Varian dari dua variabel acak tertimbang

Membiarkan:

Simpangan baku variabel acak $A =\sigma_{1}=5$

Simpangan baku variabel acak $B=\sigma_{2}=4$

Maka varian A + B adalah:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Dimana:

adalah korelasi antara dua variabel acak.$p_{1,2}$

adalah bobot variabel acak A$w_{1}$

adalah bobot variabel acak B$w_{2}$

$w_{1}+w_{2}=1$

Gambar di bawah ini memplot varian A dan B ketika bobot A berubah dari 0 menjadi 1, untuk korelasi -1 (kuning), 0 (biru) dan 1 (merah).

Bagaimana rumus menghasilkan garis lurus (merah) ketika korelasinya 1? Sejauh yang saya tahu, ketika , rumusnya disederhanakan menjadi:$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

$y=mx+c$

Terima kasih.

$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

$\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$

$w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

Itu tidak linier. Rumusnya mengatakan itu tidak linier. Percayalah pada insting matematika Anda!

$\sigma_{1}=5$$\sigma_{2}=4$$\sigma_{1}=37$

Berikut ini beberapa kode R:

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

Jika Anda ingin memeriksa beberapa lereng:

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1