ d z^k}$ .

Apakah ini benar? Saya punya perasaan saya tidak bisa hanya mengambil turunan untuk mendapatkan fungsi massa probabilitas, karena konstanta $a_1$ dan $a_2$ . Apakah ini benar? Apakah ada pendekatan alternatif?

Jika ini benar, bisakah saya sekarang mendapatkan perkiraan distribusi kumulatif dengan memotong jumlah tak terbatas pada semua k?

distributions poisson-distribution

— Michel
sumber

Mengapa Anda menskala puncak dengan dan ? Jumlahnya hanyalah distribusi Poisson lain tanpa ini. Variabel mengambil nilai dalam bilangan bulat positif, jadi sesuatu seperti kali plus pertama kali yang kedua biasanya sangat tidak wajar, dan akan membiarkan Anda memulihkan nilai kedua variabel.

a_{1}

$a_1$

a_{2}

$a_2$

1

$1$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

— Douglas Zare

Kesulitan di sini adalah bahwa kecuali dan adalah bilangan bulat, orang tidak dapat memastikan bahwa mengambil nilai integer. Dengan demikian, Anda perlu menemukan tidak hanya untuk nilai integer tetapi juga untuk setiap yang dapat dinyatakan sebagai untuk bilangan bulat non-negatif dan .

a_{1}

$a_1$

a_{2}

$a_2$

S_{2}

$S_2$

P (S_{2} = k)

$P(S_2 = k)$

k

$k$

P (S_{2} = α)

$P(S_2 = \alpha)$

α

$\alpha$

a_{1} m + a_{2} n

$a_1m + a_2n$

m

$m$

n

$n$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Apakah itu mungkin? Apakah ada pendekatan lain untuk melakukan ini?

— Michel

@DouglasZare saya harus melakukan ini ... Mungkin saya harus beralih ke semacam metode bootstrap.

— Michel

Saya tidak berpikir Anda bisa melakukan jauh lebih baik daripada pendekatan brute-force yang menemukan nilai yang mungkin diambil oleh dan kemudian untuk setiap , gunakanUntuk sebagian besar pilihan dan , saya berharap bahwa sebagian besar jumlah akan dikurangi menjadi satu istilah. Saya harap Anda tahu bahwa untuk , adalah variabel acak Poisson dengan parameter .

S_{2}

$S_2$

α

$\alpha$

P {S_{2} = α} = \sum_{{Sebuah}_{1} m + {Sebuah}_{2} n = α} P {X_{1} = m} P {X_{2} = n} = \sum_{{Sebuah}_{1} m + {Sebuah}_{2} n = α} \exp (- λ_{1} m) \frac{λ_{1}^{m}}{m!} \exp (- λ_{2} n) \frac{λ_{2}^{n}}{n!} .

$P\{S_2 = \alpha\} = \sum_{a_1m + a_2n = \alpha}P\{X_1=m\}P\{X_2=n\} = \sum_{a_1m + a_2n = \alpha} \exp(-\lambda_1m)\frac{\lambda_1^m}{m!}\exp(-\lambda_2n)\frac{\lambda_2^n}{n!}.$

a_{1}

$a_1$

a_{2}

$a_2$

a_{1} = a_{2} = 1

$a_1=a_2=1$

S_{2}

$S_2$

λ_{1} + λ_{2}

$\lambda_1+\lambda_2$

— Dilip Sarwate

Jawaban:

Asalkan tidak banyak kemungkinan terkonsentrasi pada nilai tunggal dalam kombinasi linear ini, sepertinya ekspansi Cornish-Fisher dapat memberikan perkiraan yang baik untuk CDF (terbalik).

Ingatlah bahwa ekspansi ini menyesuaikan CDF terbalik dari distribusi Normal standar menggunakan beberapa kumulan pertama . Its skewness adalah $S_2$ $\beta_1$

\frac{a_{1}^{3} λ_{1} + a_{2}^{3} λ_{2}}{{(\sqrt{a_{1}^{2} λ_{1} + a_{2}^{2} λ_{2}})}^{3}}

$\frac{a_1^3 \lambda_1 + a_2^3 \lambda_2}{\left(\sqrt{a_1^2 \lambda_1 + a_2^2 \lambda_2}\right)^3}$

dan kurtosisnya adalah $\beta_2$

\frac{a_{1}^{4} λ_{1} + 3 a_{1}^{4} λ_{1}^{2} + a_{2}^{4} λ_{2} + 6 a_{1}^{2} a_{2}^{2} λ_{1} λ_{2} + 3 a_{2}^{4} λ_{2}^{2}}{{(a_{1}^{2} λ_{1} + a_{2}^{2} λ_{2})}^{2}} .

$\frac{a_1^4 \lambda_1 + 3a_1^4 \lambda_1^2 + a_2^4 \lambda_2 + 6 a_1^2 a_2^2 \lambda_1 \lambda_2 + 3 a_2^4 \lambda_2^2}{\left(a_1^2 \lambda_1 + a_2^2 \lambda_2\right)^2}.$

Untuk menemukan persentil dari versi standar , hitung $\alpha$ $S_2$

w_{α} = z + \frac{1}{6} β_{1} (z^{2} - 1) + \frac{1}{24} (β_{2} - 3) (z^{2} - 3) z - \frac{1}{36} β_{1}^{2} z (2 z^{2} - 5 z) - \frac{1}{24} (β_{2} - 3) β_{1} (z^{4} - 5 z^{2} + 2)

$w_\alpha = z +\frac{1}{6} \beta _1 \left(z^2-1\right) +\frac{1}{24} \left(\beta _2-3\right) \left(z^2-3\right) z-\frac{1}{36} \beta _1^2 z \left(2 z^2-5 z\right)-\frac{1}{24} \left(\beta _2-3\right) \beta _1 \left(z^4-5 z^2+2\right)$

di mana adalah persentil dari distribusi Normal standar. Persentil dari dengan demikian adalah $z$ $\alpha$ $S_2$

a_{1} λ_{1} + a_{2} λ_{2} + w_{α} \sqrt{a_{1}^{2} λ_{1} + a_{2}^{2} λ_{2}} .

$a_1 \lambda_1 + a_2 \lambda_2 + w_\alpha \sqrt{a_1^2 \lambda_1 + a_2^2 \lambda_2}.$

Eksperimen numerik menunjukkan bahwa ini adalah perkiraan yang baik setelah dan melebihi atau lebih. Misalnya, perhatikan dan (diatur untuk memberikan nilai nol untuk kenyamanan): $\lambda_1$ $\lambda_2$ $5$ $\lambda_1 = 5,$ $\lambda_2=5\pi/2,$ $a_1=\pi,$ $a_2=-2$

Angka

Bagian berbayang biru adalah CDF yang dihitung secara numerik dari sedangkan merah di bawahnya adalah perkiraan Cornish-Fisher. Perkiraan pada dasarnya adalah kelancaran dari distribusi aktual, hanya menunjukkan sedikit keberangkatan sistematis. $S_2$

— whuber
sumber

Penggunaan alat yang sering dilupakan ... dan, tentu saja, baik untuk atau atau lebih, metode konvolusi brute force tidak akan terlalu menyakitkan.

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2} \leq 5

$\lambda_2 \leq 5$

— jbowman

Gunakan konvolusi:

Biarkan Untuk , jika tidak, dan Untuk , sebaliknya. $f_{X_1}(x_1)= \dfrac{\lambda^{x_1}e^{-\lambda}}{x_1!}$ $x_1 \geq 0$ $f_{X_1}(x_1)= 0$ $f_{X_2}(x_2)=\dfrac{\lambda^{x_2}e^{-\lambda}}{x_2!}$ $x_2 \geq 0$ $f_{X_2}(x_2)= 0$

Biarkan , jadi Yang pertama dikenal sebagai konvolusi. $Z=X_1+X_2\rightarrow X_1=Z-X_2$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_{x_{1}, x_{2}} (z - x_{2}, x_{2}) d x_{1} d x_{2}

$f_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_{x_1,x_2}(z-x_2,x_2)dx_1dx_2$

Jika dan independen, Dengan cara ini Anda bisa mendapatkan distribusi jumlah dari dua variabel acak kontinu. $X_1$ $X_2$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_{X_{1}} (z - x_{2}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2}

$f_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_{X_1}(z-x_2)f_{X_2}(x_2)dx_1dx_2$

Untuk distribusi poisson diskrit Yang juga merupakan distribusi Poisson dengan parameter

f_{Z} (z) = \sum_{x_{2} = 0}^{z} \frac{λ_{1}^{z - x_{2}} e^{- λ_{1}}}{(z - x_{2})!} \frac{λ_{2}^{x_{2}} e^{- λ_{2}}}{x_{2}!}

$f_Z(z)=\sum\limits_{x_2=0}^{z} \dfrac{\lambda^{z-x_{2}}_1e^{-\lambda_1}}{(z-x_2)!}\dfrac{\lambda^{x_2}_2e^{-\lambda_2}}{x_2!}$

= e^{- (λ_{1} + λ_{2})} \frac{(λ_{1} + λ_{2})^{z}}{z!}

$= e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\dfrac{(\lambda_1+\lambda_2)^z}{z!}$

λ_{1} + λ_{2}

$\lambda_1+\lambda_2$

— QAChip
sumber

Ini muncul untuk menjawab pertanyaan yang berbeda: yaitu, bagaimana cara menambahkan dua distribusi Poisson. Ini adalah kasus khusus (tetapi dapat diperluas ke kasus tanpa masalah). Tetapi apa yang akan Anda lakukan ketika ?

a_{1} = a_{2} = 1

$a_1=a_2=1$

a_{1} = a_{2}

$a_1 = a_2$

a_{1} \neq a_{2}

$a_1 \ne a_2$

— whuber

Saya pikir solusinya adalah konsep distribusi Poisson majemuk. Idenya adalah jumlah random dengan Poisson didistribusikan dan dan urut independen . Ketika kita restric untuk kasus yang selalu, maka kita dapat menggambarkan untuk sejumlah nyata dan Poisson didistribusikan . Anda mendapatkan pgf dengan Untuk jumlah Anda mendapatkan menetapkan

S = \sum_{saya = 1}^{N} X_{saya}

$S = \sum_{i=1}^N X_i$

N

$N$

X_{i}

$X_i$

i i d

$iid$

N

$N$

X_{i} = k

$X_i=k$

k N

$k N$

k

$k$

N

$N$

E [s^{k N}] = E [(s^{k})^{N}] = G_{N} (s^{k}) = \exp (λ (s^{k} - 1))

$E[s^{k N}] = E[(s^{k})^N] = G_N(s^{k}) = \exp(\lambda(s^k-1))$

Z = k_{1} N_{1} + k_{2} N_{2}

$Z = k_1 N_1 + k_2 N_2$

G_{Z} (s) = \exp (λ_{1} (s^{k_{1}} - 1) + λ_{2} (s^{k_{2}} - 1)) .

$G_Z(s) = \exp(\lambda_1(s^{k_1}-1) + \lambda_2(s^{k_2}-1)).$

λ = λ_{1} + λ_{2}

$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$ lalu penafsiran akhir adalah bahwa rv yang dihasilkan adalah distribusi Poisson senyawa dengan intensitas dan distribusi yang mengambil nilai dengan probabilitas dan nilai dengan .

G_{Z} (s) = \exp (λ (\frac{λ_{1}}{λ} (s^{k_{1}} - 1) + \frac{λ_{2}}{λ} (s^{k_{1}} - 1)) = \exp (λ (\frac{λ_{1}}{λ} s^{k_{1}} + \frac{λ_{2}}{λ} s^{k_{1}} - 1)) .

$G_Z(s) = \exp(\lambda ( \frac{\lambda_1}{\lambda}(s^{k_1}-1)+ \frac{\lambda_2}{\lambda}(s^{k_1}-1)) = \exp(\lambda (\frac{\lambda_1}{\lambda}s^{k_1}+ \frac{\lambda_2}{\lambda}s^{k_1}-1)).$

λ = λ_{1} + λ_{2}

$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$

X_{i}

$X_i$

k_{1}

$k_1$

λ_{1} / λ

$\lambda_1/\lambda$

k_{2}

$k_2$

λ_{2} / λ

$\lambda_2/\lambda$

Setelah membuktikan bahwa distribusi adalah gabungan Poisson, kita dapat menggunakan rekursi Panjer dalam kasus dan adalah bilangan bulat positif. Atau kita dapat dengan mudah memperoleh transformasi Fourier dari bentuk pgf dan mendapatkan distribusi kembali oleh invers. Perhatikan bahwa ada titik massa pada . $k_1$ $k_2$ $0$

Edit setelah diskusi:

Saya pikir yang terbaik yang dapat Anda lakukan adalah MC. Anda bisa menggunakan derivasi bahwa ini adalah senyawa Poisson distr.

sampel N dari (sangat efisien) $Pois(\lambda)$
kemudian untuk setiap sampel apakah itu dari atau mana probabilitas yang pertama adalah . Lakukan ini dengan mengambil sampel Bernoulli rv dengan probabilitas keberhasilan . Jika maka tambahkan ke jumlah sampel lain tambahkan . $i=1,\ldots,N$ $X_1$ $X_2$ $\lambda_1/\lambda$ $\lambda_1/\lambda$ $1$ $k_1$ $k_2$

Anda akan memiliki sampel katakanlah 100.000 dalam hitungan detik.

Atau Anda dapat mencicipi dua puncak dalam representasi awal Anda secara terpisah ... ini akan sama cepatnya.

Segala sesuatu yang lain (FFT) rumit jika faktor konstan k1 dan k2 benar-benar umum.

— Ric
sumber

Dan distribusi akhir dapat ditemukan oleh algoritma Panjer jika faktor-faktornya adalah bilangan bulat.

— Ric

G_{S_{2}} (z) = e^{λ_{1} (z^{a_{1}} - 1)} e^{λ_{2} (z^{a_{2}} - 1)}

$G_{S_2}(z) = \textrm{e}^{\lambda_1(z^{a_1} - 1)}\textrm{e}^{\lambda_2(z^{a_2} - 1)}$

a_{1}, a_{2} \in R^{1}

$a_1,a_2 \in R^1$

P {S_{2} = α} = \sum_{a_{1} m + a_{2} n = α} P {X_{1} = m} P {X_{2} = n} = \sum_{a_{1} m + a_{2} n = α} \exp (- λ_{1} m) \frac{λ_{1}^{m}}{m!} \exp (- λ_{2} n) \frac{λ_{2}^{n}}{n!},

$P\{S_2 = \alpha\} = \sum_{a_1m + a_2n = \alpha}P\{X_1=m\}P\{X_2=n\} = \sum_{a_1m + a_2n = \alpha} \exp(-\lambda_1m)\frac{\lambda_1^m}{m!}\exp(-\lambda_2n)\frac{\lambda_2^n}{n!},$

a_{1}, a_{2}

$a_1,a_2$

Halo Michel, saya mengedit jawaban saya. Ya Panjer terbatas penggunaannya. Tapi Anda bisa mencoba pendekatan transformasi Fourier. Namun unit non-integer bermasalah ... Saya harus berpikir lebih banyak tentang apa yang harus dilakukan dalam kasus ini. Either way penting untuk dicatat bahwa hasilnya adalah distribusi Poisson majemuk (bukan distribusi Poisson "sederhana").

— Ric

P r (S_{2} = x) = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} G_{S 2} (e^{i t}) d t

$Pr(S_2=x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbf{R}} e^{-itx}G_{S2}(\mathrm{e}^{it})dt$

Sesuatu yang menghalangi ... Jika kita memiliki distribusi terus menerus yang kita dapat menghitung fungsi karakteristik (seperti yang Anda lakukan), maka ini mengarah pada hasil yang cepat dan menyenangkan. Dalam kasus kami, saya perlu lebih banyak waktu untuk memikirkannya. Seharusnya ada sesuatu yang lebih mudah.

— Ric