Pekerjaan rumah: Analisis Data Bayesian: Priors pada kedua parameter binomial

Berikut ini adalah masalah dari Bayesian Data Analysis 2nd ed , hal. 97. Andrew Gelman belum memasukkan solusinya dalam panduan di situs webnya dan itu membuatku gila sepanjang hari. Secara harfiah sepanjang hari.

Untuk beberapa data , dimodelkan sebagai distribusi binomial dengan parameter populasi dan probabilitas , yang keduanya tidak diketahui. Masalahnya mengatur pertanyaan dengan informasi ini: (1) Menentukan sebelum pada sulit, karena hanya mengambil bilangan alami positif, sehingga diperlakukan sebagai , di mana \ mu tidak dikenal. (2) Untuk mendefinisikan prior on (N, \ theta) , kita memiliki \ lambda = \ mu \ theta . (Logikanya di sini adalah bahwa mungkin lebih mudah untuk merumuskan suatu pertimbangan mengingat harapan pengamatan tanpa syarat, daripada rata-rata N yang tidak teramati.$y$$N$$\theta$$N$$\Pr(N|\mu) = Poisson(\mu)$$\mu$$(N, \theta)$$\lambda=\mu\theta$$N$.) (3) Potensial noninformatif sebelum adalah $p(\lambda, \theta) \varpropto 1/\lambda$ .

Bagian dari masalah yang saya tutupi adalah bagaimana mengubah variabel dan menentukan $p(N, \theta)$ .

Pendekatan yang saya coba adalah menulis $p(N,\theta|\lambda)p(\lambda, \theta)$ , dan menghilangkan \ lambda yang tidak diinginkan $\lambda$melalui integrasi, yaitu $p(N,\theta)=\int_0^\infty C\mu^N/(exp(\mu)\lambda N!)d\lambda$ , dan mengganti $\mu$ dengan relasi $\mu=\lambda/\theta$ . Pendekatan ini direduksi menjadi $p(N,\theta)=C/(N+1)$ , di mana $C$ adalah konstanta proporsionalitas yang diperkenalkan dari (3).

Hasil ini menjadi perhatian saya, karena ini menyiratkan bahwa probabilitas gabungan dari beberapa nilai $\theta$ dan $N$ hanya tergantung pada $N$ , dan bukan pada $\theta$ . Selain itu, beberapa lonceng yang tidak jelas terdengar dari kalkulus multivariabel saya yang cukup tua, berusaha mengingatkan saya tentang Jacobian dan mengoordinasikan transformasi, tetapi saya tidak yakin bahwa pendekatan integrasi ini bahkan tepat.

Saya menghargai bantuan dan wawasan Anda.

Saya melakukan semua pertanyaan dari empat bab pertama enam tahun lalu. Inilah yang saya miliki:

$p(\mu,\theta)\propto\left|\frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\right|p(\lambda,\theta)=\mu^{-1}.$

Begitu

$\begin{array}{lrl}p\left(N,\theta\right) & = & \int_{0}^{\infty}p\left(\mu,N,\theta\right)\mathrm{d}\mu\\ & = & \int_{0}^{\infty}p\left(\mu,\theta\right)\Pr\left(N\,|\,\mu\right)\mathrm{d}\mu\\ & \propto & \int_{0}^{\infty}\mu^{-1}\left(\frac{\mu^{N}}{N!}e^{-\mu}\right)\mathrm{d}\mu\\ & = & \frac{\left(N-1\right)!}{N!}=N^{-1}\end{array}$

Anda tidak perlu khawatir bahwa tidak bergantung pada . Ini hanya berarti bahwa prior untuk adalah seragam pada , yang keren untuk parameter Bernoulli.$p(N,\theta)$$\theta$$\theta$$[0,1]$