Untuk distribusi apa yang dipangkas berarti penaksir kemungkinan maksimum?

8

Sampel rata-rata adalah penduga kemungkinan maksimum $\mu$ untuk distribusi normal $\text{Normal}(\mu,\sigma)$ . Median sampel adalah penaksir kemungkinan maksimum sebesar $m$ untuk distribusi Laplace $\text{Laplace}(m,s)$ (Juga disebut distribusi eksponensial ganda).

Apakah distribusi ada dengan parameter lokasi yang berarti rata-rata sampel yang dipangkas adalah penaksir kemungkinan maksimum?

distributions maximum-likelihood trimmed-mean

— Rasmus Bååth
sumber

9

Distribusi, jika ada, diperoleh sebagai integral dari persamaan estimasi. Mari kita asumsikan untuk kesederhanaan bahwa parameter skala diketahui, dan parameter pemangkasan, jika ada, diperbaiki.

Untuk mean sampel, persamaan estimasi adalah $E (x - μ) = 0.$ ${\rm E}(x-\mu)=0.$ Membayangkan bahwa ini adalah turunan dari log-kemungkinan, dengan banyak sekali penyalahgunaan notasi dan kehilangan ketelitian, kami memiliki $\frac{d \ln l (μ; x)}{d μ} = x - μ, \ln l (μ; x) = a (x - μ)^{2}, l (μ; x) \propto \exp [a (x - μ)^{2}],$ $\frac{{\rm d}\ln l(\mu;x)}{{\rm d}\mu} = x-\mu, \quad \ln l(\mu;x) = a (x-\mu)^2, \quad l(\mu;x) \propto \exp[ a(x-\mu)^2],$ Dimana $a$ parameter (konstanta integrasi) harus negatif untuk memastikan bahwa ia berintegrasi ke sesuatu yang bermakna.
Untuk median sampel, persamaan estimasi adalah $E s i g n (x - μ) = 0.$ ${\rm E \, sign}(x-\mu)=0.$ Integrasikan ini untuk mendapatkan $l (μ; x) \propto \exp [a | x - μ |],$ $l(\mu;x) \propto \exp[ a|x-\mu| ],$ di mana lagi kita harus memilih $a$ menjadi negatif masuk akal.
Untuk mean yang dipangkas, persamaan estimasi adalah $E ρ (x, μ, c) = 0, ρ (x, μ, c) = {\begin{cases} x - μ, & | x - μ | \leq c, \\ 0, & | x - μ | > c . \end{cases}$ ${\rm E}\rho(x,\mu,c) = 0, \quad \rho(x,\mu,c) = \left\{ \begin{array}{ll} x-\mu, & |x-\mu|\le c, \\ 0, & |x-\mu|>c. \end{array} \right.$ Mari kita lihat apa yang diintegrasikan ke: $l (μ; x, c) = {\begin{cases} \exp [a (x - μ)^{2}], & | x - μ | \leq c, \\ b, & | x - μ | > c . \end{cases}$ $l(\mu;x, c) = \left\{ \begin{array}{ll} \exp[ a(x-\mu)^2], & |x-\mu|\le c, \\ b, & |x-\mu|>c. \end{array} \right.$ Tampak seperti normal yang disensor di tengah, tetapi lihat ekornya: mereka tidak tepat jika $b>0$ . Jadi untuk mendapatkan distribusi yang tepat, kita harus mengatur $b=0$ . Tetapi kemudian kita memiliki inkonsistensi logis: distribusi ini harus memberikan nol pdf untuk beberapa data aktual dalam ekor yang dipangkas. Ini kontradiktif dengan diri sendiri, dan menunjukkan beberapa efek samping pemangkasan yang tidak diinginkan.

Kadang-kadang, menguntungkan untuk membangun "kemungkinan" dari suatu metode untuk menunjukkan normalitas asimptotiknya, dan efisiensi untuk kelas distribusi yang sempit. Secara umum, normalitas asimptotik dari rata yang dipangkas dapat mengikuti dari teori $M$ - perkiraan.

— Tugas
sumber

1

Apakah itu benar-benar persamaan estimasi dari rata yang dipangkas? Dalam persamaan Anda

c

$c$ tampaknya menjadi konstanta yang "membuang" data itu

c

$c$ jauh dari rata-rata sementara dalam versi biasa berarti Anda menentukan proporsi titik data yang harus dibuang dari ekor dari data. Bukankah kedua hal ini berbeda atau apakah saya kehilangan sesuatu?

— Rasmus Bååth

Ya, memang agak berbeda - saya mengatakan bahwa saya memperlakukan konstanta pemangkasan sebagai tetap. Menjadikannya sebagai data-dependen akan mempersulit hal-hal, tetapi saya percaya pada akhirnya akan mengarah pada kesimpulan yang sama bahwa beberapa titik data "tidak mungkin" di bawah distribusi yang tersirat oleh "kemungkinan".

— Tugas

4

Kasus-kasus khusus seperti median samping, saya tidak berpikir bahwa cara yang dipangkas umumnya ML; jika ya, mereka sudah menjadi semacam penaksir-M. Namun, jika Anda mengambil distribusi yang normal di tengah dengan, katakanlah, ekor eksponensial - distribusi yang sesuai dengan penaksir Huber M - maka untuk tingkat pemangkasan tertentu, mean yang dipangkas akan diharapkan menjadi sangat efisien.

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber