Teorema Gauss-Markov: BIRU dan OLS

Saya membaca teorema Guass-Markov di wikipedia , dan saya berharap seseorang dapat membantu saya mencari tahu poin utama teorema tersebut.

Kami menganggap model linear, dalam bentuk matriks, diberikan oleh: dan kami sedang mencari BLUE, β .

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

Sesuai dengan ini , saya akan label yang "residual" dan ε = β - β "kesalahan". (Yaitu kebalikan dari penggunaan pada halaman Gauss-Markov).$\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

Estimator OLS (kuadrat terkecil) dapat diturunkan sebagai argumen dari .$||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$

Sekarang, biarkan menunjukkan operator ekspektasi. Menurut pemahaman saya, apa yang dikatakan teorema Gauss-Markov adalah bahwa, jika E ( η ) = 0 dan Var ( η ) = σ 2 I , maka argmin, atas semua estimator linier, tidak bias, dari E ( | | error | | 2 2 ) = E ( | | ε | | 2 2 ) diberikan dengan ekspresi yang sama dengan estimator OLS.$\mathbb{E}$$\mathbb{E}(\eta) = 0$$\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$$\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$

Yaitu

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

Apakah pemahaman saya benar? Dan jika demikian, apakah Anda akan mengatakan bahwa artikel ini layak mendapat penekanan yang lebih menonjol?

$\hat{\beta}$$\hat{\beta}$$Var(\hat{\beta})$

Bukti bahwa estimator OLS tidak bias dapat ditemukan di sini http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

$Var(\hat{\beta})$

Tampaknya dugaan saya memang benar, seperti yang dikonfirmasi, misalnya pada halaman 375 buku Introductory Econometrics . Kutipan yang relevan: