Jumlah dari dua variabel acak gamma independen

13

Menurut artikel Wikipedia tentang distribusi Gamma :

Jika $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ dan $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ , di mana $X$ dan $Y$ adalah variabel acak independen, maka $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$ .

Tapi saya tidak melihat bukti. Adakah yang bisa mengarahkan saya ke buktinya?

Sunting: Terima kasih banyak kepada Zen, dan saya juga menemukan jawabannya sebagai contoh di halaman Wikipedia tentang fungsi karakteristik .

probability pdf gamma-distribution

— Dexter12
sumber

3

Intuisi: Gamma

distribusi timbul sebagai jumlah dari

distribusi eksponensial independen, mana itu segera dalam konteks ini bahwa

akan memiliki Gamma

distribusi disediakan

dan

keduanya bilangan bulat positif.

(n)

$(n)$

n

$n$

X + Y

$X+Y$

(a + b, θ)

$(a+b,\theta)$

a

$a$

b

$b$

— whuber

15

Buktinya adalah sebagai berikut: (1) Ingatlah bahwa fungsi karakteristik dari jumlah variabel acak independen adalah produk dari fungsi karakteristik individu mereka; (2) Dapatkan fungsi karakteristik dari variabel acak gamma di sini ; (3) Lakukan aljabar sederhana.

Untuk mendapatkan intuisi di luar argumen aljabar ini, periksa komentar whuber.

Catatan: OP bertanya bagaimana cara menghitung fungsi karakteristik dari variabel acak gamma. Jika , maka (Anda dapat memperlakukan sebagai konstanta biasa, dalam hal ini) $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ $i$

ψ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = \int_{0}^{\infty} e^{i t x} λ e^{- λ x} d x = \frac{1}{1 - i t / λ} .

$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$

Sekarang gunakan tip Huber: Jika , maka , di mana adalah independen . Oleh karena itu, menggunakan properti (1), kita memiliki $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$ $Y=X_1+\dots+X_k$ $X_i$ $\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

ψ_{Y} (t) = {(\frac{1}{1 - i t θ})}^{k} .

$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$

Kiat: Anda tidak akan mempelajari hal-hal ini menatap hasil dan bukti: tetap lapar, hitung semuanya, cobalah untuk menemukan bukti Anda sendiri. Bahkan jika Anda gagal, penghargaan Anda terhadap jawaban orang lain akan berada pada level yang jauh lebih tinggi. Dan, ya, gagal itu OK: tidak ada yang melihat! Satu-satunya cara untuk belajar matematika adalah dengan bertarung tinju untuk setiap konsep dan hasil.

— Zen
sumber

Pernyataan yang direferensikan secara eksplisit menyatakan "asalkan semua Xi independen."

— whuber

Satu hal yang saya tidak mengerti, adalah bagaimana kita sampai pada fungsi karakteristik?

— Dexter12

Saya akan menambahkannya ke jawabannya. Lihatlah.

— Zen

Mungkin Anda bisa menyertakan referensi untuk fungsi karakteristik a

untuk nilai non-integer dari

?

Γ (a, θ)

$\Gamma(a,\theta)$

a

$a$

— Dilip Sarwate

14

Berikut adalah jawaban yang tidak perlu menggunakan fungsi karakteristik, tetapi sebaliknya memperkuat beberapa ide yang memiliki kegunaan lain dalam statistik. Kepadatan jumlah variabel acak independen adalah konvolusi kepadatan. Jadi, dengan mengambil untuk kemudahan eksposisi, kita memiliki untuk , $\theta = 1$ $z > 0$

\begin{aligned} f_{X + Y} (z) & = \int_{0}^{z} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x \\ = \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} e^{- x}}{Γ (a)} \frac{(z - x)^{b - 1} e^{- (z - x)}}{Γ (b)} d x \\ = e^{- z} \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} (z - x)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d x & now substitute x = z t and think \\ = e^{- z} z^{a + b - 1} \int_{0}^{1} \frac{t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d t & of Beta (a, b) random variables \\ = \frac{e^{- z} z^{a + b - 1}}{Γ (a + b)} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$

— Dilip Sarwate
sumber

3

(+1) It is ideal to have more than one way to prove everything. Maybe someone will post an answer considering the transformation

(X, Y) \mapsto (U, V) = (X + Y, X)

$(X,Y)\mapsto(U,V)=(X+Y,X)$ .

— Zen

Can we similarly find the density of

X - Y

$X-Y$ in a closed form expression? I'm unable to simplify the integrals in that case.

— pikachuchameleon

@pikachuchameleon See this answer of mine.

— Dilip Sarwate

3

On a more heuristic level: If $a$ and $b$ are integers, the Gamma distribution is an Erlang distribution, and so $X$ and $Y$ describe the waiting times for respectively $a$ and $b$ occurrences in a Poisson process with rate $\theta$ . The two waiting times $X$ and $Y$ are

independent
sum up to a waiting time for $a+b$ occurrences

and the waiting time for $a+b$ occurrences is distributed Gamma( $a+b,\theta$ ).

None of this is a mathematical proof, but it puts some flesh on the bones of the connection, and can be used if you want to flesh it out in a mathematical proof.

— Svein Olav Nyberg
sumber