Bias untuk estimator densitas kernel (case berkala)

Penaksir kepadatan kernel diberikan oleh mana iid dengan beberapa kepadatan tidak diketahui , - bandwidth,

$$\hat{f}(x,h)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K(\frac{x-X_{i}}{h})$$ $X_1,...X_n$$f$$h$

$K$Fungsi - kernel ( , , ). Bias bisa dihitung menggunakan ekspansi Taylor: $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)dx=1$$\int_{-\infty}^{\infty}K(x)xdx=0$$\int_{-\infty}^{\infty}K(x)x^2dx<\infty$

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{h}K(\frac{x-y}{h})f(y)dy-f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}K(y)\left(f(x-hy)-f(x)\right)dy$$ $$=\int_{-\infty}^{\infty}K(y)\left(f'(x)hy+\frac{1}{2}f''(x)(hy)^{2}+o(h^{2})\right)dy=\frac{1}{2}f''(x)h^{2}+o(h^{2})$$

Cara menangani kernel periodik dan $f$ ( $\int_{0}^{1}K(x)dx=1$ , $\int_{0}^{1}K(x)xdx=0$ , $\int_{0}^{1}K(x)x^2dx<\infty$ )?

Bagaimana saya bisa menggunakan ekspansi taylor? ( $\int_{0}^{1}\frac{1}{h}K(\frac{y-x}{h})f(y)dy=\int_{-\frac{x}{h}}^{1-\frac{x}{h}}K(y)f(x-yh)dy\neq\int_{0}^{1}K(y)f(x-yh)dy$ -Saya tidak dapat menggunakan properti kernel)

Bisakah Anda merekomendasikan buku bagus tentang perataan kernel untuk data sirkuler?

Google cepat menampilkan ini, yang menunjukkan bahwa ketika bekerja dengan data sirkular Anda akan memerlukan definisi 'bias' yang berbeda untuk memulai:

Namun, ketika menggunakan data pada lingkaran, kita tidak bisa menggunakan jarak dalam ruang Euclidean, jadi semua perbedaan θ - θ _saya harus diganti dengan mempertimbangkan sudut antara dua vektor:

$d_i\theta)= \| \theta -\theta_i \| = \min(|\theta-\theta_i|, 2π -|\theta-\theta_i|).$

- Charles C Taylor. Pemilihan bandwidth otomatis untuk estimasi kepadatan lingkaran. Statistik Komputasi & Analisis Data Volume 52, Edisi 7, 15 Maret 2008, Halaman 3493-3500. doi: 10.1016 / j.csda.2007.11.003

Dia merujuk buku-buku ini:

S. Rao Jammalamadaka dan A. SenGupta, Topik dalam Statistik Circular , World Scientific, Singapura (2001).

KV Mardia dan PE Jupp, Directional Statistics , John Wiley, Chichester (1999).